Un peu de physique...

Eléments de mécanique newtonienne

Isaac Newton est incontestablement à l'origine de l'essor de la pensée scientifique sans précédent qui a transformé l'Europe et le monde à partir du début du XVIIIème siècle. La mécanique newtonienne fixe le cadre dans lequel les sciences se sont développées pendant un peu plus de deux siècles. Aujourd'hui encore, elle est enseignée « en première langue » dans tous les lycées et collèges et elle est utilisée telle quelle par les ingénieurs du monde entier.

La mécanique newtonienne, ce sont des lois et des principes qui s'appliquent à la dynamique des corps en mouvement. C'est aussi un cadre de pensée qui reste aujourd'hui, malgré les démentis apportés par la science au XXème siècle, celui dans lequel nous nous représentons le monde. Ce cadre nous est aujourd'hui tellement familier que nous ne mesurons pas ce qu'il pouvait avoir de novateur à l'époque où Newton l'a formulé. Et il nous paraît tellement évident, tellement intuitif, qu'il en est devenu un handicap pour comprendre celui de la relativité. Ce cadre peut être résumé sous la forme de deux propositions :

  • Le monde et tous les objets qui le constituent évoluent dans un espace à trois dimensions qui est indépendant de lui et dont les propriétés géométriques sont fixes et éternelles. L'espace est en quelque sorte la scène sur laquelle se joue l'histoire de l'Univers.
  • Le temps s'écoule de la même façon en tout point de cet espace. Il est lui aussi indépendant de la composition du « monde des objets ». Il existe donc un temps universel qui rythme tous les événements qui se produisent dans l'Univers.

La théorie de la relativité va se construire en assimilant l'héritage de la mécanique newtonienne dans un cadre plus vaste, plus général. En fait, la relativité restreinte et la relativité générale ne remettent pas en question les principes posés par Newton : elles montrent qu'ils ont un domaine de validité limité. D'une certaine façon, on peut dire qu'elles corrigent la mécanique newtonienne aux limites : lorsque la vitesse des objets approche la limite indépassable de la vitesse de la lumière pour ce qui concerne la relativité restreinte, lorsque la dimension des objets tend vers leur rayon de Schwarzschild pour la relativité générale. Limiter l'apport de la relativité à un simple correctif pour traiter les cas extrêmes serait cependant une grave erreur. La relativité introduit en effet un changement radical de paradigme : au sujet de l'espace et du temps, de la masse et de l'énergie, de la gravitation et de la géométrie...

L'objectif de ce post n'est pas de passer en revue les fondements de la mécanique dite classique mais d'en rappeler les rudiments, rudiments qui sont bien souvent suffisants pour comprendre de nombreux phénomènes physiques.

Les lois de Newton

C'est en 1686 qu'Isaac Newton a publié le livre qui a révolutionné la pensée scientifique mondiale : Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principes mathématiques de la philosophie naturelle). Dans ce livre, il énonce les trois grands principes de la mécanique ainsi que sa théorie de l'attraction universelle :

En l'absence d'une force extérieure, le mouvement d'un corps est uniforme dans un référentiel galiléen.

Le principe fondamental de la dynamique

Soit un corps de masse m donnée, l'accélération gamma qu'il subit dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qui s'exercent sur lui. Les forces sont exprimées en Newton.

Le principe d'inertie

C'est une conséquence directe du précédent :

Le principe d'action réciproque

Les actions exercées par deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et opposées.

La loi de gravitation universelle

Deux corps distants l'un de l'autre exercent l'un sur l'autre une force d'attraction égale à :

avec :

  • G = 6,67384 10-11 m3/kg/s2 la constante de gravitation universelle
  • M1 et M2 la masse de ces deux corps en kg,
  • r la distance en mètres qui sépare le centre de gravité des deux corps.

