Comment détermine-t-on la masse d'une étoile ou d'une planète ? Pas simple... Impossible de la mettre sur le plateau d'une balance ! La méthode la plus directe est basée sur la troisième loi de Kepler (dans sa formulation newtonienne) mais elle ne peut s'appliquer que dans le cas d'un système binaire : deux étoiles qui tournent l'une autour de l'autre ou une étoile avec une (ou plusieurs) planètes.

Troisième loi de Kepler

Prenons le cas d'une étoile autour de laquelle tourne une planète. La troisième loi de Kepler permet de déterminer la masse de cette étoile lorsqu'on connaît le demi grand axe et la période de révolution de ladite planète (la même formule s'applique bien sûr pour une planète et l'une de ses lunes) :

M_S étant la masse de l'étoile, M_P celle de la planète, a le demi grand axe de révolution de la planète et T sa période de rotation. Lorsque M_S > M_P il est bien sûr possible de négliger M_P. Prenons quelques exemples.

Le couple Soleil/Terre

• T = 365,25 j = 31,56 10⁶ s
• a = 149,6 10⁹ m

Il vient : M_S = 1,99 10³⁰ kg

Le couple Terre/Lune

• T = 27,32 j = 2,36 10⁶ s
• a = 381,5 10⁶ m

Il vient : M_T = 5,9 10²⁴ kg

Le couple Jupiter/Europe

• T = 3,55 j = 306,7 10³ s
• a = 671 10⁶ m

Il vient : M_T = 1,9 10²⁷ kg

Astrométrie

Comme on le voit, la troisième loi de Kepler permet de déterminer la masse de l'astre le plus massif mais pas celui de son satellite. Comment déterminer la masse de celui-ci ? Dans le cas des étoiles doubles, on a recours à l'astrométrie. Elle permet d'estimer la position relative des deux étoiles par rapport au centre de gravité du système binaire. On en déduit la valeur du demi grand axe de chacune. Ceci permet tout d'abord de connaître la masse totale du système (3^ème loi de Kepler), puis d'en déduire la masse de chacune :

A titre d'exemple, dans le cas de Sirius (T = 50 ans, a = 20 UA) la masse totale est estimée à 3,2 masses solaires. Les relevés de position indiquent que le rapport a₁/a₂ est voisin de 2, ce qui donne une répartition des masses de 2,1 masses solaires pour l'étoile principale et de 1,1 masse solaire pour son étoile-compagnon.

Accessoirement, c'est l'une des façons de calculer la masse de la Lune. On connaît le rayon de son orbite (qui est quasi-circulaire). Des mesures astronomiques précises permettent de déterminer le rayon de l'orbite de la Terre autour du centre de gravité du système Terre-Lune : 4700 km. On peut en déduire que la masse de la Lune équivaut à 1,2 % de la masse de la Terre (des estimations plus précises donnent 1,23 %).

Relation masse-luminosité

Les étoiles doubles sont très nombreuses. La détermination de leur masse a permis d'établir une relation entre la masse d'une étoile et sa luminosité.

L_S et M_S étant la luminosité et la masse du Soleil. (Cette formule est approximative. Il en existe une version plus précise qui tient compte de différents paramètres, dont la métallicité de l'étoile.) On n'a bien sûr pas accès directement à L : seule da luminosité apparente peut être mesurée. Il faut la corriger en tenant compte de la distance estimée et de la température de l'étoile. L'estimation de la distance est en général effectuée grâce à la méthode de la parallaxe : la distance en parsec est égale à l'inverse de la parallaxe en seconde d'arc. Les mesures de parallaxe réalisées grâce à la sonde Hipparcos ont permis de déterminer ka distance de plus de 100000 étoiles avec une précision meilleure que 10% dans un volume de 500 parsecs de rayon. La mission GAIA a pour ambition d'étendre la distance maximale à 20 kpc, ce qui permet d'englober près d'un milliard d'étoiles !

Nota : le parsec est la distance d'une étoile dont la parallaxe mesurée à 6 mois d'intervalle est égale à une seconde d'arc. Un parsec équivaut 3,26 année-lumière.

