Le théorème du viriel a été démontré par Rudolf Clausius en 1870. C'est un des piliers de cette branche de la physique qui s'appelle la thermodynamique et plus particulièrement de la théorie cinétique des gaz.

Pourquoi s'intéresser à ce théorème ? Après tout, la thermodynamique, c'est pas particulièrement mon truc. Moi, ça serait plutôt l'astrophysique ou la physique quantique... Mais justement : le théorème du viriel est fort utile pour comprendre les phénomènes qui se produisent au sein des nuages interstellaires ou à l'intérieur des étoiles.

Démonstration du théorème du viriel pour un nuage de gaz

Dans sa forme la plus simple, c'est-à-dire lorsque le système auquel il s'applique est soumis à la seule gravitation, le théorème du viriel relie l'énergie potentielle gravitationnelle de ce système à son énergie cinétique totale. Partons de l'hypothèse d'un nuage de particules à symétrie sphérique. Cette hypothèse n'est pas indispensable mais elle permet de simplifier la démonstration. La mécanique newtonienne donne une excellente approximation de l'énergie potentielle gravitationnelle d'un tel nuage :

Intéressons-nous maintenant à son énergie cinétique. Dans le cas que nous avons choisi de traiter, elle est assimilable à l'énergie thermique du nuage :

avec :

• dN le nombre de particules dans la couche d'épaisseur dr
• T la température de cette couche

Rappelons que l'énergie cinétique moyenne E_C d'une particule au sein d'un gaz est égale à :

k étant la constante de Boltzmann et T la température du gaz .

Remarque : Il est tout à fait possible de démontrer le théorème du viriel dans le cas d'un système composé de particules dont le mouvement ne se résume pas à une agitation thermique désordonnée. On trouve cette démonstration sur Internet.

La quantité N est reliée à la masse M par la relation suivante :

m_p étant la masse du proton et mu un coefficient qui permet de prendre en compte le nombre de particules libres par nucléon (proton ou neutron) et que l'on appelle poids moléculaire. Cette formule permet de calculer le nombre de particules libres à partir de la masse de gaz. Prenons par exemple un gaz constitué majoritairement d'hydrogène ionisé. Il y a deux particules ionisées par nucléon : un proton et un électron. Le coefficient mu est alors égal à 0,5. Dans le cas d'un gaz composé d'hélium ionisé. Il y a 3 particules ionisées pour 4 nucléons : un noyau d'hélium et deux électrons. Le coefficient mu est cette fois égal à 4/3. (Pour comprendre l'origine et l'intérêt de cette formule, reportez-vous au post consacré à la théorie cinétique des gaz.)

On peut également exprimer dM en fonction de la densité rho au sein du nuage :

Ceci conduit à réécrire l'énergie thermique E_T du système comme suit :

Si on fait l'hypothèse que le gaz stellaire se comporte comme un gaz parfait on peut écrire :

L'équation qui donne l'énergie thermique E_T en fonction de P(t) peut être intégrée par partie. On part pour cela de l'équation différentielle suivante :

ce qui permet d'écrire :

Le premier terme est nul puisque P_T s'annule à la surface du nuage. Pour calculer le deuxième terme, il faut prendre en compte l'équation qui exprime l'équilibre entre la pression et la force d'attraction gravitationnelle (équilibre hydrostatique au sein du nuage) :

L'intégrale peut alors se réécrire comme suit :

Ceci permet d'aboutit à l'équation remarquable suivante :

L'énergie thermique totale d'un nuage de gaz à l'équilibre est égale à la moitié de son énergie potentielle gravitationnelle. C'est l'équilibre du viriel. Lorsqu'un système a atteint cet état d'équilibre, on dit de lui qu'il est virialisé.

Sous sa forme la plus complète, l'équation du viriel s'écrit :

I étant le moment d'inertie du système (la somme des moments d'inertie des particules qui le composent) et E_C son énergie cinétique totale. Lorsque le système a atteint son état d'équilibre, la dérivée seconde de I est nulle. En astrophysique, il est en général possible de négliger cette dérivée seconde pour des phénomènes qui se déroulent sur des durées à l'échelle de millions, voire de milliards d'années.

