Un peu de physique...

Le chat de Schrödinger et la superposition d'états

Nous avons vu dans les posts sur la mécanique quantique que celle-ci nous amenait à revoir complètement la notion de mesure en physique. La plupart du temps, dans le monde quantique, le résultat ne peut pas prendre n'importe quelle valeur. Les seules valeurs de mesure possibles sont discrétisées : c'est ainsi par exemple qu'un électron ne peut occuper qu'une suite de niveau d'énergie E0, E1... Ek... En dans le nuage électronique qui entoure le noyau d'un atome. Les physiciens ont développé un formalisme adapté à cette discrétisation. A toute mesure physique sur un objet quantique est associée un opérateur dans un espace de Hilbert. Les seules valeurs de mesure possibles sont les valeurs propres de cet opérateur. Dans un espace vectoriel, une valeur propre est une valeur telle qu'il existe un vecteur psi de cet espace tel que :

A étant l'opérateur considéré. Dans ce cas, le vecteur psi est appelé vecteur propre de l'opérateur A. On peut montrer que l'ensemble des vecteurs propres forme une base de l'espace de Hilbert. Cela signifie que quelque soit l'état quantique du système il peut être représenté par un vecteur psi que l'on peut décomposer sous la forme suivante :

les vecteurs psik étant les vecteurs propres de l'opérateur A. De plus, la probabilité de trouver la valeur lambdak associée au vecteur psik lorsqu'on effectue la mesure correspondant à l'observable A est égale au carré de muk !

Principe d'indétermination

Tout cela est bien joli, mais dans quel état se trouve l'objet considéré (une particule, par exemple) avant la mesure ? Se trouve-t-il dans l'état décrit par psik ? Mais dans ce cas, pourquoi la probabilité de trouver la valeur lambdak n'est-elle pas égale à 1 ?

C'est là qu'intervient le principe d'indétermination. C'est l'un des fondements de la mécanique quantique. C'est une notion très déroutante. Ce principe nous dit en effet qu'il n'est pas possible de connaître le résultat d'une mesure avant de l'avoir effectuée. Ce qui veut dire que le résultat de cette mesure est aléatoire. Pas entièrement aléatoire en ce sens qu'il existe des équations, comme l'équation de Schrödinger, qui permettent de prédire la dynamique de l'évolution des systèmes quantiques. Mais ces équations ne nous donnent que des probabilités de trouver telle ou telle valeur. Le déterminisme cher à Laplace est une notion qui n'a pas sa place en mécanique quantique.

Il est difficile d'admettre qu'il soit impossible, par exemple, de déterminer par une équation la position d'une particule en mouvement comme on peut le faire dans le cadre de la mécanique newtonienne. Et pourtant, la seule chose qu'il soit possible de faire en mécanique quantique c'est de calculer la probabilité de trouver la particule à un endroit donné en fonction du temps. Les innombrables expériences faites depuis de nombreuses années sur les particules ont confirmé cette nature probabiliste. Lorsqu'on refait de très nombreuses fois la même expérience mettant en jeu le même type de particules dans les mêmes conditions d'essais et que l'on cherche à déterminer la position de l'une d'entre elles à l'issue de cette expérience, on trouve une répartition des résultats dans l'espace conforme à la probabilité calculée grâce à l'équation de Schrödinger.

Mais alors revenons à la question que nous nous sommes posés en début de ce paragraphe, comment décrire l'état de la particule juste avant la mesure ? La réponse formulée par les tenants de l'orthodoxie quantique (ce que l'on appelle l'école de Copenhague) est la suivante : la particule se trouve dans une superposition d'états.

Intuitivement, notre expérience nous conduit pourtant à penser qu'elle se trouve quelque part non loin de l'endroit où on va la mesurer. La réponse de la physique quantique est catégorique... et difficile à avaler. Selon les physiciens la réponse est : elle se trouve partout où elle peut être. C'est un peu fort de café. D'autant que ce qui est vrai pour la position d'une particule l'est aussi pour toutes les autres propriétés physiques !

