Les mathématiques grecques

La contribution des mathématiciens de la Grèce antique est essentielle. Dès le 6^ème siècle avant notre ère Thalès de Milet (né en -625, mort en -547) formulait des préceptes de géométrie que l’on continue d’enseigner aujourd’hui.

Pythagore (né vers -580, mort en -495) est connu de tous les collégiens en raison du théorème qui porte son nom. On sait moins qu’il se voyait avant tout comme un philosophe, fondateur d’une école philosophique dans laquelle la mystique des nombres joue un grand rôle (Tout est nombre).

Platon (-424, -348) est né à l’époque des guerres du Péloponnèse entre Sparte et Athènes. S’il n’a pas joué un rôle actif dans le développement des mathématiques grecques, sa conception esthétique du monde a profondément influencé ses disciples et, en premier lieu, Aristote (-384, -322).

L’œuvre d’Aristote est féconde. Son ouvrage Physica peut être vu comme le premier traité de science. Préoccupé d’épistémologie autant que de physique et de mathématiques, Aristote dresse l’ébauche d’une méthode de raisonnement scientifique. Son instrument est la démonstration : démontrer, c'est montrer la nécessité interne qui gouverne les choses. La vérité est établie sur la base du syllogisme. Le syllogisme est un raisonnement basé sur deux propositions, appelées prémisses : tous les hommes sont mortels (prémisse 1), Socrate est un homme (prémisse 2) donc Socrate est mortel. La syllogistique, a considérablement influencé les penseurs scolastiques du moyen-âge occidental.

Euclide a vécu vers -300 avant notre ère. Il rédige un ouvrage majeur pour les mathématiques : les Éléments. Les Eléments ne cesseront d’être recopiés et publiés pendant des siècles. Ils furent l'un des premiers livres imprimés. Euclide est considéré comme le père de la géométrie (on a vu plus haut que ce n’était pas à proprement parler le cas). La géométrie euclidienne définit sur des bases solides la droite, le cercle et postule que la somme des angles d’un triangle est égale à deux angles droits. Archimède (né en -287, mort en -212) est plus connu comme ingénieur que comme mathématicien. Il a pourtant contribué au calcul du nombre π et travaillé sur le volume de la sphère et du cylindre.

Euclide

Hipparque (né vers -190, mort en -120) est un grand astronome mais c’est aussi un mathématicien. On dit de lui qu’il est le père de la trigonométrie mais rien ne permet de l’affirmer avec certitude.

Les mathématiques indiennes et perses

La contribution des mathématiciens indiens de cette époque est moins bien connue. On trouve dans des textes écrits en sanscrit entre -800 avant notre ère et le deuxième siècle après JC des indications montrant que les mathématiques indiennes étaient déjà très avancées. Ce sont les indiens qui ont inventé le zéro et la notation décimale.

Par la suite, l’Inde va rester un centre d’excellence pour le développement des mathématiques. Le mathématicien Brahmagupta, qui vécut au septième siècle, a jeté les premières bases de l’algèbre. Dans un de ses ouvrages, il donne la solution générale des équations linéaires  ainsi que la solution des équations du second degré à une inconnue. Plus tard, Bhaskara (XIIème siècle) aborde le problème de la résolution des équations polynomiales et jette les bases du calcul différentiel.

Au contact avec l’Inde, les mathématiciens arabes et persans vont jouer un grand rôle dans la diffusion des mathématiques au proche orient et en occident. Au IXème siècle, Al Kwarizmi est connu pour son ouvrage al jabr qui a donné son nom à notre moderne algèbre. Le mot algorithme tire d’ailleurs son étymologie d’Al Kwarizmi. Al-Biruni, mathématicien né à la fin du Xème siècle à Kath (une ville de l’actuel Ouzbekistan) est connu pour ses travaux en arithmétique et en algèbre. Il s’intéresse aux séries mathématiques et à l’analyse combinatoire.

Le développement des mathématiques en Europe

A la suite des croisades et de la reconquista, les ouvrages de la Grèce antique et ceux des mathématiciens arabes sont découverts par l’élite occidentale. Tolède, qui a été reprise en 1085 par le roi Alphonse VI, devient un important centre de traduction des textes antiques et arabes.

Le livre Liber Abaci publié par le pisan Léonardo Fibonacci (1175 - 1250) en 1202, consacre la véritable naissance des mathématiques en Europe. Il faudra pourtant plusieurs siècles pour que les mathématiciens occidentaux atteignent un niveau équivalent à celui atteint par les meilleurs mathématiciens indiens et persans.

L’école italienne est la plus active. Au XIVème et au XVème siècles, la plupart des contributions tournent autour de la résolution des équations. Au XVIème siècle, les mathématiciens italiens introduisent la notion de nombres complexes.

