Que ceux qui sont allergiques aux mathématiques passent leur chemin... Pour les autres, nous allons faire quelques rappels sur les groupes et les espaces vectoriels pour pouvoir introduire la notion de groupe de Lie et d'algèbre de Lie, incontournable en physique quantique.

Groupe

Un groupe est un ensemble muni d'une loi interne :

qui a les propriétés suivantes :

Le groupe est dit commutatif (ou abélien) si :

L'ensemble des entiers relatifs (appelé Z) est un groupe pour l'addition. Il en va de même pour l'ensemble R des nombres réels. L'ensemble des rotations forme aussi un groupe.

Espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble muni :

• d'une loi de composition interne notée « + » appelée somme vectorielle et pour laquelle il est un groupe commutatif,
• d'une loi de composition externe « o », associative et distributive, appelée produit par un scalaire.

K étant un ensemble ayant les propriétés d'un corps. Cette loi vérifie également les propriétés suivantes :

Dans ce qui précède, -u représente l'inverse de u par l'opération somme vectorielle.

L'ensemble R³ est un espace vectoriel sur le corps des réels R. L'ensemble des fonctions continues sur R³ à valeur réelle ou complexe est également un espace vectoriel sur R.

Représentation linéaire d'un groupe

On parle de représentation linéaire d'un groupe lorsque celui-ci agit sur un espace vectoriel et que cette action respecte la structure de l'espace vectoriel.

Soit E un espace vectoriel sur un corps (R ou C par exemple). Soit X_E l'ensemble des applications linéaires inversibles de E dans E. Une représentation linéaire de dans X_E associe à tout élément g de G une application linéaire T(g) de X_E.

Si E est un espace vectoriel de dimension n sur R alors X_E peut être identifié au groupe GL(n,R) des matrices inversibles n x n. Dans ce cas une représentation linéaire de G est une représentation qui associe à tout élément de G une matrice du groupe GL(n,R).

Même chose si l'on remplace le corps des réels par le corps des complexes C, dans ce cas X_E est le groupe des matrices complexes inversibles GL(n,C).

Groupe de Lie

Lorsqu'un groupe est une variété différentiable, que sa loi interne * est différentiable et que l'application inverse g à g^-1 est également différentiable, ce groupe est un groupe de Lie. Le plus souvent, on identifie un groupe de Lie à sa représentation linéaire sur R (ou sur C), c'est-à-dire au groupe de matrices qui le représentent.

Le groupe SO(2)

C'est le groupe des matrices orthogonales de dimension 2 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans R² constituent l'une des représentations linéaires de ce groupe :

Le groupe SO(2) est un groupe de Lie. Il est commutatif. L'inverse de la matrice R(theta) est la matrice R(-theta). Il est possible d'écrire R(theta) sous la forme :

Si l'on remarque que G² = -Id et que G² = - G, un simple développement limité du second membre de l'équation ci-dessus suffit à le démontrer. On peut exprimer cette équation sous la forme suivante :

En ce sens, on peut dire que la matrice (considérée comme un élément d'un espace vectoriel) est un vecteur tangent au groupe SO(2) au point qui correspond à la matrice identité (c'est-à-dire tel que theta = 0).

Il existe une autre représentation de ce groupe, cette fois dans U(1). L'application définie comme suit :

est un isomorphisme. Un isomorphisme est une application bijective qui préserve la structure d'un ensemble et dont la réciproque préserve également la structure de cet ensemble. Les groupes SO(2) et U(1) sont isomorphes.

Le groupe SO(3)

C'est le groupe des matrices orthogonales de dimension 3 et de déterminant 1. Le groupe des rotations dans R³ est une représentation linéaire de ce groupe.

Une rotation dans R³ est caractérisée par un vecteur unitaire u et un angle theta appartenant à l'intervalle [-pi, pi [. On peut la représenter par un vecteur de R³ :

(Remarque : il ne s'agit pas d'une représentation linéaire.) L'extrémité de ce vecteur appartient à une boule centrée sur l'origine de R³ et de rayon pi. Cette représentation présente une particularité : deux points antipodaux du bord extérieur de cette boule représentent la même rotation alors qu'à toute rotation d'un angle inférieur à pi ne correspond qu'un point et un seul de la boule. Comme on l'a dit, cette représentation n'est pas une représentation linéaire. Elle nous donne par contre une indication sur la topologie de SO(3) : on peut en effet dire que SO(3) est compact.)

Le groupe SO(3) est un groupe de Lie. A la différence du groupe SO(2) il n'est pas commutatif : l'application de la rotation R₁ suivie de la rotation R₂ ne donne pas le même résultat que l'application de R₂ suivi de R₁.

