Décalage vers le rouge cosmologique

Comme nous venons de le démontrer, la théorie de la relativité générale nous décrit un Univers qui ne peut pas rester statique. Nous verrons dans un post ultérieur comment on peut construire un scenario de l'évolution de l'Univers qui permet d'expliquer de manière étonnamment précise la plupart des observations faites par les astronomes. Il en est une qui a joué un rôle décisif dans l'histoire de la cosmologie au XX^ème siècle : celle de la fuite des galaxies, découverte par Edwin Hubble en 1929. Comment cette fuite des galaxies a-t-elle pu être mesurée ? L'explication est assez simple... et c'est une application directe de la relativité générale !

L'expansion de l'Univers a un effet sur la longueur d'onde des photons : celle-ci augmente avec le facteur d'expansion. On appelle ce phénomène le décalage vers le rouge cosmologique (cosmological redshift en anglais). Ce décalage vers le rouge ne doit pas être confondu avec le décalage gravitationnel (voir les posts sur la relativité générale). C'est la mesure de ce décalage vers le rouge qui permet de quantifier la distance qui nous sépare des galaxies lointaines. La lumière qui nous arrive en provenance de ces galaxies a été émise il y a plusieurs milliards d'années. La mesure du décalage vers le rouge du spectre des galaxies nous renseigne sur le moment auquel le rayonnement que nous percevons a été émis, donc sur la distance de ces galaxies. Voici comment...

Dans la métrique FLRW, l'équation géodésique d'un photon s'écrit :

Considérons un photon émis à l'instant t₀ et perçu à l'instant t₁. On peut écrire :

Il en va de même pour un photon émis après un intervalle de temps égal à une période (l'expansion de l'Univers est totalement négligeable pendant cet intervalle de temps) :

Le second membre de ces deux équations est identique. On peut donc écrire :

En décomposant puis en réarrangeant cette équation on peut montrer que :

Ce que l'on écrit de la manière suivante :

Dans cette formule, z représente le décalage vers le rouge cosmologique. Comme on connaît le spectre d'émission des galaxies, il est facile de déterminer ce décalage et donc de remonter au moment où le rayonnement a été émis à partir du modèle d'expansion de l'Univers.

Mais que devient l'énergie des photons ?

La conséquence directe du redshift des photons est que ceux-ci perdent de l'énergie. Ceci conduit à se poser la question suivante : que devient cette énergie ? N'y a-t-il pas violation de la loi de conservation de l'énergie ? C'est une question qui revient de façon périodique sur les forums de discussion et il est rare qu'on lui donne une réponse appropriée.

Ceux qui posent cette question font en général une confusion entre conservation de l'énergie et conservation de l'impulsion. Lorsqu'on dit que les photons « cosmologiques » perdent de l'énergie, c'est une manière raccourcie de dire que la composante E/c de leur quadrivecteur énergie-impulsion diminue. Or aucune loi ne dit que cette composante doive être conservée. La conservation d'une composante du quadrivecteur énergie-impulsion n'est assurée que dans des circonstances très particulières. Dans le cas d'un photon par exemple, l'amplitude de la composante E/c de son quadrivecteur énergie-impulsion dépend de la courbure de l'espace-temps. Lorsque cette courbure est assimilable à celle de l'espace, on parle de décalage gravitationnel. Lorsque la courbure affecte aussi le temps, il y a décalage cosmologique.

Si on veut appliquer la loi de conservation de l'énergie, il faut prendre en compte les interactions du photon avec le milieu ambiant. Pour ce faire, prenons le cas d'un volume d'Univers dont les dimensions sont proportionnelles au facteur d'échelle a(t). La loi de conservation de l'énergie nous dit que la variation d'énergie interne doit être égale au travail de la pression lors du changement de volume (exactement comme dans le cas d'un piston). C'est très précisément le sens de la deuxième équation remarquable que nous avons rencontrée dans le post précédent et que nous avons déjà mentionnée plus haut :

Sachant que la pression radiative vaut :

La solution de cette équation s'écrit :

Soit E(t) l'énergie moyenne des photons. La densité d'énergie peut donc s'écrire :

On retrouve bien l'équation exprimée plus haut qui indique que l'énergie des photons varie comme l'inverse du facteur d'échelle. CQFD.

Que devient l'énergie perdue par les photons ? Elle sert à pousser les murs ...