Lois de Kepler
Johannes Kepler est un astronome né en 1571 et mort en 1630. Assistant de Tycho Brahé (1546 - 1601), il poursuivit les travaux de l'astronome danois et en fit une synthèse remarquable qui le conduisit à établir les lois qui régissent la rotation des planètes autour du Soleil.
A l'origine, Kepler, tout comme Tycho Brahé, n'était pas convaincu de la validité de la thèse héliocentrique énoncée par Nicolas Copernic un demi-siècle au préalable. Il chercha vainement à faire correspondre les résultats des très nombreuses observations dont il disposait avec l'hypothèse des orbites circulaires du modèle géocentrique. Mais les faits sont têtus et il dut s'incliner devant l'évidence qui s'imposait à lui. L'orbite des planètes est elliptique et elles tournent autour du Soleil !
Les lois qu'il a établies sont tout à fait remarquables compte tenu des instruments dont il disposait à l'époque. Kepler ne disposait pas non plus des outils théoriques pour les démontrer. Il se contentera de les énoncer. La démonstration attendra près de 80 ans : c'est Isaac Newton qui s'en chargera en 1687. Mais le travail précurseur de Kepler a joué un rôle déterminant dans la maturation de la loi de gravitation universelle !
Elles sont au nombre de trois.
Première loi : Une planète en orbite autour d'une étoile décrit une ellipse autour de celle-ci. Le rayon-vecteur qui définit la position de cette planète s'exprime aisément en fonction de la valeur du demi-grand axe de cette ellipse (a), de son excentricité (e) et de l'angle theta entre le rayon-vecteur et le grand axe.
L'excentricité e est la grandeur telle que :
b étant la valeur du demi-petit axe.
Deuxième loi : La vitesse aréolaire des planètes est constante. La vitesse aréolaire est la surface balayée par le rayon-vecteur par unité de temps :
Dans cette équation, P est la durée moyenne de révolution.
Troisième loi : La durée moyenne de révolution est reliée à la valeur du demi-grand axe et à la masse de l'étoile et de la planète.
Kepler ne connaissait pas la signification de la constante de gravitation universelle G. Il énonça cette loi en l'exprimant en fonction d'une grandeur constante k.
En règle générale, m est négligeable devant M.
Démonstration de la deuxième loi de Kepler
La démonstration des lois de Kepler est assez fastidieuse, sauf en ce qui concerne la deuxième, qui résulte de l'application de principes de mécanique assez simples. Nous nous contenterons donc de la démonstration de celle-ci. Soit F la force d'attraction gravitationnelle. F est un vecteur dirigé vers le centre de rotation de la planète.
Le moment cinétique de la planète s'écrit :
Intéressons-nous à la dérivée de J :
Le deuxième terme est nul puisque F est parallèle au rayon-vecteur. Le premier l'est également : le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul. Le moment cinétique est donc constant. Considérons maintenant la vitesse aréolaire C.
Revenons au moment cinétique J :
Dans cette équation u est un vecteur unitaire orienté dans la même direction que r et w un vecteur unitaire orienté tangentiellement. Le premier terme entre parenthèse est nul. Il vient :
J étant constant, la vitesse aréolaire l'est donc également. CQFD.
A quoi ça peut bien nous servir !
Les lois de Kepler ont permis à l'astronomie de faire un gigantesque bond en avant. Mais surtout, Isaac Newton s'en est inspiré pour développer sa théorie de la gravitation universelle.
La deuxième loi de Kepler est fort utile aux astronomes pour calculer les éphémérides : la durée réelle du jour solaire, le lever et le coucher du Soleil, la position des astres, etc...
La troisième loi a un usage plus restreint. Chacun d'entre nous peut, bien sûr, s'en servir pour calculer la période de rotation des planètes du système solaire en connaissant le rayon de leur orbite, ou l'inverse. Par exemple, sachant que l'année jovienne vaut 11 ans et 314 jours, on peut aisément calculer que le rayon moyen de l'orbite de Jupiter est de 5,2 UA. L'intérêt est relativement limité.
Les astronomes utilisent cette loi à des fins plus précises. C'est elle qui a permis, par exemple, à Fritz Zwicky d'établir dès 1930 que l'inventaire de la matière visible était insuffisant pour expliquer la vitesse de rotation des étoiles dans un certain nombre de galaxies. C'est cette même loi qu'a utilisée Véra Rubin dans les années 60-70 pour démontrer l'existence de la matière noire dans les galaxies.
Cette même troisième loi peut également servir à évaluer la masse des systèmes binaires. Prenons le cas de Sirius. C'est un système binaire dont la période de rotation est de 50 ans. Des mesures de parallaxe ont montré que son demi-grand axe moyen valait environ 20 UA. Il est dès lors facile de calculer la masse probable du système : 3,2 masses solaires.
