Le scenario d’Univers de poussières est beaucoup moins exotique que ceux présentés précédemment. On appelle univers de poussières un univers composé de matière non relativiste (c’est-à-dire se déplaçant à une vitesse non relativiste) et dans lequel la proportion d’énergie de rayonnement est négligeable. En première approximation, cet univers est donc caractérisé par une pression nulle.

Revenons à la formulation de la première équation de Friedmann. En multipliant les deux membres de cette équation par on peut écrire :

Etudions dans un premier temps le cas de figure correspondant à un univers plat de constante cosmologique nulle. Dans ce cas cette équation se simplifie considérablement :

Nous allons maintenant utiliser un autre résultat remarquable déjà exploité dans le chapitre précédent :

Si la pression est nulle le produit rho a³ est constant. On peut donc écrire :

Il vient :

Cette équation différentielle se résout facilement. La solution s’écrit sous la forme suivante :

Le facteur d’échelle est une fonction croissante qui varie comme la puissance 2/3 de l’âge d’un Univers de poussières. Cet univers connaît une expansion qui se prolonge indéfiniment mais la dérivée du facteur d’échelle ne cesse de décroître. Elle tend asymptotiquement vers zéro lorsque t tend vers l’infini.

La naissance de cet univers est du type Big-bang : la densité d’énergie rho varie comme l’inverse du carré de l’âge de l’Univers (voir plus haut l'équation donnant le produt rho a³). Elle est donc infinie pour un univers naissant. Plus l’univers vieillit, plus il se dilue.

Notons enfin qu’en combinant les équations précédentes on peut écrire :

soit :

Le paramètre de Hubble d’un Univers de poussières est donc inversement proportionnel à son âge.

On est parti de l’hypothèse que cet univers était plat. Que se passerait-il s’il ne l’était pas ? Examinons tout d’abord le cas d’un univers de courbure positive. L’équation donnant la dynamique de l'Univers de poussières devient :

A priori, rien ne change aux premiers temps de cet univers : le premier terme du second membre est dominant par rapport au terme constant lié à la courbure. On est donc également en présence d’un univers Big-bang. Les choses changent lorsque l’univers vieillit. L’équation (14) admet une racine pour une valeur a(t) égale à :

L’équation (10) reste valide puisque la pression est nulle. On peut donc écrire :

Revenons à l’équation (14). On peut la reformuler comme suit :

La courbe correspondant à cette équation différentielle est une courbe en cloche. Elle n’a pas de solution analytique simple. On peut néanmoins la calculer avec un simple tableur en remarquant qu’elle est symétrique par rapport à son point maximum. Il suffit donc de déterminer l’allure de la demi-arche correspondant à la phase d’expansion. Cela se fait aisément en programment l’équation aux différences qui suit:

Figure 1 : Courbe en cloche du facteur d’échelle d’un univers de poussière.

Un Univers de poussières dont la courbure est positive va connaître une première phase d’expansion jusqu’à atteindre le point d’extension maximale correspondant à un facteur d’échelle qui vaut a_max (voir équation plus haut). Une fois passé ce pic, l’univers va se contracter de plus en plus rapidement pour revenir à un point de densité infinie. Les astrophysiciens évoquent cette possibilité en parlant de Big crunch.

Lorsque la courbure est négative l’équation (7) s’écrit :

On part donc d’un Big-bang comme dans les deux cas de figure précédents mais cette fois l’expansion ne ralentit jamais. Lorsque t tend vers l’infini le premier terme du second membre de l’équation tend vers zéro puisque :

Il ne reste dans l’équation que le terme constant dû à la courbure. L’accélération se poursuit au même rythme indéfiniment.

Influence de la constante cosmologique sur un univers de poussières

Pour terminer ce tour d’horizon des Univers de poussières, il reste à considérer l’influence de la constante cosmologique sur leur évolution. Ces considérations ne font que généraliser ce qui précède. Rappelons l’équation qui gouverne l’évolution de l’univers :

Constante cosmologique négative

Lorsque la constante cosmologique est négative, le troisième terme du second membre est négatif. La constante cosmologique s’oppose toujours à l’expansion. Le Big crunch est inéluctable. C’est évident si la courbure est positive : la constante cosmologique a pour effet de renforcer celui de la courbure. C’est également vrai si la courbure est négative ou nulle. On peut s’en convaincre en raisonnant par l’absurde. Supposons que a(t) croisse indéfiniment. Le troisième terme, dont le signe est négatif, prendrait de plus en plus d’importance jusqu’à devenir prépondérant... ce qui est en contradiction complète avec l’hypothèse de croissance de a(t).