En dehors de l’Italie, les mathématiques prennent véritablement leur essor à la fin du XVIIème siècle. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) et Isaac Newton (1643-1727) introduisent le calcul différentiel intégral à peu près au même moment (il est appelé méthode des fluxions par Newton). Les frères Bernouilli (Jacques, né en 1654 et mort en 1705, et Jean, né en 1667 et mort en 1748) apportent une contribution décisive à la formalisation des équations différentielles. Leonhard Euler (1707 – 1783) propose une méthode pour résoudre les problèmes d’optimisation.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Jean le Rond d'Alembert (1717 – 1783) et Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) développent le calcul infinitésimal. Lagrange est aussi à l’origine du principe de moindre action et il contribue avec Euler à l’établissement de l’équation d’Euler-Lagrange qui joue un rôle essentiel dans le calcul variationnel.

Joseph Fourier (1768 – 1830) introduit les décompositions en séries trigonométriques qui portent son nom (série de Fourier).

L'âge d'or des mathématiques

Le XIXème siècle est l’âge d’or des mathématiques.

Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) est l’un des mathématiciens les plus brillants du début du XIXème. Il s’intéresse à l’analyse, à l’algèbre ainsi qu’à la géométrie et aux statistiques.

La contribution de Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) est essentielle pour le développement des géométries non euclidiennes. Elles seront reprises et approfondies par Nicolaï Lobatchevski (1792-1856), Jànos Bolyai (1802-1860) et surtout Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Celui-ci étend la notion d’espace courbe à un nombre quelconque de dimensions (notion de n-variété). La géométrie Riemannienne est à la base du formalisme de la théorie de la relativité générale.

Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) est connu pour la fameuse loi de Poisson, beaucoup utilisée en probabilités. Il a aussi travaillé sur les intégrales. Son travail dans ce domaine a été poursuivi par le mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859).

Niels Henrik Abel (1802 – 1829) est un mathématicien norvégien connu pour ses travaux sur la convergence des suites et des séries (lemme d’Abel).

Evariste Galois (1811 – 1832) est l’inventeur de la notion de groupe en mathématiques. Il a aussi développé la notion de symétrie en tant qu’invariance dans une transformation. Ces deux notions (groupe et symétrie) sont essentielles dans la théorie des champs quantiques. Etudiant brillantissime, Evariste Galois mourut à 21 ans au cours d'un duel.

Le britannique George Boole (1815-1864) est le père de la logique booléenne à la base de l’informatique moderne.

Henri Poincaré

La deuxième partie du XIXème siècle est marquée par la personnalité d’Henri Poincaré (1854 – 1912). Poincaré travaille d’abord sur le problème de l’interaction gravitationnelle entre trois corps. Le cadre de ses recherches s’élargit ensuite. Sa contribution est essentielle à l’élaboration d’une nouvelle branche de la géométrie : la topologie. Le mathématicien allemand Georg Cantor (1845 – 1918) va jouer un rôle important dans la naissance de la théorie des ensembles. Il s’intéressera également à la notion d’infini en mathématiques et démontrera que l’on peut classer les différents types d’infini.

Le physicien néerlandais Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928) a sa place dans ce rapide survol de l’histoire des mathématiques : il est à l’origine des transformations de Lorentz qui sont la clef de voute mathématique de la relativité restreinte. Il revint à Poincaré de les faire connaître et de montrer qu’elles forment un sous-groupe d’un groupe plus général de transformation de l’espace-temps auquel on donnera son nom.

Hermann Minkowski (1864-1909) est un mathématicien allemand qui proposa dès 1906 un cadre géométrique pour la relativité restreinte.

Ce brillant XIXème siècle s’est prolongé bien au-delà de 1900 avec toute une vague de mathématiciens qui a fait la jonction entre le XIXème et le XXème siècle. Le XXème siècle Emmy Noether (1882 – 1935) est une mathématicienne allemande spécialiste d’algèbre. Einstein parlait d’elle comme étant « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ». On lui doit le théorème de Noether qui exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance des lois physiques dans une symétrie (1918).

Emmy Noether

Hermann Weyl (1885 – 1955) est un mathématicien et un physicien théoricien suisse dont les travaux sont d’une grande importance pour la physique du XXème siècle. C’est lui qui a introduit la notion d’espace conforme (utilisé en théorie de la relativité) et d’invariance de jauge (utilisé en théorie quantique des champs). Son nom est aussi associé à la notion de connexion. Cette notion fut développée par Élie Cartan (mathématicien français né en 1869 et mort en 1951). Elle a été reformulée et généralisée par Jean-Louis Koszul, un strasbourgeois né en 1921.

Le norvégien Sophus Lie (1842 - 1899) a contribué au développement de la théorie des symétries continues. On lui doit la création de l'algèbre de Lie et des groupes de Lie qui sont à la base des théories de jauge utilisées en physique quantique.

