Les ondes gravitationnelles sont des oscillations de la courbure de l'espace-temps. Elles ont été prédites par Einstein dès 1918. L'effet de ces ondes gravitationnelles est difficilement décelable. Seuls des événements cataclysmiques à l'échelle de ceux qui se produisent dans l'Univers peuvent engendrer une perturbation d'amplitude suffisante pour qu'on puisse espérer la détecter de manière directe.

L'existence des ondes gravitationnelles a été démontrée de façon indirecte par Russel Hulse et Joseph Taylor en 1974. Cette démonstration est basée sur l'observation du pulsar binaire PSR 1913+16. Un système binaire d'étoiles est formé de deux étoiles qui tournent l'une autour de l'autre. Ce tournoiement engendre une sorte de tourbillon de l'espace-temps qui se propage dans l'Univers sous forme d'ondes gravitationnelles. Ces ondes emmènent avec elles une partie de l'énergie du système binaire qui, de ce fait, ralentit. Ce ralentissement est perceptible si le système binaire est associé à un pulsar. Hulse et Taylor ont montré que le ralentissement de la fréquence du pulsar PSR 1913+16 était parfaitement compatible avec les valeurs calculées en appliquant les principes de la relativité générale. Cette découverte leur a valu l'attribution du prix Nobel de physique en 1994.

La détection directe des ondes gravitationnelles est beaucoup plus délicate a réaliser. Elle nécessite de disposer d'instruments de mesure des distances très précis. Les expériences LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) et VIRGO, aux Etats-Unis et en Italie, ainsi que le satellite LISA qui doit être lance en 2020, ont pour objectif de réaliser cette détection.

La première détection a eu lieu en septembre 2015 par l'équipe en charge de l'expérience LIGO. L'événement référencé GW150914 a consisté en la coalescence de deux trous noirs dont les masses respectives étaient de 36 et 29 masses solaires. Le trou noir qui en a résulté a une masse de 62 masses solaires. L'équivalent de 3 masses solaires a été transformé en énergie transportée par les ondes gravitationnelles. La puissance correspondante est tout simplement fantastique ! Elle est de l'ordre de grandeur de la puissance rayonnée à chaque instant par tout l'Univers observable... Cela donne une idée de l'extraordinaire rigidité de l'espace-temps.

La coalescence de deux trous noirs produit un “accrocâ€� dans l'espace-temps. Un peu comme lorsqu'on casse une baguette rigide. La fracture de la baguette libère d'un seul coup l'énergie que l'on a dépensée en tentant de la courber. Plus la baguette est rigide, plus cette énergie est importante. Cette énergie se répand sous la forme d'une onde sphérique dans l'Univers. Or, comme on le sait, l'énergie-matière courbe l'espace... d'où l'existence des ondes gravitationnelles. L'énergie démesurée emportée par les ondes gravitationnelles ne produit cependant sur Terre qu'une ondulation de très faible amplitude, pas même le rayon d'un proton, alors que des étoiles situées à la même distance et qui ont une puissance incomparablement plus faible sont parfaitement visibles. Une étoile comme le Soleil rayonne l'équivalent en énergie de 4 millions de tonnes par seconde, à comparer avec les 6 1027 tonnes rayonnées en quelques millisecondes lors de la fusion de ces deux trous noirs !

Depuis, plusieurs autres événements de ce type ont été détectés. L'événement GW170817 s'est révélé particulièrement intéressant. Cet événement est en effet l'écho de la collision de deux étoiles à neutrons. Une collision qui s'est déroulée il y a 130 millions d'années dans la galaxie NGC 4993, à une époque où les dinosaures régnaient en maîtres sur Terre. La masse de des deux étoiles à neutrons a été estimée à 1,17 et 1,60 masses solaires. L'onde gravitationnelle générée lors de leur collision a emporté une énergie équivalente à près de 3% de la masse solaire : l'énergie rayonnée par 100 000 soleils pendant un milliard d'années !