Nuage de gaz (inter)stellaire et mécanisme de Kevin-Helmoltz

Soit un nuage de gaz sphérique de masse M et de rayon R. Nous allons supposer que la densité du gaz au sein du nuage est uniforme. Ce n'est bien évidemment pas le cas, la densité est plus élevée au centre du nuage, mais cette hypothèse n'a pas d'impact sur la justesse de ce que nous cherchons à établir. L'énergie potentielle gravitationnelle totale du nuage se calcule facilement :

Ceci permet d'écrire l'énergie mécanique totale dudit nuage :

Lorsque ce nuage se contracte, il doit impérativement perdre de l'énergie mécanique (le membre de droite de l'équation augmente en valeur absolue et son signe est négatif). La seule façon pour ce nuage d'évacuer de l'énergie est de la rayonner. Rien d'étonnant à cela d'ailleurs : comme tout corps porté à une température T donnée, un nuage de gaz, qu'il soit atomique, moléculaire ou ionisé, rayonne. (Le spectre du rayonnement suit la loi de Planck des corps noirs.) On peut donc retourner la proposition : puisque le nuage rayonne, il doit se contracter !

La luminosité du nuage qui se contracte s'écrit très simplement :

On appelle temps de Kevin-Helmoltz la constante de temps définie comme suit :

Cette équation s'applique à une étoile comme le Soleil (qui est, à sa façon, un nuage de gaz de forme sphérique). Dans ce cas le temps de Kevin-Helmoltz est voisin de 10 millions d'années ! Une telle durée va dans le sens de ce que nous avons dit plus haut au sujet de l'application du théorème du viriel : dans le cas d'une étoile comme le Soleil, il est tout à fait légitime de négliger le terme dû à la dérivée seconde du moment d'inertie !

On a pensé un temps que ce mécanisme était à l'origine du rayonnement des étoiles. Mais les géologues sont rapidement parvenus à la conclusion que l'âge de la Terre était bien supérieur à 10 millions d'année et on a compris que ce mécanisme ne suffisait pas. (Il est sans doute, par contre, à l'origine du rayonnement de planètes comme Jupiter ou Saturne qui rayonnent plus d'énergie qu'elles n'en reçoivent du Soleil.) Ce n'est qu'au début du XXème siècle que des scientifiques comme Jean Perrin ont avancé l'hypothèse que le moteur qui alimente le rayonnement des étoiles était d'origine nucléaire.

Température et pression au coeur d'une étoile

Si l'on conserve l'hypothèse simplificatrice sur densité au sein du nuage, l'équation qui donne dP en fonction de la densité rho (voir plus haut), s'intègre aisément :

La pression en surface étant nulle il vient :

Le coefficient 3/8 pi peut être oublié : nous savons que la densité n'est pas homogène. Cette équation n'a pas d'autre ambition que de nous donner un ordre de grandeur. Et à ce titre il est tout à fait légitime d'écrire qu'en première approximation la pression au centre de l'étoile est proportionnelle à GM²/R⁴. Pour une étoile comme le Soleil, la masse M est égale à 2 10³⁰ kg et le rayon vaut 700000 km. Ceci conduit à une valeur P(0) de 1,3 10¹⁴ Pa. Plus d'un milliard de fois la pression atmosphérique !

Si l'on suppose que le Soleil est composé principalement d'hydrogène (mu = 0,5), on peut en déduire la température au centre de l'étoile. On aboutit à une formule très simple puisque T(0) ne dépend alors que de M_S/R . L'application numérique donne T(0) = 5,5 10⁶ K.

Une fois encore, il ne s'agit que d'une approximation. Les valeurs réelles de P et de T sont en fait plus élevées, la densité étant bien plus grande au coeur de l'étoile qu'au bord. Les valeurs trouvées par le calcul sont cependant de bonnes approximations. A titre indicatif, la température au centre du Soleil est estimée à 15 10⁶ K.

Remarque : comme on peut le constater, la contraction d'un nuage de gaz dont la composition n'évolue par se traduit automatiquement par une hausse de la pression interne P(0) et de la température à coeur T(0) qui évoluent toutes deux en sens inverse de R. Cette évolution de la pression et de la température explique l'échauffement qui s'opère au coeur d'un nuage de gaz en train de s'effondrer.

