Un peu de physique...

Equation de Dirac

Dans le post sur le spin, nous avons montré comment on pouvait représenter le spin d'une particule dans un espace de Hilbert. On remarquera cependant que, jusqu'à présent, nous sommes restés dans un cadre classique. Que se passe-t-il lorsqu'on passe dans un cadre relativiste ? L'équation de Schrödinger est-elle toujours pertinente ?

La première question que nous allons nous poser est la suivante : quel est l'effet des transformations de Lorentz sur la représentation spinorielle ? Armés de la réponse à cette quesiton nous verrons ensuite comment adapter l'équation de Schrödinger au cadre de la relativité restreinte.

Nota : dans ce qui suit, nous allons adopter la notation covariante des indices pour représenter les vecteurs et les matrices.

Equation de Klein-Gordon

L'équation de Schrödinger est la formulation quantique de l'équation de conservation de l'énergie pour une particule libre :

On passe de la formule classique à la l'équation de Schrödinger en remplaçant E et p par des opérateurs quantiques :

Il vient :

La transposition relativiste consiste à remplacer la formule classique de E par celle déduite de l'équation d'Einstein :

Ceci conduit à une équation appelée équation de Klein-Gordon pour les particules libres relativistes :

équation dans laquelle l'opérateur représenté par un « carré » représente l'opérateur d'alembertien :

Cette équation présente une particularité notable par rapport à l'équation de Schrödinger : elle conduit à des valeurs propres de l'énergie qui peuvent être négatives ! Lorsqu'on recherche les solutions de cette équation, on obtient en effet des paires de solutions correspondant aux valeurs propres +/-En. D'une certaine manière on peut dire que ce doublement du nombre de solutions découle directement de l'équation d'Einstein :

Equation de Dirac et antimatière

En étudiant les implications de l'expérience de Stern et Gerlach, Wolfgang Pauli a montré qu'il existait deux états possibles de spin pour chaque valeur propre de l'énergie En. L'espace de Hilbert dans lequel ces états sont représentés est un espace spinoriel (voir le post au sujet des spineurs). L'équation de Klein-Gordon conduit donc à multiplier par deux le nombre d'états possibles.

En 1928, Paul Dirac a mené jusqu'au bout la recherche des solutions de cette équation. Pour prendre en compte ce doublement, il a proposé de remplacer le spineur de Pauli par un bispineur, un vecteur complexe de dimension 4 construit à partir de deux spineurs psi et khi :

Dans la formulation non relativiste, les transformations qui s'appliquent à un spineur sont les matrices du groupe SU(2). Dans le cas d'un bispineur la nouvelle règle qui s'applique est la suivante :

A étant une matrice de SU(2). Dans ce contexte, les matrices de Pauli qui permettent de générer les matrices du groupe SU(2) doivent être remplacées par des matrices 4x4 complexes gammamu :

Ces matrices vérifient les équations suivantes :

Les coefficient etamu,nu étant les coefficients de la métrique de Minkowski. L'équation de Schrödinger devient alors l'équation de Dirac :

Les quatre dimensions du bispineur correspondent à deux couples de valeurs propres de spin opposé. Le premier de ces couples renvoie à la solution de Pauli dans la limite non relativiste et le second à une solution d'énergie négative.

L'existence de solutions avec une énergie négative a tout d'abord plongé Dirac dans la perplexité. Il a cependant rapidement compris que des particules d'énergie négative et d'impulsion -p (donc remontant le temps) pouvaient être interprétées comme des antiparticules d'énergie positive et d'impulsion p.

Ce qui caractérise une particule et une antiparticule c'est qu'elles ont la même masse et le même spin mais que leurs charges sont opposées. L'existence des antiparticules a été confirmée expérimentalement par Carl David Anderson en 1932. C'est en étudiant les rayons cosmiques qu'il mit en évidence l'existence du positron, l'antiparticule de l'électron. Il a été montré depuis qu'il existait une antiparticule pour chaque particule élémentaire. Cette découverte a valu le prix Nobel de physique à Paul Dirac.

 

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