Constante cosmologique positive

Lorsque la constante cosmologique est positive, l’éventail des possibilités est plus large. Lorsque la courbure est négative ou nulle, l’effet de la constante cosmologique conduit à renforcer l’expansion. Il se produit un phénomène d’emballement : plus le facteur d’échelle augmente, plus la valeur du troisième terme de l’équation croît. Il finit par devenir prépondérant :

Cette équation différentielle est celle qui gouverne l’évolution d’une fonction exponentielle : l’expansion d’un Univers de poussières soumis à une constante cosmologique positive et de courbure négative ou nulle prend un caractère exponentiel lorsque t tend vers l’infini. On parle de Big rip.

Lorsque la courbure est positive, les deux scenarii sont possibles (Big crunch ou Big rip) en fonction de la valeur de Lambda.

Conditions initiales

Nous avons discuté jusqu’à présent du comportement de l’univers lorsque t tend vers l’infini. Quid des conditions initiales ?

Pour déterminer ces conditions, nous allons considérer la fonction f(a) définie comme suit :

Nota : Attention à ne pas faire de confusion. La fonction f(a) ne représente pas l'évolution du facteur d'échelle dans le temps. Elle donne par contre de précieuses indications sur les valeurs possibles du facteur d'échelle et sur la valeur de sa dérivée. Par exemple, les valeurs de a telles que f(a) < 0 n'ont pas de sens physique. Cette fonction permet donc de se faire une représentation approximative de l'évolution du facteur d'échelle dans le temps. Les tableaux qui suivent récapitulent les différents scenarii d'évolution de l'Univers possibles en fonction du signe de la courbure k et de la constante cosmologique Lambda. Comme on pourra le voir, courbure de l’espace et comportement dynamique de l’Univers ne sont pas nécessairement liés. Un Univers fermé (à courbure positive) peut très bien être en expansion infinie. La courbure dépend en effet de la densité de matière-énergie, ou plutôt du rapport Omega entre densité de matière-énergie et densité critique. Le comportement dynamique dépend principalement de la constante cosmologique. On constatera également que tous les scenarii à l’exception d’un seul débutent par un Big-bang : facteur échelle nulle, croissance rapide.

  Lambda < 0 ,   k = -1, 0, +1

	La fonction f(a) est positive de 0 à amax. Les valeurs de a supérieures à amax n’ont pas de sens physique. f(a) tend vers l’infini lorsque a tend vers zéro.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit en décélérant jusqu’à ce que le facteur d’échelle atteigne la valeur amax. L’Univers entre alors dans une phase de contraction de plus en plus rapide. C’est le Big crunch.

  Lambda = 0 ,   k = +1

	La fonction f(a) est positive de 0 à amax. Les valeurs de a supérieures à amax n’ont pas de sens physique. f(a) tend vers l’infini lorsque a tend vers zéro.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit en décélérant jusqu’à ce que le facteur d’échelle atteigne la valeur amax. L’Univers entre alors dans une phase de contraction de plus en plus rapide. C’est le Big crunch.

Les deux premiers tableaux correspondent au scenario Big-bang / Big crunch décrit plus haut. L’univers part d’une situation de Big-bang. Il connaît une phase d’expansion jusqu’au point pour lequel on a = a_max. Ensuite il se contracte et s’effondre sur lui-même.

  Lambda = 0 ,   k = 0

	La fonction f(a) est toujours positive. f(a) tend vers l'infini lorsque a tend vers zéro. f(a) tend vers zéro lorsque a tend vers l'infini.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit. Il tend asymptotiquement vers zéro lorsque t tend vers l'infini.

  Lambda = 0 ,   k = -1

	La fonction f(a) est toujours positive. f(a) tend vers l'infini lorsque a tend vers zéro. f(a) tend vers 1 lorsque a tend vers l'infini.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit. La croissance du facteur d'échelle tend asymptotiquement vers une valeur constante lorsque t tend vers l'infini.

Les deux suivants correspondent à un scenario Big-bang / expansion infinie. L’Univers est en expansion continue mais cette expansion reste modérée.

  Lambda₀ > Lambda > 0 ,   k = 1

	La fonction f(a) est positive de 0 à a1. Les valeurs de a comprises entre a1 et a2 n'ont pas de sens physique. f(a) redevient positive au-delà et tend vers l'infini lorsque a tend vers l'infini.
	Il existe une solution physique pour laquelle l'Univers démarre avec un facteur d'échelle a2 non nul. Il n'y a donc pas de Big-bang. Cette solution n'est pas stable : le plus petit écart va entraîner l’Univers dans une expansion inexorable qui finira par s’emballer. C’est un scenario de Big rip.