Le chat de Schrödinger

Revenons au cas d'une mesure dont le résultat ne peut prendre que des valeurs discrètes. Avant le mesure, l'état de la particule est effectivement :

Il n'est ni psi1, ni psi2, ni psik... il est tout cela à la fois ! Cette affirmation n'a pas manqué de choquer de nombreux physiciens, au rang desquels se trouvent certains des « inventeurs » de la mécanique quantique. Parmi ceux-ci, Erwin Schrödinger a marqué les esprits en imaginant le cas d'un chat enfermé dans une caisse dans laquelle se trouve un dispositif diabolique. Une particule radioactive est placée face à un détecteur relié à une fiole emplie d'un gaz mortel. Si la particule se désintègre, le détecteur capte le rayon émis et la fiole se brise, entraînant la mort du chat.

Or, une particule radioactive est un exemple parfait de superposition d'états (particule radioactive/particules issues de la désintégration). Et il se trouve que dans le cas de la particule radioactive cette superposition est instable. La désintégration est inévitable mais il est impossible de prévoir à quel moment elle se produira. On ne peut prédire que la demi-vie d'une telle particule (le temps moyen de désintégration). Peut-on dire alors que le chat enfermé dans la caisse se trouve dans une superposition d'états |Mort> et |Vivant> tant que l'on n'a pas ouvert la caisse ?

Le débat a fait rage pendant de nombreuses années. Einstein et Bohr ont longuement polémiqué sur ce sujet. Einstein pensait que la mécanique quantique n'était pas complète. Qu'elle échouait à décrire complètement la réalité et qu'il existait des variables cachées dont nous n'avions pas encore découvert les lois physiques. Depuis, la découverte des inégalités de Bell et l'expérience d'Aspect ont tranché le débat et donné raison à Bohr contre Einstein.

Mais alors, comment expliquer que le monde macroscopique dans lequel nous vivons soit déterministe alors qu'à son niveau le plus élémentaire il est fondamentalement probabiliste ? Pourquoi le chat de Schrödinger est mort ou vivant et non pas les deux à la fois ?

Décohérence

La réponse porte un nom, c'est la décohérence. La notion de décohérence a été étudiée et formalisée par le physicien Serge Haroche. Serge Haroche a reçu le prix Nobel en 2012.

Pour comprendre ce qui empêche la propagation de la superposition d'état à des systèmes de taille macroscopique (comme un chat, par exemple) rien ne vaut un interféromètre de Mach-Zehnder.

L'interféromètre de Mach-Zehnder est composé de deux lames séparatrices L1 et L2, de deux miroirs M1 et M2 et de deux détecteurs Dx et Dy. La particularité des lames séparatrices est qu'elles introduisent un déphasage de pi/2 sur l'onde réfléchie alors qu'elles n'introduisent aucun déphasage en transmission. Il en va de même pour les miroirs : aucun déphasage sur l'onde réfléchie.

Si on considère les faisceaux ax et ay en sortie de l'interféromètre :

  • ax est la superposition de deux faisceaux ayant vu chacun le même nombre de réflexions et de transmissions. Il y a interférence constructive entre ces deux faisceaux. Le détecteur Dx capte toute l'intensité émise par le laser.
  • ay est la superposition de deux faisceaux dont l'un a subi deux réflexions sur une lame séparatrice et le second aucune. Deux réflexions introduisent un déphasage de pi ce qui correspond à inverser son amplitude. Il y a interférence destructive et rien n'est capté par le détecteur Dy.

Tout comme dans le cas de l'interférence avec les fentes de Young, celle-ci est conservée si l'on tire les photons un par un. C'est réalisable avec un laser : il suffit de ralentir l'émission de façon à ce que le temps entre l'émission de deux photons soit supérieur au temps de trajet dans l'interféromètre. Prenons l'hypothèse que le parcours sur chacune des branches est de 1,5 mètre, il suffit que l'intervalle entre chaque photon soit supérieur à 5 nanosecondes.

