Les points de Lagrange du système Terre-Soleil sont des points où il est possible de placer un satellite en orbite circumsolaire dont la position relative par rapport à la Terre resterait toujours la même. Ces points présentent un grand intérêt pour l'exploration spatiale.

Nota : les points de Lagrange ne sont pas une exclusivité du système Terre-Soleil. Chaque planète possède les siens. On peut également déterminer les points de Lagrange du système constitué par une planète avec un satellite naturel.

Les points de Lagrange sont caractérisés par le fait que la résultante des forces d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil et la Terre y est égale et opposée à la force centrifuge du satellite sur son orbite. Ceci s'exprime de la manière suivante :

avec :

Il existe 5 points de Lagrange, 3 sont alignés avec le Soleil et la Terre, deux sont situés sur l'orbite terrestre de part et d'autre de la Terre. On les appelle L₁, L₂, L₃, L₄, et L₅.

Les points L₄ et L₅

Curieusement, ce sont les plus faciles à déterminer. Un raisonnement géométrique va nous permettre de voir que le triangle formé par le Soleil, la Terre et le point L₄ est équilatéral. Il en va de même, bien sûr, pour L₅.

Considérons la figure ci-dessous. S représente la position du Soleil, T celle de la Terre et C est le centre de gravité du système Terre-Soleil. Nous partons de l'hypothèse que RL₄S est équilatéral et nous allons montrer que cela correspond bien au résultat attendu (c'est-à-dire que force d'attraction résultante et force centrifuge sont égales et opposées). La distance Terres-Soleil est R, la masse du Soleil M₁ et la masse de la Terre M₂.

Le triangle SAC est équilatéral tout comme le triangle TBC. On peut en déduire que :

Par homothétie, on voit que la résultante de la force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil et de la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre en L₄ est dirigée vers le centre de gravité C. Calculons le module de cette résultante. Un simple calcul de géométrie analytique nous permet d'écrire :

Soit :

Nous allons calculer maintenant la distance L₄C (la quantité r dans la formule de la force centrifuge). Rien de plus facile en appliquant le théorème de Thales puisque nous avons déjà calculé L₄A :

CQFD. La résultante des forces gravitationnelles exercées par le Soleil et la Terre en L₄ est bien égale et opposée à la force centrifuge en ce point.

On peut montrer que les points L₄ et L₅, sont stables. La combinaison des forces gravitationnelles et centrifuge ramène vers ces points un satellite qui s'en écarterait.

Les points L₁, L₂ et L₃

La détermination de la position des point L₁, L₂ et L₃ est plus fastidieuse. Nous nous limiterons à celle de L₁. Il suffit d'appliquer le même type de raisonnement pour obtenir celle de L₂ et L₃.

La position de la Terre, du Soleil et le point L₁ sont alignés. Soient r₁ la distance entre le centre de gravité du système et la position du Soleil, r₂ la distance entre le centre de gravité du système et la position de la Terre et r la distance entre le centre de gravité du système et L₁. Soient M₁ et M₂ la masse respective du Soleil et de la Terre et soit R la distance Terre-Soleil. Soit enfin oméga la vitesse de rotation de la Terre autour du Soleil. On peut écrire :

avec :

Pas terrible comme équation ! On va simplifier les écritures en passant en coordonnées réduites :

Il vient :

On va faire la même chose pour les rapports M₁/M et M₂/M :

L'avantage d'avoir introduit le paramètre q est qu'on peut exprimer u₁ et u₂ très simplement en fonction de q :

Il vient :

Nous ne sommes pas arrivés au bout de nos peines mais pas loin ! Compte tenu de la disproportion entre la masse du Soleil et celle de la Terre, on a tout lieu de penser que la position de L₁ sera proche de celle de la Terre. On va exprimer ceci en écrivant :

Cool ! on y est presque :

Il reste à faire un simple développement limité :

Pour L₂ (de l'autre côté de la Terre) on trouve l'exact opposé :

Pour L₃, le calcul est différent mais on procède de la même façon en utilisant des coordonnées réduites. Cette fois, on trouve :

Au demeurant, ce point L₃ n'est pas d'une grande utilité pour les missions d'exploration spatiale.

Les points L₁, L₂ et L₃ ne sont pas stables. Un satellite qui s'en écarte n'est pas ramené vers ces points par les forces gravitationnelles et centrifuge. L'analyse de la relation entre q et epsilon permet de s'en convaincre facilement. Si epsilon est supérieur à la valeur d'équilibre, elle tend à l'en écarter plus encore. Idem s'il est inférieur à cette valeur. L'énergie nécessaire pour les ramener en ces points est minimale, ce qui les rend très intéressants pour l'exploration spatiale, et en particulier pour les télescopes spatiaux.

Intérêt pour l'exploration spatiale et l'astronomie

Pour le système Terre-Soleil la valeur de epsilon (pour L₁ et L₂) correspond à une distance de 1,5 million de km. Le satellite JWST (James Webb Space Telescope), dont la mise en service est prévue en mail2020, devrait être placé au point L₂. Le JWST va prendre la relève du satellite Hubble. IL est optimisé pour fonctionner dans le domaine infra-rouge, ce qui lui permettra d'observe des galaxies plus lointaines que Hubble.

Les points L₄ et L₅ jouent un rôle particulier en astronomie. Des astéroïdes sont « prisonniers » des points L₄ et L₅ des géantes gazeuses. On les qualifie de satellites troyens. Jupiter en compte plusieurs centaines, On en a identifié sur l'orbite de Neptune. Et un astéroïde de plus de cent mètres de diamètre occupe le point de Lagrange L₄ de la Terre !