Dans un espace courbe, la notion de ligne droite et de plus court chemin entre deux points est remplacée par celle de géodésique. Trouver l'équation d'une géodésique revient à trouver la trajectoire qui minimise la fonctionnelle s définie comme suit :

Cette équation peut aussi s'écrire :

Le théorème d'Euler-Lagrange permet de résoudre ce problème. Il nous indique que la trajectoire qui minimise s est telle que :

Décomposons les deux termes de cette somme :

L'équation ci-dessus résulte du fait que :

• g_ki ne dépend pas explicitement de x_point^k,
• chacun des termes x_point^k intervient 2 fois dans la formule.

Ceci permet de réécrire l'équation découlant du théorème d'Euler-Lagrange :

Le choix d'un paramètre tau tel que tau = s permet de simplifier cette équation. Dans ce cas, en effet, le terme s_point est égal à 1. Ceci conduit à écrire l'équation qui précède sous la forme suivante :

Si l'on revient à la définition de la dérivée partielle on peut écrire :

Ceci amène à une nouvelle formulation de l'équation :

Considérons le deuxième terme de cette équation. Les sommations qui interviennent sont faites sur i et j qui jouent un rôle symétrique. On peut donc écrire (simple jeu d'écriture) :

Ceci conduit à la formulation suivante :

On peut isoler le terme x_secondeⁱ en multipliant l'équation qui précède par g^ik. En effet :

delta_i^l étant le symbole de Kronecker. Il est égal à 1 si les indices sont identiques et il est nul s'ils sont différents. Il vient :

Or, par définition des symboles de Christoffel, on peut écrire :

Ceci conduit à écrire l'équation des géodésiques :