Cette expérience est un cas d'école du phénomène de la superposition d'états. Le parcours rouge correspond à un état et le parcours bleu à un autre état. Pour chacun des faisceaux axet ay il y a superposition de deux états |Rouge> et |Bleu> :

|S> représentant l'état d'un photon. Le principe de fonctionnement de l'interféromètre repose sur l'interférence entre ces deux états superposés. L'interférence ne se produit que si l'on ne cherche pas à connaître le parcours réel des photons : dès lors qu'on cherche à le faire, elle disparaît. Les capteurs Dx et Dy se partagent alors les photons émis.

Que se passe-t-il dans ce cas ? Supposons que l'on introduise une lame biréfringente dans le trajet rouge. Une lame biréfringente modifie la polarisation du faisceau qui la traverse. Cette action est fonction de l'angle d'inclinaison de la lame. On appellera theta cet angle.

Supposons également que l'on ne laisse passer en sortie du laser que des photons polarisés verticalement. On a ainsi un faisceau très cohérent à l'entrée du dispositif de mesure. En l'absence de lame biréfringente, cela ne change rien au fonctionnement de l'interféromètre. Par contre, cela change la nature des états |Rouge> et |Bleu>. Ces états prennent en compte désormais la polarisation verticale des photons. Elle devient constitutive de la superposition d'états.

En présence de la lame, la situation dépend de l'angle theta. Si theta est tel que la lame n'introduit aucune modification dans la polarisation (theta = 0), l'interféromètre n'est pas perturbé. L'état |Rouge> n'est pas modifié.

Si l'angle theta est égal à pi/2, la perturbation est maximale : tous les photons basculent dans un état de polarisation horizontale. L'interférence est détruite et le capteur Dy reçoit autant de photons que le capteur Dx. L'état |Rouge> est devenu un état |Rouge bis>, ou plus exactement un état :

Cet état n'interfère plus avec l'état |Bleu>. La superposition qui est basée sur des photons polarisés verticalement) n'est plus possible. La superposition d'états a perdu sa cohérence.

Si l'angle theta est compris entre 0 et pi/2, le transfert de Dx vers Dy est partiel. La mesure de la puissance recueillie sur les détecteurs Dx et Dy donne :

Cette fois l'état |Rouge> est devenu un état :

On peut démontrer que |LB(theta)> peut être décomposé linéairement en fonction de |LB(0)> et de |LB(pi/2)>. On a vu que |LB(0)> ne perturbait pas l'état |Rouge> alors que |LB(pi/2)> détruisait la superposition avec l'état |Bleu>. Ceci explique le résultat : il y a décohérence partielle de la superposition d'états et cette décohérence partielle réduit l'effet de l'interférence.

Que peut-on conclure de cet exemple ? En introduisant un élément extérieur, on a perturbé la superposition d'états jusqu'au point de faire disparaître l'interférence pour un angle theta = pi/2. C'est ce phénomène que l'on appelle la décohérence.

L'introduction de la lame a ajouté un degré d'analyse au système, un degré de liberté qui n'entrait pas dans le cadre de la superposition d'états initiale. L'état |Rouge> a été remplacé par une superposition d'états :

dont le second ne peut pas interférer pas avec l'état |Bleu>. C'est la superposition partielle de |LB(pi/2)> avec l'état |Rouge> qui perturbe l'interférence avec l'état |Bleu>.

L'introduction de la lame biréfringente dans l'interféromètre permet de comprendre l'effet d'une interaction entre une particule préparée dans une superposition d'états et un élément du milieu extérieur. Chaque interaction de ce type introduit une décohérence partielle. Pour reprendre le formalisme simplifié de l'exemple qui précède, chaque interaction va introduire son propre facteur |Interact(theta)> sur les états intriqués de la particule. Or, à l'échelle macroscopique, les interactions avec le milieu extérieur sont innombrables. Le cumul de ces interactions va faire disparaître totalement la cohérence de la superposition d'état initiale au bout d'un temps très bref.

En pratique, ce temps de décohérence est infime. Serge Haroche a mesuré un temps de 10-17 secondes pour une molécule préparée dans deux états superposés dans l'air à la pression ambiante ! Autant que pour un système aussi complexe qu'un chat ce temps ne serait même pas mesurable.

 

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