Le théorème de Noether a joué un rôle essentiel dans la physique théorique du XXème siècle. Il démontre qu’à toute invariance par symétrie correspond la loi de conservation d’une grandeur physique. La loi de conservation de l’énergie correspond par exemple à l’invariance des lois physique par une translation dans le temps. Dès lors, la recherche des symétries a constitué un axe privilégié de la recherche fondamentale en physique.

L’allemand David Hilbert (1862 – 1943) est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens du XXème siècle. Il a développé de nombreux concepts novateurs. Il est en particulier le principal fondateur de l'analyse fonctionnelle. Les espaces de Hilbert sont les espaces utilisés pour définir l’état quantique des particules.

Le mathématicien russe Andreï Markov (1856 – 1922) fit beaucoup progresser la théorie des probabilités. Il introduisit notamment la notion de chaîne de Markov (chaîne dans laquelle un élément dépend du précédent avec une certaine probabilité). Son compatriote Alexandre Mikhaïlovitch Liapounov (1857 - 1918) contribua également à développer les probabilités.

Il est difficile de citer de faire un parcours exhaustif de l’histoire des mathématiques tant leur développement a été fécond au cours du XXème siècle. On se limitera à quelques noms qui sont liés de près ou de loin aux avancées les plus importantes pour le développement de la physique.

Marcel Grossmann (1878 - 1936) est un mathématicien hongrois. Ami d’Albert Einstein, il va l’aider à formuler la relativité générale en utilisant les concepts géométriques développés par Riemann.

John Von Neumann (1903 – 1957) est un autre mathématicien hongrois. Il va jouer un grand rôle dans l’établissement du cadre mathématique dans lequel la mécanique quantique s’est développée. Ce cadre s’appuie sur des concepts abstraits assez peu intuitifs comme l’espace de Hilbert et les opérateurs.

Szolem Mandelbrojt est un mathématicien français né en Pologne (1899 – 1983). Il est le fondateur du groupe Bourbaki, une association de mathématiciens dont la production fut particulièrement féconde. Il est aussi l’oncle de Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) à qui l'on doit la notion de fractales.

Kurt Gödel (1906 –1978) est un mathématicien autrichien qui émigra aux Etats-Unis. Il est surtout connu pour avoir démontré les « théorèmes d’incomplétude » qui prouvent que toute théorie arithmétique comporte nécessairement des axiomes indémontrables. Une fois installé à Princeton, il proposa diverses solutions de l’équation d’Einstein (avec qui il a collaboré). Gödel est également docteur en philosophie.

Alan Turing (1912 – 1954) est un mathématicien britannique qui contribua beaucoup à donner un cadre mathématique rigoureux à l’informatique naissante. Il inventa la machine de Turing (modèle abstrait de fonctionnement des ordinateurs)… et la machine qui servit à décoder les communications des allemands pendant la guerre (le fameux code Enigma).

Laurent Schwarz (1915 – 2002) est un mathématicien français connu pour ses travaux sur les distributions. Il reçut la médaille Fields en 1950.

Eugenio Calabi (mathématicien italien né en 1923) et Shing-Tung Yau (mathématicien chinois né en 1949, médaille Fields en 1982) ont laissé leur nom à la notion de variété compacte (variété de Calabi-Yau). Cette notion est essentielle dans la théorie des cordes.

Stepehn Hawking (né en 1942) est plus connu comme physicien et cosmologiste, il fut pourtant professeur de mathématiques à l’Université de Cambridge pendant près de 30 ans, titulaire de la chaire occupée en son temps par Isaac Newton.

Roger Penrose (né en 1931) est un mathématicien et physicien britannique ami de Stephen Hawking. Il s’est beaucoup intéressé aux applications des espaces conformes à la physique (mais aussi aux pavages non périodiques).

Michael Green est né en 1946. Il a succédé à Stephen Hawking comme titulaire de la chaire de mathématiques de Cambridge. Sa contribution au développement de la théorie des cordes (avec l’américain John Schwarz, né en 1941) est essentielle.

La théorie du chaos s’est imposée dans les années 70. La notion de sensibilité extrême aux conditions initiales est antérieure à cette date : Henri Poincaré l’avait déjà évoquée à la fin du XIXème siècle. C’est surtout le développement des méthodes de simulation informatique et la découverte en 1963 par le météorologiste Edward Lorenz (1917 – 2008) de ce que l’on a appelé par la suite « attracteur étrange » qui a placé cette discipline au centre des préoccupations des mathématiciens.

Pour terminer, on ne peut pas ne pas citer Alain Connes, mathématicien français né en 1947, qui reçut la médaille Fields en 1982 et le prix Crafoord en 2001 pour ses travaux sur la géométrie non commutative. La géométrie non commutative permet d'entrevoir une quantification de l'espace et du temps qui pourrait réconcilier rélativité générale et physique quantique.