Champ gravitationnel

A proximité d'un astre ou d'une planète, on peut négliger l'action des corps de petite taille qui se déplacent à proximité. Tout se passe comme si ces corps se trouvaient soumis à un champ d'attraction gravitationnelle occasionné par l'astre (ou la planète). La force d'attraction qui s'exerce sur chacun d'entre eux est assimilable à une force de pesanteur :

avec :

  • m la masse du corps considéré,
  • G_r le champ gravitationnel,
  • M la masse de l'astre ou de la planète,
  • r la distance qui sépare le centre de gravité de l'astre et celui du corps,
  • u un vecteur unitaire orienté dans la direction du corps.

On démontre facilement que ce champ gravitationnel dérive d'un potentiel scalaire Phi :

Travail d'une force

Une fois rappelées les bases de la mécanique newtonienne, je vous propose de passer en revue quelques concepts fort utile dans l'étude du comportement dynamique des corps ou des systèmes. A partir de maintenant nous parlerons de forces s'appliquant à des corps ou des ensembles de corps.

On appelle travail d'une force l'énergie qu'elle fournit lors du déplacement de son point d'application :

Si le travail est positif, la force est aidante, s'il est négatif elle est résistante. Le travail d'une force peut aussi s'écrire en fonction de la vitesse du corps auquel elle s'applique :

La puissance est la dérivée du travail par rapport au temps. Le travail s'exprime en Joules et la puissance en Watt.

Energie cinétique

L'énergie cinétique est l'énergie que possède un corps du fait de son mouvement par rapport à un référentiel donné. Le concept d'énergie cinétique a été introduit par Gottfried Leibniz qui l'appelait à l'époque force vive. L'énergie cinétique d'un corps isolé est égale à :

Revenons au principe fondamental de la dynamique :

Multiplions les deux membres par le vecteur vitesse. Il vient :

On reconnaît dans le membre de droite un terme de puissance. Ceci conduit à l'équation suivante :

La variation de l'énergie cinétique d'un point est égale au travail de la force qui s'exerce sur lui.

Remarque : Gottfried Leibniz attribuait à la force vive la valeur mv2. C'est le mathématicien et ingénieur Gustave Gaspard de Coriolis qui a donné à l'énergie cinétique sa forme définitive.

Energie potentielle

Lorsqu'un corps (ou un système physique) est soumis à une interaction avec un champ quelconque (c'est vrai pour le champ gravitationnel mais c'est aussi vrai pour un champ magnétique ou électrostatique), cette interaction est susceptible de le mettre en mouvement. L'énergie potentielle est l'énergie cinétique qui peut résulter de cette interaction si ce corps (ou ce système) est libre d'atteindre sa vitesse maximale. Dans le cas du champ gravitationnel, l'énergie potentielle d'un corps situé à la distance D du centre de gravité de l'astre responsable de ce champ s'écrit :

Quantité de mouvement

Dans sa formulation la plus simple, la quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse :

La quantité de mouvement est une grandeur que l'on peut directement relier au principe fondamental de la dynamique. On peut en effet réécrire ce principe sous la forme suivante :

Il en résulte qu'en l'absence de forces extérieures, la quantité de mouvement d'un corps est conservée. C'est l'une des lois fondamentales de conservation de la mécanique (voir plus bas).

Remarque : on peut exprimer l'énergie cinétique d'un corps de masse m en fonction de sa quantité de mouvement p :

Lois de conservation

La mathématicienne et physicienne Emmy Noether a montré qu'à toute symétrie des lois de la physique est associée une loi de conservation (voir le post sur le théorème de Noether). La conservation de la quantité de mouvement d'un système est l'une de ces lois de conservation. Elle associée à la symétrie par translation.

La loi de conservation de l'énergie totale d'un système isolé et libre de ses mouvements est une autre application du théorème de Noether. Pour un corps qui se déplace dans un champ gravitationnel, cela s'écrit de la manière suivante :

EC étant l'énergie cinétique de ce corps et EP son énergie potentielle. En particulier, en l'absence de toute variation de l'énergie potentielle, l'énergie cinétique est conservée.

