La théorie cinétique des gaz explique le comportement macroscopique d'un gaz à partir du mouvement des particules qui le composent. Elle est principalement due aux travaux de James Clerk Maxwell et de Ludwig Boltzmann. Elle constitue une base indispensable à la compréhension des lois de la thermodynamique et du comportement des gaz interstellaires en astrophysique.

L'exposé qui suit est un peu aride... mais il faut en passer par là si on veut traiter d'autres sujets plus funs plus tard.

Le cas d'un gaz parfait

Un gaz parfait est un gaz composé de particules dont le volume est négligeable et qui n'interagissent qu'en s'entrechoquant les unes avec les autres. Les chocs sont supposés élastiques. Le mouvement des particules est un mouvement brownien.

Considérons une particule de masse m animée d'une vitesse v qui rebondit sur une paroi. Dans le cas d'un choc élastique, ce qui compte c'est la composante de la vitesse perpendiculaire à la paroi. Soit f la force qui s'applique sur cette paroi, les lois de Newton nous permettent d'écrire que :

La pression exercée par l'ensemble des particules sur un surface S est la résultante de toutes les forces élémentaires exercées par chacune d'entre elles.

La vitesse des particules est aléatoire. On peut supposer qu'elle a une répartition gaussienne dans les 3 axes mais cela n'a pas d'effet sur le résultat. On va donc se limiter à dire que la probabilité pour que la vitesse soit égale à v à d³v près s'écrit n(v).

Considérons toutes les particules animées d'une vitesse v à d³v près. Soit v₁ la projection de v sur la perpendiculaire à la surface et soit f(v) la force exercée par ces particules. On peut réécrire l'équation de Newton de la manière suivante :

En effet, toutes les particules animées de la vitesse v à d³v près et qui viennent frapper la surface S pendant l'intervalle de temps tau se trouvent nécessairement dans un cylindre dont le volume est S.v₁.tau. Leur nombre est égal à n(v).d³v. Il reste à intégrer cette équation pour toutes les valeurs de v₁ positives.

En tenant compte de la symétrie des vitesses autour de zéro on peut écrire :

On reconnaît dans le terme sous l'intégrale triple la formule qui permet de calculer la moyenne quadratique de la composante de la vitesse perpendiculaire à la surface. Comme la distribution des vitesses ne privilégie aucun axe, on peut écrire :

v₂ et v₃ étant les deux autres composantes de la vitesse. L'accent circonflexe signifie que c'est la moyenne quadratique de la variable considérée qui intervient dans l'équation. Il vient :

n étant la densité de particules par unité de volume. On peut donc écrire :

Soit E_cin l'énergie cinétique moyenne d'une particule :

Ceci permet de réécrire la formule qui donne la pression sous la forme suivante :

Dans l'expression qui précède epsilon est la densité d'énergie des particules qui constituent le gaz considéré. Dans le cas d'un gaz parfait, l'énergie cinétique moyenne peut aussi s'écrire comme suit :

k étant la constante de Boltzmann (1,38 10^-23 J/K). Ceci conduit à une autre équation remarquable :

Cette équation n'est autre que l'équation que nous avons apprise en chimie au lycée :

R étant la constante des gaz parfaits (8,314 J.mol^-1K^-1).

Cas d'un gaz composé de particules de nature différente

Le passage à un gaz composé de particules différentes ne pose pas de difficulté particulière. Compte tenu des hypothèses que nous avons prises, la pression totale est la somme des pressions exercées par chaque type de particules :

Tout cela ne nous avancerait pas beaucoup si ce bon Monsieur Maxwell ne nous venait pas en aide avec son théorème d'équipartition. Dans le cas où les seuls degrés de liberté sont les vitesses des particules, l'équation qui donne l'énergie cinétique moyenne en fonction de la température absolue reste valable quelque soit le type de particules composant le gaz : atome, molécule, proton, électron...

