Le mathématicien britannique Roger Penrose a imaginé un diagramme qui permet de représenter l'espace-temps autour d'un trou noir ainsi que les relations causales entre deux points de cet espace-temps sous la forme d'un schéma à deux dimensions. Cette représentation, appelée diagramme de Penrose, utilise la notion de transformation conforme. La transformation conforme est une transformation mathématique qui fait partie de la classe des difféomorphismes.

La transformation conforme et les espaces conformes constituent une « boîte à outils » très puissante pour les astronomes. Ces outils restent cependant très abstraits. Or nous avons besoin de visualiser les choses pour nous les représenter. Difficile quand il s'agit d'un espace à quatre dimensions auquel on applique une transformation d'échelle variable... Le diagramme de Penrose a le mérite de nous permettre de visualiser de manière relativement intuitive un espace conforme.

Difféomorphisme et transformation conforme

Un difféomorphisme est une transformation différentiable d'une variété dans une autre variété qui modifie l'échelle (la métrique) en chaque point. Une transformation différentiable est une transformation qui transforme une courbe continue en une autre courbe continue.

Une transformation conforme est un difféomorphisme qui conserve localement les angles :

• Soit M une variété, soient C₁ et C₂ deux courbes de cette variété qui se coupent au point A en formant un angle alpha.
• Soit f un difféomorphisme de M dans M'. Soient C₁' = f(C₁) et C₂' = f(C₂) et soit A' = f(A).

f est une transformation conforme si et seulement si C₁' et C₂' se coupent en A' en formant un angle égal à alpha.

Exemple : disque de Poincaré

Le disque de Poincaré est une représentation conforme d'une nappe de l'hyperboloïde dans un disque. Une surface hyperbolique est une 2-variété de courbure négative. Soit une surface hyperbolique H d'axe Oz et d'équation :

Soit M un point de l'axe Oz de coordonnée z_M négative. Quelque soit le point P appartenant à H, le segment MP coupe le plan xOy en un point d'un disque D de ce plan (voir les figures ci-dessous). On peut montrer que cette transformation est conforme. Dans l'exemple du disque de Poincaré, l'hyperboloïde, qui est une surface ouverte, est transformé en un disque qui est une surface fermée.

Transformation conforme de l'espace-temps

On peut appliquer le principe de la transformation conforme à l'espace-temps. Dans cet espace, une transformation conforme s'écrit sous une forme très simple. Soit g la métrique initiale et g' la métrique après transformation :

Omega étant une fonction continue et dérivable qui dépend du point où la transformation est appliquée. Supposons que l'on parte d'un espace-temps E à symétrie sphérique. Soit O son centre de symétrie. Les propriétés de cet espace ne dépendent que de la distance r au centre de symétrie O et du temps t. Il en va donc de même pour la métrique qui le décrit :

Soit T une transformation conforme de cet espace-temps E dans l'espace conforme M. Soit P un point appartenant à E défini par son abscisse temporelle t et sa distance au centre de symétrie r. La transformée de P par T est un point P' de M défini par ses coordonnées (u,v). Le centre de symétrie O de l'espace E est transformé en un point O', centre de symétrie de M.

La transformation T transforme la métrique g en une métrique g' telle que :

Penrose définit une classe particulière de transformations conformes de l'espace-temps en imposant à T une condition spécifique. Soit d' la distance construite à partir de g', quelque soit P appartenant à E :

Cette contrainte peut s'écrire aussi de la manière suivante :

u_inf ayant une valeur finie. Cette condition permet à Penrose de contraindre l'espace conforme M à avoir un volume fini, comme dans le cas du disque de Poincaré.

Diagramme de Penrose

Le diagramme de Penrose est une représentation en deux dimensions de l'espace conforme M généré par cette transformation. La figure qui suit donne un exemple de ce type de diagramme dans le cas de l'espace-temps de Minkowski (que nous continuerons d'appeler E). L'axe horizontal représente l'axe d'espace. L'axe vertical représente l'axe temporel. Comme l'espace conforme M est de symétrie sphérique, il faut considérer chaque point du triangle comme étant représentatif d'une sphère de M centrée sur O'.

Le caractère conforme de cette représentation fait qu'un rayon lumineux en provenance du passé suit une droite inclinée à 45 degrés de la droite vers la gauche et qu'un rayon lumineux dirigé vers le futur suit une droite à inclinée à 45 degrés de la gauche vers la droite. La courbe bleue représente la trajectoire d'un objet provenant de l'infini dans le passé et se prolongeant vers l'infini dans l'avenir.