La notion de vitesse de libération d'un satellite va nous permettre d'illustrer cette loi de conservation de l'énergie. La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un objet pour qu'il échappe à l'attraction d'un astre. Si cet objet échappe à l'attraction de l'astre, cela signifie qu'il pourra s'en éloigner indéfiniment. Ceci peut s'exprimer de la manière suivante :

Nous recherchons la vitesse de libération minimale. On peut supposer qu'à cette vitesse minimale correspond une vitesse nulle à l'infini :

Ceci permet d'écrire :

On peut en déduire aisément la vitesse de libération vlib :

Vitesse de libération et vitesse de satellisation

Il ne faut pas confondre vitesse de libération et vitesse de satellisation. La vitesse de satellisation minimale est la vitesse minimale d'un corps en orbite circulaire autour d'un astre. Un corps en mouvement circulaire est soumis à une accélération centrifuge gamma telle que :

avec v la vitesse tangentielle et D le rayon de l'orbite. Il est par ailleurs soumis à la force d'attraction de l'astre :

Le corps considéré restera en orbite circulaire si la force d'accélération centrifuge et la force d'attraction gravitationnelle s'équilibrent. On peut en déduire la vitesse de satellisation correspondante :

La vitesse de satellisation minimale est celle qui correspond au rayon minimum... c'est-à-dire à celui de l'astre :

Loi de conservation de l'énergie en présence d'une force extérieure

En pratique, un système n'est jamais complètement isolé ni entièrement libre de ses mouvements. Cela se traduit peut se traduire, par exemple, par des frottements qui dissipent une partie de l'énergie sous forme de chaleur (échauffement du système et rayonnement infra-rouge). Cela peut également être l'effet d'un dispositif dont le but est d'utiliser (ou de produire) un mouvement. Dans les deux cas, cela se traduit par l'application d'une force F qui modifie la dynamique du système. La loi de conservation de l'énergie doit prendre en compte le travail de cette force :

Moment d'une force

Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des corps libres de leur mouvement. La mécanique newtonienne permet aussi de traiter le cas, très fréquent, de corps en rotation autour d'un axe.

L'effet d'une force sur le mouvement angulaire du système autour de cet axe dépend de son « bras de levier ». Pour simplifier les écritures, plaçons-nous dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation et considérons la projection de la force dans ce plan. Soit F cette projection, O l'intersection de l'axe de rotation avec le plan perpendiculaire à l'axe dans lequel se trouve le point d'application de la force et r le vecteur entre le point O et ce point. Le moment M de cette force par rapport à l'axe de rotation du système est le produit vectoriel de F et de r :

Le principe fondamental de la dynamique s'applique à la résultante des moments sous la forme suivante :

Dans cette formule, alpha_seconde est l'accélération angulaire du système et J son moment d'inertie. Supposons que le système soit constitué d'un ensemble de masses ponctuelles mi situées à une distance ri de l'axe, le moment d'inertie est défini comme suit :

Dans le cas d'un corps occupant un certain volume on peut écrire :

Revenons au cas d'un système constitué de n corps. On démontre facilement que :

les termes pi représentant les quantités de mouvement respectives des corps de masse mi. La quantité :

est appelée moment cinétique du système. Elle est conservée en l'absence de moment extérieur M.

Energie cinétique d'un système en rotation

Par analogie avec le cas d'un système libre de ses mouvements, on peut définir l'énergie cinétique de rotation du système comme suit :

Il y a conservation de l'énergie cinétique de rotation d'un système en l'absence de moment extérieur. On illustre souvent ce principe en prenant l'exemple des patineurs qui accélèrent leur vitesse de rotation en ramenant les bras vers eux. En faisant cela, ils réduisent leur moment d'inertie. Ceci entraîne une augmentation de leur vitesse de rotation omega de façon à conserver l'énergie cinétique de rotation constante.

Pour terminer, signalons que le travail effectué par le moment d'une force s'écrit :

 

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