Mais ce n'est pas tout : les forces de marées titanesques qui se sont appliquées à ces étoiles à neutrons juste avant la fusion les ont volatilisées en partie. L'onde de choc a produit des éléments lourds à profusion : or, platine... L'équivalent de 100 fois la masse de la Terre en quelques heures ! Un flux puissant de rayons gamma a été émis. L'enveloppe de matériaux nouvellement créés a été éjectée à grande vitesse en produisant une lumière intense. Ce type d'événement avait été décrit par les chercheurs et on lui avait donné le nom de kilonova. Il n'avait jamais été observé avant cette date.

La détection de cet événement par les interféromètres LIGO et Virgo a déclenché un branle-bas de combat dans toute la communauté astronomique. 1,7 secondes après cette détection, le télescope spatial Fermi capte un sursaut gamma court (GRB : Gamma Ray Burst) dans la même direction. Quelques jours après, c'est le satellite Chandra qui détecte une nouvelle source de rayons X au même endroit. Puis c'est Hubble qui prend le relai, puis le réseau de radiotélescope VLA. 3500 chercheurs sont mobilisés, des dizaines de labos, 4 satellites, 3 interféromètres... L'analyse de l'extraordinaire moisson de données collectées ne fait que commencer. Elle va permettre à la science des étoiles à neutrons de faire un bond en avant sans précédent.

La détection des ondes gravitationnelles par les interféromètres LIGO a valu à Kip Thorne, Barry Barish et Rainer Weiss le prix Nobel en 2017. La conception du dispositif d'identification des ondes émises par la coalescence de deux astres n'aurait pas été possible sans les travaux théoriques préalables de Thibault Damour.

Equation de propagation des ondes gravitationnelles

L'espace-temps de la relativité-générale est courbe mais il est très rigide. Dans la plupart des cas, il ne se distingue de l'espace-temps plat de Minkowski que par une déviation infime, insensible aux mesures effectuées avec des instruments traditionnels. Cette déviation peut s'écrire :

éta_ij étant la métrique de Minkowski et h_ij l'écart par rapport à cette métrique. Pour déterminer l'équation de propagation de cette déviation à partir de l'équation d'Einstein de la relativité générale, il nous faut exprimer les symboles de Christoffel et le tenseur de Riemann de la courbure en fonction de ce tenseur d'écart.

Or :

• les termes de type déta_ij /dxⁱ sont tous nuls,
• on peut négliger les termes du second ordre faisant intervenir h_i ,

On peut donc écrire :

On peut procéder au même type de simplification avec le tenseur de Riemann en négligeant les termes qui font intervenir les doubles produits de symboles de Christoffel :

Le tenseur de Ricci peut donc s'écrire :

Soit :

Dans cette formule, on peut reconnaître la trace de h_ab ainsi que l'opérateur d'Alembertien (représenté par un carré) :

Ceci permet de réécrire la formule du tenseur de Ricci sous la forme suivante :

Calculons maintenant la courbure de l'espace-temps. Par définition elle vaut :

Il reste à calculer la valeur du tenseur d'Einstein :

On définit le tenseur de trace inverse (h_barre)_ab :

Le nom de ce tenseur provient du fait que h_barre = - h. Ceci permet d'écrire :

L'équation du tenseur d'Einstein se simplifie légèrement :

(On a adopté la convention classique selon laquelle G et c sont égaux à 1.)

Jauge de Lorentz

Jusqu'à maintenant, nous n'avons fait aucune hypothèse sur le référentiel choisi. Rappelons que la relativité générale nous laisse une grande latitude à ce sujet. Il est possible de déterminer quelques règles permettant d'aboutir à une équation beaucoup plus simple. Supposons que l'on effectue un changement de coordonnées tel que :

Le tenseur d'écart h' correspondant à ce nouveau système de coordonnées est différent du tenseur h. Néanmoins, si la déviation est infime, on peut démontrer que :

L'équation du tenseur de Riemann reste inchangée dans cette transformation :

D'une certaine manière, nous pouvons considérer le tenseur d'écart h comme un potentiel dont dérive le tenseur de courbure R^d_acb. C'est une situation analogue à celle que l'on rencontre en électromagnétisme. On montre que l'équation de propagation des ondes électromagnétiques peut s'écrire de manière plus simple si on impose une contrainte au potentiel dont dérive celles-ci. Cette contrainte s'appelle une jauge. Celle que l'on utilise le plus couramment est la jauge de Lorentz :