Dans le diagramme de la figure ci-dessus, le point i⁰ représente l'infini dans l'espace. La sphère associée à i⁰ est celle définie par l'ensemble des points de coordonnées (u_inf, 0). Le point i⁺ est l'infini dans le futur, le point i^- est l'infini dans le passé. La droite I⁺ est l'infini-lumière dans le futur. L'infini-lumière dans le futur est le lieu où aboutissent toutes les géodésiques dans le futur. On l'appelle infini-lumière parce qu'il a les mêmes caractéristiques qu'une géodésique de genre lumière (une droite inclinée à 45 degrés). Considérons en effet un point P quelconque de l'espace-temps de Minkowski. Ce point est défini par ses coordonnées (t,r,theta,phi). Quels que soient r et t il existe dans le futur de P un point P' de coordonnées (t',0,0,0) tel que le segment PP' soit de genre lumière. I⁺ est donc lui-même de genre lumière. La droite I^- est l'infini-lumière dans le passé.

Particularités de la transformation de Penrose

Appliquons la transformation de Penrose à un espace euclidien (donc de courbure nulle). Cet espace est caractérisé par le fait que g_r = 1 quel que soit r. La contrainte imposée par Penrose impose la condition suivante :

On peut s'en convaincre facilement en faisant le raisonnement suivant : si r.Omega_r tendait vers une valeur finie, l'intégrale définissant la condition de Penrose ne pourrait pas être vérifiée. En effet, l'intégrale de dr/r est égale à log_r et tend vers l'infini lorsque r tend vers l'infini.

Il découle de cette nouvelle condition une propriété intéressante en ce qui concerne la circonférence d'un cercle centré sur l'origine O et dont le rayon r est croissant. Après transformation conforme, la circonférence du cercle vaut 2pi.r.Omega_r. Elle s'annule donc lorsque r tend vers l'infini. Il en résulte que, dans l'espace conforme M, l'infini-espace est une sphère de circonférence nulle, un point dont l'abscisse est u_inf ! Dans le diagramme de Penrose associé à M, le point i⁰ représente ce point d'abscisse u_inf et il représente une sphère de rayon infini de E.

Dans le cas d'un univers à courbure négative, les conditions exprimées pour un espace euclidien restent valables. Par contre, les conclusions que nous avons tirées au sujet de la circonférence du cercle (ou d'une sphère) associé à i⁰ ne le sont plus. Dans un espace hyperbolique, la circonférence d'un cercle de rayon r n'est pas égale à 2pi.r. Elle fait en effet intervenir un facteur exponentiel. La circonférence d'un cercle de rayon croissant après transformation conforme ne tend donc pas nécessairement vers zéro. On peut cependant choisir la fonction Omega_r pour que la circonférence du cercle transformé soit finie quelque soit r. C'est d'ailleurs la solution que retient Penrose. Dans ce cas, le point ne correspond pas à un point mais à une sphère de l'espace conforme M.

Univers en expansion

Dans le cas d'un univers en expansion, le diagramme présenté ci-dessus n'est plus adapté. Compte tenu de l'expansion de l'univers, il existe des points P' de M qui ne feront jamais partie du cône de causalité de O' à quelque moment que ce soit dans le futur. Cela se traduit par le fait que l'infini-futur I⁺ est du genre espace. Il est représenté par une courbe convexe telle que la tangente en chaque point fait un angle inférieur à 45 degrés avec l'horizontale (figure ci-dessous). En pratique, l'infléchissement de la courbe représentant l'infini du futur est très faible par rapport à la droite à 45 degrés. Il est souvent négligé. On peut faire le même type de raisonnement pour la courbe représentant le Big-bang.

Diagramme de Penrose d'un trou noir de Schwarzschild

Le diagramme conforme d'un trou noir de Schwarzschild est donné par la figure qui suit. Ce diagramme fait l'hypothèse d'un trou noir situé au centre de symétrie de l'espace-temps. Par souci de simplification, on néglige l'effet de l'expansion de l'espace et on part du diagramme en triangle dont nous avons vu qu'il s'appliquait aussi bien à un espace euclidien qu'à un espace hyperbolique.

Dans le diagramme qui suit, la singularité centrale du trou noir est représentée par une ligne horizontale dans le futur. Toutes les lignes d'univers qui franchissent l'horizon sont en effet interceptées par cette singularité qui marque la fin des temps pour tout objet qui « tombe » dans le trou noir. L'horizon du trou noir est quant à lui représenté par une droite inclinée à 45 degrés dirigée vers la droite.

C'est logique. Un rayon lumineux émis tangentiellement à la surface de l'horizon reste prisonnier indéfiniment de cet horizon. Il continue de se propager « droit devant lui » au sens de la géodésique, et ce indéfiniment. La transformée conforme de l'horizon est donc assimilable à la transformée conforme d'une géodésique de genre lumière... c'est-à-dire à une droite inclinée à 45 degrés et dirigée vers la droite.

La courbe rouge représente la trajectoire d'un objet qui franchit l'horizon des événements. A partir de ce moment, son cône du futur est entièrement compris à l'intérieur du trou noir et cet objet ne peut pas revenir en arrière. La courbe verte représente un objet qui échappe au trou noir et rejoint l'infini-lumière I⁺.

