Les équations de Friedmann ont un gros avantage : elles admettent des solutions analytiques relativement simples. Nous allons détailler plus particulièrement trois de ces solutions. L'une d'entre elles est baptisée univers de Poussières. Elle est représentative de l’univers dans lequel nous vivons. La solution baptisée Univers de radiations est, quant à elle, beaucoup plus proche du comportement de l’Univers après le Big-bang.

Auparavant, il est intéressant d’examiner une solution particulière de d’équation d’Einstein qui a été proposée dès 1917 par l’astrophysicien néerlandais Willem De Sitter. Cette solution, qui décrit ce que l’on appelle l’Univers de De Sitter concerne un univers très théorique : un espace vide de matière avec constante cosmologique positive. On pourrait croire qu’elle ne mérite qu’un hochement de sourcil amusé... On aurait tort de la négliger : elle fournit un modèle simple et basique à utiliser pour décrire certaines phases de l’expansion de l’Univers.

Le modèle de De Sitter : expansion exponentielle de l’Univers

Rappelons un résultat remarquable présenté dans le post sur les équations de Friedmann :

avec :

• Lambda   la constante cosmologique,
• rho   la densité d’énergie,
• p   la pression
• a(t)   le facteur d’échelle.

Comme on l’a souligné dans le post mentionné plus haut, la quantité rho + 3p joue un rôle déterminant dans l’évolution dynamique d’un tel Univers. Si le membre de gauche de l’équation est positif, l’Univers est soumis à une expansion accélérée. Supposons que ce soit le cas et appelons H la quantité définie comme suit :

Si H est constant, la résolution de l’équation qui ouvre ce chapitre conduit à une fonction a(t) telle que :

	si k = 1
	si k est nul
	si k = -1

Dans ce modèle, H est appelé constante de Hubble. Par ailleurs, k caractérise la courbure de l’espace : elle est positive si k = 1, nulle si k est nul et négative si k = -1.

Le modèle exponentiel de De Sitter, d’apparence peu réaliste, est néanmoins pertinent dans deux cas particuliers. Considérons tout d’abord celui d’un Univers soumis à une constante cosmologique positive et subissant une phase d’expansion prolongée. L’expansion de l’Univers dilue la densité d’énergie. Si la pression est faible (matière non relativiste, faible rayonnement) le terme Lambda va devenir largement prépondérant. Dans ces conditions, le modèle de De Sitter devient tout à fait pertinent. La constante de Hubble tend alors vers la valeur :

Cet Univers, c’est probablement le nôtre ! Les mesures faites en 1998 par Saul Perlmutter et Adam Riess sur la vitesse d’éloignement et la distance de plusieurs groupes de supernovæ de type IA conduisent en effet à penser que la constante cosmologique de notre Univers n’est pas nulle et que celui-ci est entré depuis 7 milliards d’années dans une phase d’expansion accélérée !

Le modèle de De Sitter est également pertinent dans un autre contexte. Celui de l’Univers primordial. Supposons que celui-ci soit rempli par un champ scalaire d’intensité constante de densité rho_s. Nous avons démontré dans le post sur les équations de Friedmann un autre résultat remarquable :

Si la densité d’énergie est constante, on en déduit automatiquement :

L’équation rappelée en début de ce post devient :

On se retrouve dans une situation d’emballement. C’est un tel mécanisme qui est mis en avant par les astrophysiciens pour expliquer l’inflation cosmique qui aurait augmenté les dimensions de l’Univers d’un facteur 10³⁰ pendant les tout premiers instants qui ont succédé au Big-bang (voir le post consacré au modèle standard de la cosmologie).

Univers de radiations

On appelle univers de radiations un univers rempli de rayonnement et de matière relativiste. La matière relativiste peut être assimilée au rayonnement. L'énergie d'une particule de matière relativiste est principalement due à son impulsion : sa masse propre est négligeable devant son énergie cinétique. Son comportement se rapproche donc de celui d'un photon. Dans un univers rempli de radiations, la pression s'exprime directement en fonction de la densité d'énergie (voir la démonstration sur la théorie cinétique des gaz) :

Or, dans le post sur les équations de Friedmann, nous avons établi la formule suivante (équation de conservation de l'énergie dans un volume comobile) :

La pression de radiation entraîne donc une évolution de rho a³ avec l’expansion :

En développant les termes dérivés il vient :

Ou encore :

La seule solution possible est :

La densité décroit beaucoup plus vite dans un Univers de radiations que dans un Univers de poussières (voir post à ce sujet). Reprenons la méthode que nous avons utilisée précédemment pour analyser les différentes solutions des équations. Comme on l’a vu au chapitre précédent, la première équation de Friedmann peut s’écrire :

Dans le cas d’un univers plat et sans constante cosmologique il vient :

En introduisant la valeur de rho calculée précédemment cela conduit à écrire :

La solution de cette équation différentielle en découle automatiquement :

On peut constater que la densité varie toujours comme l’inverse du carré de l’âge de l’univers. On en tire l’égalité suivante :

H étant la constante de Hubble. C’est donc le premier terme de l’équation présentée un peu plus haut à propos du carré de la dérivée du facteur d'échalle qui dicte son comportement à celui-ci aux premiers instants après le Big-bang. Il tend vers l’infini lorsque t tend vers zéro :

Le comportement lorsque t tend vers l’infini n’a pas d’intérêt pour la cosmologie : l’expansion de l’Univers conduit à une dilution rapide de l’énergie de radiation, plus rapide que celle de l’énergie de matière non relativiste. On aura donc inéluctablement transition d’un modèle d’univers de radiations vers un Univers de poussières.