En astrophysique, et en particulier lorsqu'on étudie les propriétés du plasma au coeur des étoiles, on a souvent affaire à des gaz composites. On exprime alors le nombre de particules au sein du gaz de la manière suivante :

m_p étant la masse d'un proton et mu un coefficient qui tient compte de la composition du gaz et que l'on appelle poids moléculaire. Prenons par exemple le cas d'un gaz composé d'atomes d'hydrogène non ionisés. C'est le cas le plus simple. La masse de chaque particule est égale à celle d'un proton. On peut donc écrire mu = 1.

Supposons maintenant que l'on ait affaire à un gaz d'hydrogène ionisé : à chaque proton correspond un électron et mu = 1/2.

Prenons un cas moins trivial : un gaz ionisé composé de à X% d'hydrogène, Y% d'hélium et Z% d'éléments plus lourds (carbone, oxygène...). La somme de ces trois termes est bien sûr égale à 1. Pour simplifier, nous supposerons que les éléments lourds sont constitués principalement d'oxygène. Calculons d'abord le nombre d'ions :

(Rappelons au passage que l'atome d'oxygène comporte 16 nucléons et 8 électrons.) Intéressons-nous maintenant au nombre d'électrons libres :

Au total, le nombre de particules libres par nucléon s'écrit :

Dans une étoile comme le Soleil, les pourcentages respectifs sont 71%, 27% et 2%. Le terme en Z est donc négligeable et on peut écrire :

Au coeur de l'étoile, l'hydrogène fusionne pour donner de l'hélium. Il en résulte en appauvrissement en hydrogène et un enrichissement en hélium. Le terme 1/mu va diminuer progressivement et tendre vers 0,75 (mu = 4/3). Cette transformation aura un impact direct sur la pression :

Pour une masse égale de gaz, la pression dans le coeur sera pratiquement divisée par 2. Le coeur ne pourra plus supporter le poids des couches extérieurs de l'étoile et il va se contracter... Ce qui se passe par la suite est une autre histoire que nous conterons lorsque nous parlerons du théorème du viriel.

Application à un gaz de photons

Un gaz de photons, kezaco ? Bon, je vous l'accorde, on n'en rencontre pas tous les jours. Disons qu'un gaz de photons est la représentation d'un gaz de particules animées d'une vitesse relativiste. Rappelons la fameuse équation d'Einstein :

Lorsque la vitesse est proche de celle de la lumière, le second terme est négligeable devant le premier et on peut écrire :

(Cette équation est vérifiée exactement dans le cas d'un photon.) Si on applique le raisonnement exposé plus haut à notre « gaz de photons », l'équation qui relie la pression à l'énergie des particules devient :

Ceci conduit à une nouvelle formule pour la pression :

L'application de la loi de Stefan-Boltzmann conduit à écrire :

a étant la constante de radiation. Elle vaut 7,56573 10^-16 J m^-3 K^-4. Cette équation peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

sigma étant la constante de Stefan qui vaut 5,67 10^-8 W.m^-2.K^-4.

Complément : distribution de probabilité des vitesses

James Clerk Maxwell est surtout connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme mais sa contribution à la thermodynamique a été également essentielle. On lui doit le théorème d'équipartition ainsi qu'une analyse du mouvement aléatoire des particules dans un gaz. Il est l'auteur, entre autres, d'une formule qui donne la probabilité que la vitesse (en valeur absolue) d'une particule ait une valeur v donnée :

(Le tracé de ces courbes peut être fait avec un simple traceur. Il dépend de la valeur de m.) Ce n'est pas ce qu'on a fait de plus simple comme équation... L'intérêt de cette formule est qu'elle permet de calculer la vitesse pour laquelle la probabilité est maximale (c.à.d telle que dp(v)/dv = 0) :

Cette valeur ne doit pas être confondue avec la moyenne quadratique de la vitesse :

Par exemple, dans le gaz d'un gaz d'oxygène neutre O2 (32 g par mole, la masse d'une molécule dioxygène s'obtient en divisant la masse molaire par le nombre d'Avogadro), la valeur de v se calcule aisément : v = 395 m/s. La moyenne quadratique vaut quant à elle 483,5 m/s. Dans le cas de l'hydrogène moléculaire, ces valeurs doivent être multipliées par 4 (1580 m/s et 1934 m/s).