Un peu de physique...

Principe de moindre action

La mécanique newtonienne a donné lieu à de multiples développements. Nous n'en citerons que deux : le principe de moindre action et la formulation hamiltonienne.

Principe de moindre action

Dans Principe de la moindre quantité d'action pour la mécanique (1744), Pierre Louis de Maupertuis définit l'action comme suit :

L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible.

En mécanique, le principe de moindre action affirme qu'un corps prend la direction qui lui permet d'optimiser la dépense d'énergie dans l'immédiat en tenant compte qu'il doit y avoir continuité du mouvement (en position et en vitesse) s'il y a continuité des conditions physiques. En reliant deux points, la trajectoire suivie par le corps n'est pas toujours celle qui lui fait dépenser globalement le moins d'énergie. C'est la dépense immédiate (ou plutôt instantanée) d'énergie qui est minimisée. Le corps ne perçoit en effet que les conditions de son environnement immédiat. S'il existe un chemin permettant une dépense globale inférieure mais conduisant à une dépense d'énergie immédiate localement plus élevée, il ne sera pas suivi.

Dans ce résumé du principe de moindre action, l'énergie fait référence à l'énergie cinétique, et la dépense d'énergie signifie que de l'énergie cinétique se transforme en énergie potentielle.

On peut interpréter ceci comme équivalent aux deux conditions suivantes :

  • La trajectoire que suit un corps est celle qui permet la transformation instantanée d'énergie cinétique en énergie potentielle la plus faible possible (donc le plus lent sur la trajectoire).
  • La transformation (et donc la trajectoire) est déterminée par les conditions initiales (position et vitesse) et les conditions de l'environnement physique : il doit y avoir continuité de la trajectoire s'il y a continuité du milieu physique.

La détermination du trajet se fait par une méthode variationnelle : les points extrêmes étant fixés, le temps de trajet aussi, on fait varier les trajets. Le ou les trajets physiquement admis sont ceux pour lesquels l'action est stationnaire par rapport aux variations infinitésimales du trajet.

Le plus souvent, on utilise le formalisme qui suit :

  • La trajectoire est exprimée par des variables d'état (qi, q_pointi). Ces variables d'état sont des fonctions du temps.
  • Le lagrangien L(qi, q_pointi) représente la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle (la relation qui permet de quantifier en chaque point de la trajectoire l'échange entre énergie cinétique et énergie potentielle).

L'intégrale d'action s'écrit :

Le principe de moindre action se traduit par le fait que :

La trajectoire est un optimum : sa dérivée partielle par rapport à qi(t) est donc nulle. On dit que S est “stationnaire”.

La résolution de cette équation se traite en utilisant la méthode d'Euler-Lagrange. L'application de l'équation d'Euler-Lagrange au Lagrangien permet en effet d'obtenir l'équation aux dérivées qui décrit le mouvement du système :

Application au mouvement d'un corps soumis à un champ de potentiel

Soit un corps défini par son vecteur position x. Soit p sa quantité de mouvement. Soit V(x) l'énergie potentielle de ce corps. Son lagrangien s'écrit :

On peut aisément calculer les deux membres de l'équation d'Euler-Lagrange :

Il vient :

Dans la mesure où il existe une force F qui dérive du potentiel V(x) :

<>

on peut écrire :

Cette équation est tout simplement le principe fondamental de la dynamique formulé par Isaac Newton.

Impulsion

La notion d'impulsion est la généralisation de celle de quantité de mouvement. La définition de l'impulsion est donnée par la formule suivante :

Il est facile de voir qu'il y a identité entre cette définition et celle de la quantité de mouvement dans le cas d'un corps isolé.

L'impulsion est aussi appelée moment linéaire.

Interprétation du Lagrangien

Soit T(qi, q_pointi) l'énergie cinétique en un point de la trajectoire optimale et V(qi) l'énergie potentielle. L'énergie totale du système est T+V. Si le système est isolé, elle est constante.

Sur une trajectoire proche de la trajectoire optimale, on peut écrire l'énergie cinétique sous la forme T+dT et l'énergie potentielle sous la forme V+dV. La loi de conservation de l'énergie s'écrit :

d'où il vient :

Cette quantité ne nous apprend rien sur l'évolution du système. Par contre, la quantité dT-dV caractérise le transfert entre énergie cinétique et énergie potentielle au cours d'un mouvement de petite amplitude. Le lagrangien est donc une quantité qui mesure ce transfert.

La fonction :

n'a de sens que dans le cadre du principe de moindre action et de la méthode d'Euler-Lagrange. Il ne faut pas lui chercher de sens physique (contrairement au hamiltonien qui correspond à l'énergie totale du système). Elle n'a d'autre fonction que de permettre de rechercher la trajectoire répondant au principe de moindre action.

Le hamiltonien

Le hamiltonien d'un système mécanique peut être vu comme l'énergie totale de ce système. Il est très utilisé en physique quantique.

Considérons un système mécanique qui possède N degrés de liberté. Soient qi les coordonnées généralisées associées à ces degrés de liberté et pi la valeur d'impulsion correspondante. Le hamiltonien du système s'écrit :

Mathématiquement, le hamiltonien se définit comme la transformée de Legendre du lagrangien. Les variables qi et pi sont appelées variables canoniques du système.

On peut montrer facilement que :

En effet :

Or :

(équation d'Euler-Lagrange). A partir du principe de moindre action, on peut démontrer les équations canoniques d'Hamilton :

Dans le cas d'un corps isolé soumis à un champ de potentiel, on montre facilement que :

On reconnaît dans H(q,q_point,t) l'énergie totale du système. La première équation d'Hamilton n'est autre que l'équation définissant la quantité de mouvement en mécanique classique. De son côté, la deuxième équation nous permet d'écrire :

... ce qui nous renvoie au principe fondamental de la dynamique.

Signalons enfin l'équation de Hamilton-Jacobi qui relie le hamiltonien à l'action :

En physique quantique, on démontre que l'action ne varie pas de façon continue. Il existe un quantum d'action. Ce quantum d'action est égal à la constante de Planck.

 

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