Prenons une bande de papier aux deux bouts de laquelle nous dessinons un L bleu (figure 1-a). Sur l’envers du papier, nous dessinons en rouge un L inversé en miroir des deux premiers. Ces quatre figures se superposent deux à deux.

Figure 1 : Spineur en papier

Procédons maintenant à une rotation du bord gauche (que nous appellerons A) d’un angle pi par rapport à l’axe Ox, puis à une rotation du bord droit (baptisé B) d’un angle -pi. (Par convention, les rotations qui se font dans le sens horaire par rapport à Ox sont notées positivement.) Notre papier est tordu (figure 1-b). Nous ne voyons plus les L bleus mais nous voyons les L rouges en miroir avec la tête en bas. Notre bande de papier est dans une position inconfortable. Pour lui éviter le torticolis, nous allons faire passer le bord B à gauche du bord A (figure 1-c). La bande forme désormais une simple boucle. On peut remarquer que cette double rotation a fait pivoter le bord A d’un angle 2π par rapport au bord B. Par contre, si l’on se réfère à l’orientation de nos marqueurs en L, on constate qu’ils ont été tous deux inversés. Si l’on note leur position initiale par le vecteur Xi₀ :

la position après rotation s’écrit :

Id étant la matrice identité. Cet exemple illustre de manière simple comment une rotation d’un angle 2pi peut se traduire par une simple inversion dans un espace qui n’a rien d’une fantasmagorie mathématique.

Procédons à une nouvelle rotation d’un angle pi du bord A et d’un angle -pi du bord B. Nouvelle torsion du papier : attention à ne pas le chiffonner (figure 1-d). Cette fois, il suffit de faire passer le bord A à gauche du bord B pour revenir à la bande plane initiale (figure 1-f). En reprenant la notation de la position de nos marqueurs utilisée plus haut, on voit que :

Bingo : une rotation de angle 4pi du bord A par rapport au bord B s’est traduite par une rotation de angle 2pi; du vecteur Xi.

Nous avons à chaque fois procédé à des rotations de pi ou de -pi. Nous aurions pu nous limiter à des rotations de plus ou moins pi/2. Pour représenter l’effet de ces rotations sur nos marqueurs, nous allons utiliser une notation complexe : le L du bord A, qui est vertical et la tête en bas sera repéré par le nombre imaginaire –i et celui du bord B, qui est simplement vertical sera repéré par le nombre imaginaire i. Le bord A a pivoté d’un angle pi par rapport au bord B et le nouveau vecteur Xi s’écrit :

Dans le cas d’un angle quelconque theta il est facile de voir que :

Nous avons bel et bien construit un spineur en papier ! Les composantes de ce spineur repèrent la position des marqueurs aux deux extrémités de la bande de papier. L’opérateur rotation mesure l’angle entre les marqueurs.