Le groupe SU(2)

C'est le groupe des matrices 2x2 unitaires complexes de déterminant égal à 1.

Ceci revient à dire que :

Si on écrit a = x + iy et b = z + it, il vient :

C'est l'équation d'une hypersphère de rayon unité. Là encore il ne s'agit pas d'une représentation linéaire : c'est la topologie de l'hypersphère qui nous intéresse. Tout comme celle dans le cas précédent, elle est compacte.

Le groupe SU(2) et les quaternions

Le groupe SU(2) est souvent associé à la notion de quaternion. Cette notion a été introduite par William Rowan Hamilton pour représenter les rotations dans l'espace. Soit q le quaternion défini par :

Les quaternions sont des nombres hypercomplexes. Au lieu de n'avoir qu'une seule composante imaginaire, ils en ont trois. Ou plutôt leur partie imaginaire est de nature vectorielle. On donne à la composante w de q le nom de composante scalaire de q et au triplet (x,y,z) le nom de composante vectorielle. Un quaternion q est dit unitaire si on peut le représenter sous la forme :

Considérons maintenant un vecteur quelconque a appartenant à R³. On peut le représenter par un quaternion de composante scalaire nulle et de composante vectorielle égale à a:

On peut montrer que la rotation de ce vecteur d'un angle theta autour de l'axe porté par le vecteur u s'écrit de manière simple dans l'espace des quaternions :

Il est facile de voir qu'il y a bijection entre l'ensemble des quaternions unitaires et SU(2) :

On écrit souvent la matrice en utilisant le formalisme suivant :

avec :

Ces matrices sont appelées matrices de Pauli.

Relation entre SU(2) et SO(3)

Comme on l'a vu, les groupes SU(2) et SO(3) sont tous deux associés aux rotations dans R³. Pour SO(3) la relation est directe : il y a isomorphisme entre le groupe des rotations dans R³ et SO(3). Dans le cas de SU(2) c'est un peu moins évident... La bijection entre l'ensemble des quaternions unitaires et le groupe SU(2) nous permet cependant d'établir une relation entre SU(2) et SO(3).

Pour cela nous allons introduire un nouveau type d'application T qui fait correspondre à un vecteur a de R³ une matrice de l'espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) :

Au passage, on notera que la transformation inverse T^-1 s'écrit comme suit :

Tr étant l'opérateur trace de la matrice.

Revenons à nos moutons... Considérons l'effet d'une rotation d'un vecteur a. Dans R³ on peut l'écrire de manière directe de la façon suivante :

Nous avons vu qu'il était également possible de représenter une rotation par un quaternion et qu'à tout quaternion on pouvait associer une matrice de SU(2) :

C'est ici qu'intervient l'application T définie plus haut. Nous avons vu qu'elle permettait d'associer à tout vecteur a de R³ une matrice de MH(2,C) :

C'est sur ces matrices de MH(2,C) que nous allons faire agir les matrices Q que nous avons définies en correspondance avec les rotations R(u,theta) :

Récapitulons. Première étape : à toute rotation dans R³ on fait correspondre une matrice dans SU(2) :

Deuxième étape. A tout vecteur a de R3 on fait correspondre une matrice de l'espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) :

Troisième étape. A toute rotation R(u,theta) on associe une application sur les matrices de MH(2,C) :

La boucle est bouclée... Nous avons bien défini une application qui fait correspondre à chaque élément du groupe SU(2) une rotation dans R3. C'est donc effectivement une application de SU(2) dans SO(3) :

On donne à ce type d'application le nom de morphisme de groupe. Dans le cas qui nous intéresse, ce morphisme n'est pas bijectif. On peut voir en effet que Q(u,theta) et Q(-u,-theta) ont tous deux la même transformée.

J'en vois qui hochent la tête... Le moins qu'on puisse dire, c'est que c'est plutôt tiré par les cheveux. L'espace R³, on connaît. Les rotations, on voit bien ce que c'est. Mais à quoi peut nous servir une application de l'espace des matrices hermitiennes complexes MH(2,C) dans lui-même ? Vous en connaissez beaucoup, vous, des matrices hermitiennes complexes ? Tout ça a un parfum d'inachevé. Si nous voulons tirer profit des propriétés des groupes de Lie en général et de SU(2) en particulier, il nous faut trouver une représentation plus commode et à laquelle nous pouvons raccrocher des objets physiques.

La théorie des spineurs va nous permettre de faire ce lien. Mais en attendant, nous allons continuer de creuser notre sillon et voir comment on peut générer les éléments d'un groupe de Lie à partir de son algèbre (voir le post sur les algèbres de Lie).