Un trou noir s'évapore et finit par disparaître. Quel effet cela a-t-il sur le diagramme de Penrose ? La réponse est simple. Puisque l'évaporation aboutit à la disparition du trou noir au bout d'un temps fini, cela se traduit par le fait que la droite bleue représentant l'horizon du trou noir ne se prolonge pas jusqu'à I⁺. Un rayon lumineux piégé par la surface finit par « reprendre sa liberté ». L'univers conforme retrouve sa configuration initiale. Sur le diagramme, son axe de symétrie temporel apparaît cependant comme étant décalé vers la droite. Le « point d'évaporation » étant confondu avec le centre du trou noir, il est à l'origine du nouvel axe de symétrie temporel. Encore un effet de la transformation conforme...

Diagramme de Penrose d'un trou noir de Kerr

Le diagramme de Penrose d'un trou noir de Kerr est représenté par la figure ci-dessous. Il est beaucoup plus complexe que le diagramme de Penrose d'un trou noir de Schwarzschild. La région 1 correspond à l'espace-temps en dehors de l'horizon externe (outer horizon). La région 2 est la région comprise entre l'horizon externe et l'horizon interne (inner horizon). L'horizon externe et l'horizon interne sont de genre lumière, comme c'est le cas pour l'horizon d'un trou noir de Schwarzschild.

La région 3 est la région située au-delà de l'horizon interne. Elle est délimitée par l'horizon interne proprement dit, le symétrique de cet horizon et un segment vertical représentant la singularité annulaire. Comme nous l'avons vu dans le chapitre consacré aux trous noirs de Kerr, la singularité annulaire est évitable, contrairement à la singularité d'un trou noir de Schwarzschild. C'est ce qu'exprime le fait que le segment est vertical. Il « ne barre pas la route » des lignes d'Univers qui traversent la région 3. Le caractère évitable de la singularité est dû au fait que les composantes g_rr et g_tt de la métrique ont, dans la région 3, le même signe que dans la région 1. Un corps qui pénètre dans cette région retrouve donc la possibilité de « manoeuvrer » et d'échapper à la singularité.

En réalité, ce qui peut se passer à l'intérieur de la région 3 échappe totalement à notre connaissance. On ne peut que conjecturer la suite des événements en se basant sur les symétries des équations des géodésiques. C'est à partir de ces conjectures que sont construites les régions 4, 5, 6, 7 et 8. D'une certaine façon ce ne sont que des prolongements géométriques des régions 1, 2 et 3. Nous allons néanmoins chercher à interpréter ce qu'elles peuvent avoir comme signification physique.

Deux options se présentent pour un corps qui a pénétré dans la région 3 : soit il franchit l'anneau et entre dans un anti-univers dans lequel la gravité est négative (région 6), soit il repasse la frontière définie par l'horizon interne dans l'autre sens. C'est cette deuxième option que matérialise l'horizon symétrique. Cet horizon symétrique n'est autre que l'horizon interne lorsqu'on le franchit dans l'autre sens (ce qui explique qu'il soit orienté de la droite vers la gauche).

Un corps qui a pénétré dans la région 3 et qui en ressort se retrouve une nouvelle fois entre l'horizon interne et l'horizon externe. Il est de nouveau condamné à faire un voyage à sens unique. La différence avec la première traversée c'est que, cette fois, r est croissant. Le trou noir est devenu un trou blanc (région 4). Le corps considéré ressurgira dans un autre univers ou quelque part ailleurs dans notre univers (région 5). La région 3 a fait office de trou de ver.

Prolongement d'un espace conforme

Géométriquement, rien n'empêche de prolonger un espace conforme, en tant que variété conforme, au-delà de sa frontière. Il est même tout à fait possible de « raccorder » deux espaces conformes. On peut d'ailleurs reproduire cette opération autant de fois qu'on le souhaite.

Partons par exemple des diagrammes de deux espaces conformes M_n et M_n+1 tels que définis un peu plus en début de ce post. Penrose appelle ces espaces des éons. Géométriquement, ce ne sont que deux triangles rectangles. On peut donc les accoler comme cela est représenté sur la figure qui suit. Pour le moment, il ne s'agit de rien d'autre qu'un simple collage.

Pour que cette opération signifie autre chose qu'une simple juxtaposition de formes, il faut que la métrique conforme soit identique d'un éon à l'autre et il convient de se demander quelle relation doivent respecter les fonctions Omega_n et Omega_n+1 qui définissent les transformations conformes associées à M_n et M_n+1. Si on peut trouver une telle relation et si elle est continue et dérivable, on pourra envisager l'éventualité que M_n et M_n+1 se « succèdent » effectivement. On pourra dès lors se poser la question suivante : est-il possible qu'un « objet » puisse passer la frontière entre ces éons ?

Penrose répond affirmativement à cette question et a construit une cosmologie de nature cyclique sur cette hypothèse (CCC : Conformal Cyclic Cosmology).