Intégrale elliptique
Les intégrales elliptiques sont des intégrales utilisées en physique. Elles ont été étudiées en détail par le mathématicien Adrien-Marie Legendre. Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme :
R étant une fraction rationnelle et P un polynôme de degré 3 ou 4. Une intégrale elliptique se ramène à l’une des 3 formes canoniques de Legendre :
On peut écrire ces intégrales sous une forme simplifiée en posant s = sin(phi) :
Nous allons nous intéresser aux intégrales de première espèce. L’intégrale elliptique incomplète de première espèce s’écrit sous la forme :
L’intégrale complète de première espèce correspond à la valeur de F pour theta égal à pi/2 :
Application à la trajectoire d’un photon dans la métrique de Schwarzschild
xiinfini étant la valeur de xi correspondant à u = 0 (photon à l’infini). Ceci revient à écrire:
avec :
La valeur de xiinfini se déduit des relations qui précèdent :
Lorsque r = A (photon au périastre) l’équation devient :
On cherche à calculer l’intégrale suivante :
avec :
Commençons par faire le changement de variable suivant :
Il vient :
Comme u2 > u1 on peut écrire :
avec :
Procédons à un nouveau changement de variable :
On voit tout de suite que :
Un peu de gymnastique mathématique maintenant :
Ce qui permet d'écrire :
ou encore :
avec :
Ce qui correspond bien aux formules annoncées en première partie de ce post. Le changement de variable qui fait passer de u à theta n’est pas complètement évident. En combinant les équations qui précèdent on voit aussi que :
ou encore :
CQFD
