Solution d'une équation polynomiale de 3ème degré
Ce post est une annexe du post sur la trajectoire d'un photon dans la métrique de Schwarzschild.
Soit P(u) un polynôme du troisième degré quelconque défini par l'équation suivante :
Le coefficient a est égal à la somme des racines et le coefficient c à leur produit. Si le coefficient c est négatif et que le coefficient a est positif, on peut en déduire que l'une des racines est négative et que les deux autres sont positives.
Soient u1, u2, u3 les trois racines. Si l'on connaît l'une de ces racines (u2 par exemple ), on connaît la somme S des deux autres et leur produit P. Il est donc facile de déterminer la valeur des deux autres racines :
On peut donc écrire :
Il vient :
Delta étant le discriminant de l'équation du second degré. Revenons aux coefficients du polynôme :
Le coefficient du terme du premier degré étant nul,
ceci impose la relation suivante :
D'où il vient :
Ceci permet d'exprimer le discriminant Delta en fonction de u2 :
Dans le cas qui nous intéresse (trajectoire d'un photon dans la métrique de Schwarzschild) :
(Pour éviter toute confusion, on représente le paramètre d'impact par la lettre B.) Si on pose :
Il vient :
L'utilisation de la variable intermédiaire Q
nous permet de simplifier les écritures. Un calcul assez simple montre que :
Il est donc possible de calculer les deux racines u1 et u3 en fonction de u2. Revenons à l'équation du polynôme :
Ceci permet d'exprimer le paramètre d'impact B en fonction de A :
L'analyse de la fonction B = f(A) montre qu'elle est maximale pour une valeur de A positive qui annule sa dérivée. Il est facile de voir que cela conduit à résoudre l'équation :
La solution de cette équation est évidente :
CQFD.
