Il est difficile d'aborder la théorie de la relativité générale sans avoir quelques notions au sujet des tenseurs. Nous allons aborder la notion de tenseurs dans l'optique de leur utilisation dans les espaces courbes. Cela nous conduira directement à étudier les propriétés des métriques.

Préambule : indices covariants et indices contravariants

Dans ce post, nous allons parler d'indices covariants et contravariants. Nous utiliserons également la convention de sommation d'Einstein. Je vous propose en préambule de vous présenter ces notions.

Soit un espace M courbe de dimension n dans laquelle a été définie une base de vecteurs (e₀, e₁,... e_n-1). Soit un vecteur v de cet espace. En algèbre tensorielle, la décomposition de v sur la base de M s'écrit :

Dans la formule qui précède, on remarquera deux choses :

• L'indice du coefficient de la i^ème composante du vecteur est en haut alors que celui du vecteur unitaire correspondant est en bas.
• Dans le membre le plus à droite de cette formule, on a omis le signe de sommation. C'est la convention de sommation d'Einstein : lorsqu'un même indice intervient en haut et en bas dans une formule, cela signifie que l'on procède à une sommation sur cet indice.

Les indices sont placés en haut ou en bas en fonction du type de vecteur considéré. Les vecteurs peuvent en effet prendre deux formes : la forme covariante ou la forme contravariante. La forme covariante et la forme contravariante d'un vecteur ne sont interchangeables. Pour nous en convaincre, nous allons écrire la formule qui exprime la norme d'un vecteur. Si on respecte la convention d'Einstein, cela donne :

Or, dans un espace courbe, la norme d'un vecteur n'est pas égale au produit scalaire de ce vecteur par lui-même. Elle fait intervenir la métrique de cet espace :

En comparant les formules qui précèdent, on comprend mieux la nécessité d'introduire les notions de forme covariante et de forme contravariante d'un vecteur. Il n'est en effet possible de conserver le formalisme de l'avant-dernière que si l'on écrit :

Il s'agit bien du même vecteur mais on voit qu'il n'est pas possible d'utiliser forme covariante et forme contravariante de manière interchangeable.

Tenseur

Le calcul tensoriel a été introduit à la fin du XIXème siècle par l'italien Gregorio Ricci-Curbastro et son disciple Tullio Levi-Civita. Un tenseur est une application multilinéaire d'un espace vers le corps des réels R. Un tenseur d'ordre m associe un réel à m vecteurs d'un espace M :

La métrique est un cas particulier de tenseur.

Si l'espace M est de dimension n, le tenseur a mⁿ coefficients (on parle de composants dans le cas d'un tenseur). Ces composants s'écrivent T_i,j...k. Notons au passage que :

si les vecteurs (e₀, e₁,... e_n-1) sont les vecteurs unitaires de la base de l'espace M.

Les tenseurs prennent des formes différentes selon qu'ils sont associés à la forme covariante ou à la forme contravariante des vecteurs considérés. Le passage d'une forme à une autre s'appelle une élévation ou un abaissement d'indice. Nous expliciterons ce point plus tard.

Métrique

La métrique est un tenseur d'ordre 2. Elle généralise la notion de produit scalaire dans un espace courbe. Dans un espace euclidien celui-ci s'écrit :

En géométrie riemannienne il convient d'écrire:

Par définition, la métrique est symétrique :

Elle est également non dégénérée :

La distance minkowskienne de la relativité restreinte est une métrique :

On dit de cette métrique qu'elle a la signature(+,-,-,-). Il est à noter que l'on peut aussi utiliser la signature inverse. Il suffit de modifier en conséquence les formules et les conclusions des calculs effectués...

La notion de distance élémentaire découle directement de celle de métrique :

La longueur totale d'une courbe peut s'en déduire facilement. Considérons une courbe définie par ses coordonnées x^k(t). La longueur de la portion de courbe comprise entre les points x^k(t₁) et x^k(t₂) vaut :

Nota : C'est en recherchant le minimum de L que l'on obtient l'équation des géodésiques utilisée pour déterminer les trajectoires relativité générale.

Nous avons évoqué le fait qu'il était possible d'élever ou d'abaisser les indices d'un tenseur. Cette opération fait intervenir le tenseur métrique de l'espace considéré. Soit T_ij un tenseur d'ordre 2 :

Il vient :

Il en va de même pour les vecteurs : voir l'équation sur le passage entre vecteurs covariants et vecteurs contravariants plus haut.

Exemples de métrique

Nous avons présenté la métrique de Minkowski dans les posts consacrés à la relativité restreinte. Elle s'écrit :

avec :

Dans la théorie de la relativité générale, la métrique de Schwarzschild est associée à une masse isolée dépourvue de moment cinétique :

Les métriques ne sont pas nécessairement diagonales. La métrique de Kerr, associée à une masse isolée en rotation, ne l'est pas :

Changement de base

Une métrique est liée à une base. Si l'on change de base les composants de la métrique sont modifiés. Supposons que l'on passe d'une base dans laquelle les coordonnées sont représentées par les symboles x^k à une base dans laquelle les coordonnées sont représentées par les symboles x' ^k. Supposons également que l'on puisse exprimer x' ^k en fonction des coordonnées d'origine de la manière suivante :

La formule qui permet de passer de la métrique initiale à la nouvelle métrique s'écrit :

La démonstration de cette formule ne présente pas de difficulté si l'on explicite la longueur d'un segment élémentaire dans la nouvelle et l'ancienne base et si l'on écrit :