Appauvrissement du coeur de l'étoile en hydrogène

Nous avons supposé que l'étoile était composée principalement d'hydrogène. Or, une fois que le coeur entre en fusion, l'hydrogène se transforme en hélium. Au bout d'un certain temps, l'hydrogène va commencer à se raréfier au coeur de l'étoile. Le coefficient mu, que nous avons supposé égal à 1/2 (une valeur de 0,6 serait plus appropriée en raison de la présence d'autres éléments), va alors tendre progressivement vers 4/3. Or, ce coefficient mu joue un rôle déterminant sur la pression :

A température égale, la pression au coeur de l'étoiles va donc chuter. L'équilibre des forces (pression vs. gravité) s'en trouvera modifié. Le noyau stabilisé pendant des milliards d'années par les réactions de fusion nucléaire en son sein va recommencer à se contracter. L'énergie potentielle gravitationnelle libérée par la contraction (voir le paragraphe consacré au mécanisme de Kevin-Helmoltz) va réchauffer les couches adjacentes qui font se mettre à fusionner à leur tour. Les couches intermédiaires surchauffées (énergie de fusion et énergie potentielle gravitationnelle libérée par le coeur) vont enfler démesurément... L'équilibre qui avait caractérisé le comportement de l'étoile pendant des milliards d'année va devenir instable. Mais ça, c'est une autre histoire que nous conterons dans un autre post.

Jupiter, Saturne et le viriel

Revenons à l'équation du viriel appliquée à une sphère de gaz monoatomique de densité uniforme. On peut l'écrire sous la forme suivante :

Dans ce qui précède, nous sommes partis de l'hypothèse que ce gaz était un gaz parfait et qu'il n'était soumis qu'à la force de gravité d'une part et à la pression cinétique des atomes qui le constituent d'autre part. Si ce gaz est un gaz d'hydrogène H non ionisé on peut écrire :

Il y a par ailleurs une relation très simple entre la masse de la sphère de gaz, sa densité et son rayon :

Si le gaz n'est pas ionisé, sa densité est limitée par les forces de répulsion électrostatique entre atomes. Dans le cas de l'hydrogène, on peut considérer que ces forces maintiennent une distance minimale d'un Angström entre deux atomes (le "diamètre" occupé par un atome d'hydrogène est estimé à 52 pm). Ceci nous donne une valeur maximale de la densité :

A cette valeur limite correspond une masse "critique" M_c. En combinant les équations qui précèdent, on peut en effet écrire :

que l'on peut écrire sous la forme :

La température d'ionisation de l'hydrogène est de 100 000 K (13,6 eV). L'application numérique donne une valeur de M_c voisine de 3 10^-3 masses solaires. Que signifie ce résultat ? Tout simplement qu'une "protoétoile" dont la masse est inférieure à 3 10^-3 masses solaires ne pourra jamais atteindre le seuil d'ionisation et va rester bloquée à un stade dans lequel l'hydrogène est dans un état de confinement qui interrompt le processus d'effondrement. L'hydrogène au coeur de cette "étoile ratée" n'est plus vraiment dans un état gazeux. On qualifie cet état d'hydrogène métallique en raison de ses propriétés très particulières. Eugène Wigner avait prédit l'existence de cet état en 1935 et des équipes ont annoncé avoir reproduit cet état en laboratoire au cours des 20 dernières années. Les astrophysiciens supposent que Jupiter et Saturne (ainsi que la plupart des planètes gazeuses) sont en grande partie composés d'hydrogène à l'état métallique.

Composition d'une planète gazeuse comme Jupiter et Saturne

Masse d'un amas galactique

Le théorème du viriel a un domaine d'application beaucoup plus large que celui que nous avons évoqué. Nous nous sommes jusqu'à présent intéressé au cas d'un gaz de particules en mouvement brownien mais le théorème du viriel s'applique à un système dès lors que seule la gravitation détermine le champ des vitesses des éléments qui le composent. C'est le cas par exemple des étoiles dans une galaxie ou des galaxies au sein d'un amas. Dès lors que le système considéré est virialisé, c'est-à-dire qu'il a atteint un état de quasi-équilibre, on peut écrire :

Prenons le cas d'un amas de galaxies de masse M_A et de rayon R_A. L'énergie cinétique totale E_C de l'amas est égale à :

(La notation avec un accent circonflexe indique qu'il s'agit d'une moyenne quadratique). L'application du théorème du viriel permet d'écrire :

L'analyse Doppler du spectre de rayonnement des galaxies de cet amas permet de déterminer la moyenne quadratique de leurs vitesses (ainsi que leur dispersion). Ceci permet d'évaluer la masse de l'amas. On parle alors de masse virielle de l'amas.