Par analogie avec l'électromagnétisme, nous allons définir une jauge sur h directement dérivée de la jauge de Lorentz (on lui donne d'ailleurs le même nom) :

(Le choix des nouvelles coordonnées ne dépend que de nous : il nous est donc loisible d'imposer la contrainte qui nous convient.) Cette fois l'équation de propagation ce simplifie considérablement :

Cette équation n'est autre que l'équation de propagation d'une onde ! Dans le vide T_ab = 0 , la solution de cette équation peut être décomposée en une superposition d'ondes monochromatiques se propageant à la vitesse de la lumière.

La signification physique de cette équation est la suivante : lorsque le tenseur énergie-impulsion est soumis localement à des variations, celles-ci se traduisent par des ondes de déformation de l'espace-temps qui se propagent à la vitesse de la lumière. C'est une conséquence de ce phénomène qui a été détectée par Russel et Hulse en 1974 puis par LIGO en 2015. La rotation rapide d'un système binaire entraîne une variation périodique locale de forte amplitude du tenseur énergie-impulsion autour du centre de gravité de l'ensemble. Cette variation agit comme une source d'ondes gravitationnelles.

Puissance dissipée par les ondes gravitationnelles dans un système binaire

Le calcul de la puissance emportée par les ondes gravitationnelles est très complexe. Dans le cas d'un système binaire, le résultat communément accepté donne la valeur suivante :

avec :

• M la masse totale du système : M = M₁ + M₂, M₁ et M₂ étant la masse de chacune des composantes de ce système,
• a la séparation moyenne entre les deux composantes du système,
• mu la masse réduite du système M₁M₂ / M.

Prenons quelques exemples. Dans le cas du système binaire composé de la Terre et du soleil, la puissance emportée par les ondes gravitationnelles vaut 200 W. Compte tenu du moment cinétique de la Terre, l'effet ne sera même pas perceptible lorsque le soleil jettera ses derniers feux dans 5 milliards d'année. Si l'on considère le système binaire composé du soleil et de Jupiter, la puissance est un peu plus importante (5 kW) mais l'effet est tout aussi négligeable. Dans le cas du système binaire composé de la Terre et de la Lune, la puissance emportée est infinitésimale (7 mW). C'est l'effet d'éloignement de la Lune lié aux marées qui prédomine largement !

Dans le cas du système binaire PSR 1913+16 identifié par Hulse et Taylor en 1974, la puissance est au contraire considérable. Le système est composé de deux étoiles à neutrons de masse à peu près équivalente (1,4 masses solaires). La séparation moyenne a vaut quant à elle 1,6 millions de km. Dans ces conditions, le calcul montre que la puissance dissipée vaut 7 10²⁴ W ! Une valeur suffisante pour que les astronomes puissent détecter son effet sur la période de rotation du système binaire...

Détection directe

La mesure du ralentissement d'un système binaire est une confirmation indirecte de l'existence des ondes gravitationnelles. Une mesure directe est beaucoup plus difficile à réaliser : elle demande une très grande précision dans la détermination des distances et cette précision est à la limite des possibilités de la technologie actuelle.

Le dispositif LIGO aux Etats-Unis mesure par interférométrie la variation de longueur de deux bras rigides orthogonaux de plus d'un km chacun. Il est composé de deux de ces interféromètres, l'un est implanté dans l'état de Washington et l'autre en Louisiane. Le dispositif Virgo en Europe est de même nature. Les équipes Ligo et Virgo coopèrent, ce qui permet de déterminer la direction d'où provient le signal par triangulation. D'autre interféromètres sont en cours de construction en Allemagne, au Japon et en Inde.

La mission spatiale LISA améliorera considérablement la sensibilité de la mesure : trois satellites formeront dans l'espace un interféromètre à 2 bras de près de 1 million de kilomètres. Elle permettra d'explorer d'autres longueurs d'onde que celles observées par les dispositifs terrestres. Ces satellites devraient être lancés en 2020. Le démonstrateur LISA Pathfinder dont l'objectif est de préparer cette mission a été mis sur orbite en 2015.