La notion de vecteur de Killing permet de généraliser la recherche des invariants tout au long de la trajectoire d'un corps dans la théorie de la relativité générale. Wilhelm Karl Joseph Killing estun mathématicien allemand qui a beaucoup contribué au développement de l'algèbre.

La dénomination « vecteur de Killing » s'applique en fait à un champ de vecteurs. Un champ de Killing est un champ vectoriel qui conserve la métrique. Soit M un point de l'espace-temps et soit Xi_M le vecteur de Killing en ce point. Considérons la courbe passant par M et tangente au vecteur Xi_M. Soit M' le point obtenu en glissant M le long de cette courbe. On a, par définition du champ de Killing :

On peut exprimer cette condition d'une autre façon. Soit N un autre point auquel on fait subir le même type de transformation pour obtenir le point N'. On peut écrire :

La forme très générale des équations de conservation tout au long d'une géodésique peut s'exprimer de la manière suivante en faisant appel aux vecteurs de Killing :

Ceci revient à écrire que :

Métrique stationnaire

Nous allons nous intéresser à deux cas particuliers. Prenons tout d'abord le cas d'une métrique stationnaire. Une métrique est dite stationnaire si la transformation définie par :

ne change pas la métrique. Ceci revient à dire que :

Soit :

Dans le cas de la métrique de Schwarzschild, cela revient à dire que :

On peut voir dans le post consacré à la métrique de Schwarzschild que cela conduit à une équation que l'on identifie à l'équation de conservation de l'énergie :

Métrique axisymétrique

Le deuxième cas particulier concerne les métriques axisymétriques. Supposons qu'elles soient exprimées dans un repère de type (t,r,theta,phi). Elles sont telles qu'un déplacement défini comme suit :

ne change pas la métrique. Le vecteur de Killing associé est :

Soit, dans le cas de la métrique de Schwarzschild :

On verra également plus tard que cela conduit à une équation de conservation du moment cinétique. Dans le plan équatorial (theta = pi/2) il vient :

Dans le cas de la métrique de Kerr, le même type de raisonnement conduit aux vecteurs suivants :