Le cas présenté dans le 5ème tableau est tout à fait particulier. Il autorise un scenario dans lequel le facteur d’échelle part d’une valeur non nulle. C’est donc un scenario sans Big-bang ! C’est à un scenario de ce type qu’Einstein pensait lorsqu’il a introduit sa constante cosmologique. Einstein avait en effet introduit cette constante pour s’adapter à un univers statique. Friedmann est le premier à avoir compris qu’une telle solution n’était pas stable (ce que démontre le tableau ci-dessus). Tout d’abord, elle suppose que a(t) soit strictement égal à a₂, ce qui est hautement improbable. Ensuite, tout écart par rapport à cette valeur, si minime soit-il, conduit nécessairement à une croissance du facteur d’échelle qui l’éloigne du point défini par f(a₂) = 0.

  Lambda > Lambda₀ ,   k = 1

	La fonction f(a) est toujours positive. f(a) tend vers l’infini lorsque a tend vers 0. Elle décroît jusqu’à atteindre un minimum lorsque a = a0 puis croît de nouveau et tend vers l’infini.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit dans un premier temps. Au fil du temps, le facteur répulsif dû à la constante cosmologique positive prend le pas sur les autres termes et l’expansion reprend un rythme accéléré. Elle finit par devenir exponentielle : c’est également un scenario de Big rip.

  Lambda > 0 ,   k = 0 ou -1

	La fonction f(a) est toujours positive. f(a) tend vers l’infini lorsque a tend vers 0. Elle décroît jusqu’à atteindre un minimum lorsque a = a0 puis croît de nouveau et tend vers l’infini.
	L’Univers débute par un Big-bang. L’expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit dans un premier temps. Au fil du temps, le facteur répulsif dû à la constante cosmologique positive prend le pas sur les autres termes et l’expansion reprend un rythme accéléré. Elle finit par devenir exponentielle : c’est encore un scenario de Big rip.

Dans les deux derniers tableaux on revient à un scenario Big-bang / expansion infinie. Cette fois, cependant, l’expansion s’emballe au bout d’un certain temps et devient exponentielle (de type Univers de De Sitter). On parle dans ce cas de Big rip.

Récapitulatif

Big-crunch, Big-rip... Quel scenario attend notre Univers ? Bien malin qui le dira. Comme on l'a vu, les combinaisons sont multiples selon que Lambda est positif ou négatif et selon que la courbure est positive, négative ou nulle. Quatre scenarii sont envisageables, dont l'un se subdivise en deux sous-scenarii :

Premier scenario (A) : le Big-crunch. L'Univers débute par un Big-bang. L'expansion se poursuit en décélérant jusqu'à ce que le facteur d'échelle atteigne la valeur a_max. L'Univers entre alors dans une phase de contraction de plus en plus rapide.

Second scenario (B1) : expansion continue modérée. L'Univers débute par un Big-bang. L'expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit. Il tend asymptotiquement vers zéro lorsque t tend vers l'infini.

Second scenario, variante (B2) : expansion continue soutenue. L'Univers débute par un Big-bang. L'expansion se poursuit indéfiniment. La croissance du facteur d'échelle tend asymptotiquement vers une valeur constante lorsque t tend vers l'infini.

Troisième scenario (C) : le Big-rip. L'Univers débute par un Big-bang. L'expansion se poursuit indéfiniment mais son rythme ralentit dans un premier temps. Puis, au fil du temps, le facteur répulsif dû à la constante cosmologique positive prend le pas sur les autres termes et l'expansion reprend un rythme accéléré. Elle finit par devenir exponentielle.

Quatrième scenario (D) : cabinet des curiosités... Il existe des solutions des équations pour lesquelles l'Univers démarre avec un facteur d'échelle a non nul. Il n'y a donc pas de Big-bang. Einstein avait d'ailleurs privilégié l'une d'entre elles lorsqu'il introduisit une constante cosmologique dans son équation. Celle-ci devait être ajustée finement pour contrebalancer l'effet de la gravitation universelle. Einstein espérait ainsi parvenir à un univers statique tel que la communauté scientifique le concevait à l'époque.

Mais cette solution n'est pas stable : le plus petit écart entraîne l'Univers dans une expansion inexorable qui finit par s'emballer. C'est un également un scenario de Big rip.

Ces différents scenarii sont résumés dans le tableau qui suit.

Lambda_E est la valeur de la constante cosmologique qui permet de contrebalancer exactement l'effet de la gravitation. La dernière ligne correspond à un scenario peu probable, dans cas où Lambda est inférieur à Lambda_E c'est le scenario A qui est le plus probable.