Un peu de physique...

Formalisme quantique : une histoire d'opérateurs

La mécanique quantique nous contraint à un changement radical de paradigme. C'est le cas en particulier pour tout ce qui touche à la nature des grandeurs physiques. Dans la physique traditionnelle, celles-ci sont des propriétés intrinsèques des objets que l'on étudie. En mécanique quantique, ces grandeurs doivent être considérés comme des opérateurs qui agissent sur la fonction d'onde associée à l'objet en cours d'étude (voir le post consacré à l'équation de Schrödinger).

De fait, la mécanique quantique nous contraint à un certain degré d'abstractions. Comme nous l'avons vu au sujet de l'électron, il n'est plus possible de représenter une particule par ses trois coordonnées spatiales, les trois coordonnées de son vecteur impulsion et une coordonnée temporelle comme c'est le cas en mécanique classique. Le triplet (r, p, t) doit être remplacé par la fonction d'onde psi(r,t). Ceci signifie que l'espace dans lequel nous devons étudier cette particule n'est plus l'espace-temps de Minkowski mais l'espace de fonctions d'onde psi(r,t) !

Aïe ! Qu'est-ce que c'est que cet espace et comment allons-nous nous débrouiller...

Espace de Hilbert (parenthèse mathématique)

Heureusement pour nous, ce genre de problème a été traité par David Hilbert, qui est considéré comme le mathématicien le plus brillant du début du XXème siècle. C'est pourquoi on a donné à ce type d'espace le nom d'espace de Hilbert.

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel dont les vecteurs (les éléments) sont des fonctions comme les fonctions psi(r,t). Pour représenter ces vecteurs, on utilise la notation suivante :

Entendons-nous bien : |psi> n'est pas un vecteur de l'espace de Minkowski M. C'est un vecteur de l'espace de Hilbert associé à une fonction définie en tout point de M :

Un opérateur est une application linéaire de l'espace de Hilbert dans lui-même :

Les opérateurs énergie et impulsion que nous évoqués plus haut sont des opérateurs de ce type :

On peut par exemple définir de la même façon un opérateur position :

On pourra constater au passage que l'opérateur position ne commute pas avec l'opérateur impulsion :

1 étant l'opérateur identité.

Observables

De manière générale, à toutes les grandeurs physiques mesurables sont associées des opérateurs. Ceci étant dit, n'importe quel opérateur ne fait pas l'affaire. Pour avoir un sens physique, un opérateur doit avoir certaines propriétés. En particulier il doit être hermitien. En termes mathématiques, cela signifie qu'il est invariant dans une opération de transconjugaison (transposition + conjugaison) :

Si cet opérateur peut être noté sous forme matricielle, cela revient à dire que :

La matrice A est alors diagonalisable :

U étant une matrice complexe unitaire et D une matrice diagonale réelle. On donne le nom d'observable à un tel opérateur.

Valeurs propres et vecteurs propres

Puisqu'on en est à remuer de vieux souvenirs à propos de nos cours sur les espaces vectoriels... Vous vous souvenez de la notion de vecteur propre et de valeur propre ? Si psi est un vecteur d'un espace vectoriel et qu'il existe un nombre (réel ou complexe) lambda tel que :

alors psi est un vecteur propre de l'opérateur A et lambda est la valeur propre associée. Si l'opérateur A est une observable, les valeurs propres sont réelles. Elles correspondent aux seules valeurs que peut prendre la mesure associée à l'observable A.

Ce que nous avions appris lors de nos cours sur les espaces vectoriels, c'est aussi que l'ensemble des vecteurs propres d'un opérateur formait une base de cet espace vectoriel. Autrement dit, quelque soit psi appartenant à notre espace de Hilbert H, on peut l'écrire sous la forme :

les vecteurs psik étant les vecteurs propres d'un opérateur quelconque de H. Lorsque cet opérateur est une observable, cette propriété devient particulièrement intéressante. En effet, la probabilité de trouver la valeur lambdak associée au vecteur psik lorsqu'on effectue la mesure correspondant à cette observable est égale au carré de muk !

Fin de la parenthèse mathématique.

Retour dans le monde des particules

Revenons à nos moutons. Nous avons vu que l'équation de Schrödinger définissait un opérateur énergie et un opérateur impulsion pour décrire la dynamique de la fonction d'onde d'une particule. D'un point de vue mathématique, ces opérateurs agissent sur des vecteurs d'un espace de Hilbert. Cet espace est un espace vectoriel dont les vecteurs sont des fonctions d'onde. On peut vérifier facilement que les opérateurs énergie et impulsion sont des observables dans cet espace vectoriel. Tout vecteur de cet espace peut être décomposé sur une base constituée par les vecteurs propres associés à l'un de ces opérateurs, à l'opérateur énergie par exemple.

Ceci étant posé, vous allez me dire que tout cela est très artificiel. Cet opérateur (observable) énergie, introduit par Schrödinger, nous aurions tout aussi bien pu l'appeler opérateur Arthur. Il faut avoir sacrément confiance dans le pouvoir des maths pour prétendre qu'il a quelque chose à voir avec l'énergie dans le monde réel !

Et bien il se trouve que si l'on applique, par exemple, l'équation de Schrödinger à un potentiel coulombien, celui généré par le noyau d'un atome d'hydrogène par exemple, et que l'on recherche les valeurs propres de l'opérateur Ê... on retrouve les niveaux d'énergie E0, E1, E2... En... correspondant aux raies de Balmer ! Et les vecteurs psik correspondant ne sont autres que les vecteurs associés aux harmoniques sphériques évoquées lorsque nous avons décrit la structure du nuage électronique autour d'un noyau d'hydrogène. Etonnant, non ?

Tel est le nouveau paradigme de la mesure en mécanique quantique : à toute mesure est associée un opérateur quantique. Si cet opérateur possède des vecteurs propres, les seules valeurs de mesure possibles sont les valeurs propres associées à ces vecteurs propres.

De plus, certains opérateurs peuvent être affectés par des règles de non-commutativité. C'est le cas, par exemple, l'opérateur position ou l'opérateur impulsion :

Cela signifie que l'on n'obtient pas la même valeur si l'on mesure x avant p ou si l'on mesure x après p. Il existe un écart impossible à éliminer. C'est cette non-commutativité qui est à l'origine du principe d'indétermination d'Heisenberg !

 

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