Méthode de la vitesse radiale (vélocimétrie)

Tout comme les méthodes dérivées de l'astrométrie, la méthode de la vitesse radiale s'applique à un système binaire. Elle présuppose la connaissance de la masse de l'astre le plus massif du système. Cette méthode permet d'estimer la masse de l'autre composante du système binaire.

Prenons le cas d'une étoile et d'une planète. L'étoile ainsi que la planète tournent autour du centre de gravité du système. Pour simplifier, nous allons supposer que la planète considérée a une orbite circulaire. Soient r_P le rayon de son orbite, M_S la masse de l'étoile et T la période de révolution :

On peut en déduire la vitesse de la planète :

La masse de la planète s'écrit très simplement en fonction du rapport des vitesses et de la masse de l'étoile :

La vitesse de rotation d'une étoile peut être déterminée à partir de la variation de sa vitesse radiale au cours d'une révolution. On accède à cette valeur grâce au décalage par effet Doppler du spectre de l'étoile (plus exactement d'une raie bien déterminée de ce spectre). Les progrès récents réalisés en matière de spectrographes à haute résolution permettent aujourd'hui de déterminer la vitesse radiale à 1 m/s près ! C'est suffisant pour détecter la présence d'un exo-Jupiter (la modulation de vitesse induite par Jupiter sur le Soleil est égale à 12 m/s) mais cela reste très insuffisant pour une exo-Terre.

Il convient également de dire que cette méthode est affectée par un biais. En effet, on ne connaît pas, en général, l'angle que fait le plan de l'orbite de la planète avec l'axe de visée, ce qui peut conduire à une sous-estimation notable de v_S.

Lorsque c'est possible, on corrige la valeur obtenue grâce à cette méthode en prenant en compte une estimation de l'angle d'inclinaison. L'angle d'inclinaison du plan de l'orbite est évalué à partir d'une mesure du temps de transit de la planète devant l'étoile. La méthode des transits planétaires est d'ailleurs aujourd'hui la méthode la plus utilisée pour détecter la présence d'exo-planètes autour d'une étoile. Elle consiste à détecter la variation de luminosité d'une étoile devant laquelle passe une planète. Elle demande des mesures extrêmement précises et l'absence de perturbations. Elle est quasiment impossible à réaliser depuis la Terre. La mise en orbite de satellites dédiés (en particulier les satellites CoRoT et Kepler) a permis la détection de milliers d'exo-planètes ! Le lancement au deuxième semestre 2018 des satellites Chéops de l'ESA et TESS de la Nasa devrait permettre d'augmenter ce nombre et d'affiner notre connaissance des exo-planètes déjà répertoriées.

Nota : l'amplitude de la variation de luminosité permet également d'estimer le rayon de la planète en transit. Cette variation est en effet directement liée à la surface du disque occultant.

Pour accéder à l'angle d'inclinaison du plan de l'orbite à partir du temps de transit d'une planète devant une étoile, il faut avoir une estimation du rayon de celle-ci. Pour les étoiles proches, ce rayon est déterminé par des méthodes d'interférométrie à longue base. On connaît aujourd'hui le rayon d'un peu plus de 30 000 étoiles et ce nombre augmente de jour en jour. On peut également l'estimer à partir de la relation suivante :

Quid des systèmes multi-planétaires ?

La mise en oeuvre de ces méthodes est aisée dans le cas d'un système binaire... et beaucoup plus ardue dans le cas d'un système multi-planétaire. L'amélioration de la précision des mesures et le développement des méthodes de calcul numérique permet aujourd'hui de décomposer les courbes relevées en différentes composantes et d'en déduire l'existence de plusieurs planètes et leurs caractéristiques.

La détermination de la masse des planètes du système solaire et de leurs satellites ne pose aujourd'hui plus de problèmes aux astronomes. Cela reste encore un challenge en ce qui concerne les exo-planètes ! Challenge relevé grâce au progrès rapide des technologies et à la combinaison des différentes méthodes dont disposent les astronomes aujourd'hui.