Un peu de physique...

Spineur

Nous avons vu dans un post précédent que le terrain de jeu des matrices du groupe de Lie SU(2) était le groupe des matrices hermitiennes à coefficients complexes MH(2,C). En outre, nous avons établi un parallèle entre les rotations dans R3 et une application de MH(2,C) dans MH(2,C) :

Nous avons pour cela défini un nouveau type d'application qui permet de faire passer d'un vecteur a de R3 à une matrice de MH(2,C) :

Ça ne nous avait pas spécialement emballés. Cette représentation est intéressante sur le plan mathématique mais elle est de peu d'utilité en physique, même en mécanique quantique qui nous a pourtant habitués à un formalisme exotique.

En mécanique quantique, les états permettant de décrire une particule ou un système quantique appartiennent à un espace de Hilbert qui est un espace vectoriel sur C (le corps des complexes). Plutôt que d'une représentation sur un espace vectoriel sur R nous avons donc besoin d'une représentation sur un espace vectoriel sur C. Mais les applications du type :

ne correspondent pas au formalisme des opérateurs quantiques. Nous aurions plutôt besoin d'une représentation du type suivant :

L'espace C2 possède 4 degrés de liberté, les éléments de SU(2) n'en ont que 3 : il nous faudra donc trouver une condition qui neutralise un degré de liberté. Il nous reste à déterminer la relation qui permet de passer de R3 à ce sous-espace de C2.

Spineur

Ce problème a été résolu au début du XXème siècle par le mathématicien Elie Cartan. Pour ce faire, il a introduit une nouvelle catégorie d'objets mathématiques aux propriétés assez déroutante, les spineurs.

Il existe différentes façons d'aborder la notion de spineur. L'une d'entre elles consiste à partir de celle de plan orienté. On peut définir un plan à partir de deux vecteurs unitaires orthogonaux u1 et u2 :

(On peut remarquer que la définition d'un plan orienté est équivalente à la définition d'un vecteur perpendiculaire à ce plan.) L'étape suivante consiste à associer à ce plan orienté le vecteur complexe défini comme suit :

Par construction, les coordonnées des vecteurs u1 et u2 vérifient :

u1 et u2 étant unitaires et orthogonaux, le vecteur complexe v est tel que :

Il est tout à fait possible d'étendre à ce vecteur v la transformation T définie dans le post sur les groupes de Lie et que nous avons mentionné plus haut :

C'est à partir de cette matrice V que nous allons définir le spineur psi. Le spineur est un vecteur complexe de dimension 2 défini comme suit :

Le passage de V à psi (et donc de u1, u2 à psi) se fait de la manière suivante :

Dans cette équation, psiT est le vecteur transposé de psi. K est une matrice définie comme suit :

Ceci revient à écrire :

Puisque u1 et u2 sont unitaires on peut montrer que :

Rotation d'un spineur

Soit une rotation d'un angle theta autour d'un axe défini par le vecteur n. Une telle rotation peut être représentée par la matrice M de SU(2) définie comme suit (voir le post sur les groupes de Lie) :

Nous avons vu également que cette matrice agissait sur MH(2,C) de la manière suivante :

Ceci revient à écrire :

Nous y voilà ! Souvenons-nous de notre objectif. Nous étions insatisfaits de la correspondance entre une rotation dans R3 et une application de MH(2,C) dans MH(2,C). Nous avons cette fois une correspondance entre ladite rotation et un espace vectoriel à deux dimensions beaucoup plus simple à utiliser. Bon, d'accord, c'est un espace vectoriel à composantes complexes... mais quand on est dans le monde quantique, il ne faut pas demander l'impossible !

Symétrie par rapport à un plan

Considérons la symétrie par rapport à un plan P perpendiculaire au vecteur a auquel on peut associer la matrice A (voir plus haut) :

La symétrie par rapport à P peut s'écrire :

Il vient :

Là aussi nous avons fait un gros progrès. Au lieu de passer par une application du type AXA nous pouvons directement appliquer la matrice A au spineur psi.

Conjugaison

L'opération de conjugaison du spineur consiste à associer le spineur psiC au vecteur complexe conjugué de v :

Le spineur conjugué psiC se transforme comme psi dans les rotations :

Relation entre représentation spinorielle et rotations dans R3

Revenons sur la correspondance que nous avons établie entre les rotations dans R3 et les « rotations » dans l'espace des spineurs. Comme nous l'avons vu, une rotation d'un angle theta dans R3 se traduit par une rotation d'un angle theta/2 du spineur :

Cela signifie qu'une rotation de 2pi, qui laisse inchangé un vecteur de R3 a pour effet d'inverser le spineur correspondant ! Pour revenir au spineur initial, il faut effectuer une rotation de 4pi.

Une autre propriété est tout à fait intéressante. Considérons les deux vecteurs de coordonnées (0,0,1) et (0,0,-1). Le premier est perpendiculaire au plan orienté (ux,uy) et le second au plan orienté (-ux,uy). Dans notre mode de représentation des plans orientés, ces deux plans correspondent aux vecteurs complexes va et vb :

Les matrices de MH(2,C) associées à ces vecteurs s'écrivent :

On peut facilement en déduire les spineurs correspondants :

Ces deux spineurs sont orthogonaux ! Il est facile de montrer que cette propriété est vérifiée pour tout vecteur de R3. On vérifie à chaque fois que :

Ceci conduit à un vecteur psib tel que :

On peut en déduire cette propriété très générale : les spineurs associés à deux vecteurs opposés sont orthogonaux.

Nous voici parvenus au bout de notre petit détour mathématique. Rappelons les étapes de ce voyage :

  • Nous avons tout d'abord introduit la notion de groupe de Lie et nous avons vu que l'un d'entre eux, le groupe SU(2), était intimement lié à la notion de rotation dans l'espace.
  • En creusant la question, le lien que l'on peut établir entre les matrices de SU(2) et les rotations dans R3 nous a paru très alambiqué. A quoi peut bien servir cette correspondance s'il faut en passer par l'espace vectoriel complexe de dimension 2x2 MH(2,C) ?
  • Nous avons cependant continué d'explorer les propriétés des groupes de Lie et nous avons vu qu'ils pouvaient être générés à partir de matrices élémentaires aux propriétés intéressantes.
  • Nous avons enfin recherché un espace de représentation du groupe SU(2) plus commode que l'espace vectoriel MH(2,C). Ceci nous a amené à définir la notion de spineur. L'espace des spineurs est un espace vectoriel complexe de dimension 2. Les spineurs sont les vecteurs de cet espace. On les manipule comme on manipule les vecteurs de R3.
  • L'espace des spineurs présente une particularité : aux rotations d'un angle theta dans R3 correspondent des rotations d'un angle theta/2 de ces spineurs. Il en découle une propriété étonnante : à deux vecteurs opposés dans R3 sont associés des spineurs orthogonaux entre eux !

Tiens tiens... N'est-ce pas justement une propriété du spin en mécanique quantique ?

La notion de spineur est fondamentale en physique quantique. Elle est directement associée à celle du spin mais elle intervient également dans le formalisme de l'interaction faible.

 

 

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