Un peu de physique...

Symétrie de jauge

En physique, une symétrie est une transformation qui laisse invariante les lois de la physique. En d'autres termes, si l'état d'un système est décrit par un ensemble de paramètres (p1, p2 ... pn) la transformée (T(p1), T(p2)... T(pn)) doit être également solution des équations du système.

La notion de symétrie joue un rôle déterminant en physique. C'est Galilée qui en a eu le premier l'intuition en introduisant le principe de relativité. Emmy Noether, une mathématicienne d'origine allemande en a fait une démonstration magistrale en 1918 (théorème de Noether). Einstein dit de ce théorème qu'il est un « monument de la pensée mathématique ».

  • L'invariance par translation dans le temps entraîne la conservation de l'énergie.
  • L'invariance par translation dans l'espace selon une direction donnée entraîne la conservation de la quantité de mouvement dans la même direction.
  • L'invariance par rotation dans l'espace entraîne la conservation du moment angulaire.
  • Dans la théorie de la relativité restreinte, la transformation de Lorentz est une symétrie de l'espace-temps exprimant la conservation du vecteur énergie-impulsion.

Paul Erhenfest a étendu le théorème de Noether à la mécanique quantique. La mécanique quantique s'est servie du théorème de Noether comme d'un outil puissant pour étudier les propriétés des particules élémentaires. Elle a pour cela étendu le concept de symétrie pour l'appliquer à des grandeurs quantiques : la charge électrique, la charge de couleur, le spin... La théorie des interactions élémentaires est une application directe du concept de symétrie.

L'Electrodynamique Quantique (QED) et la symétrie de jauge

L'équation de Schrödinger d'un électron se déplaçant librement présente une particularité. Si une fonction d'onde psi(r,t) est une solution de l'équation de Schrödinger, alors la fonction exp(i.theta).psi(r,t) est également solution de cette équation. On exprime ceci en disant que la transformation :

laisse invariante le hamiltonien d'un électron libre. On est donc en présence d'une symétrie. L'ensemble des symétries de ce type forme un groupe de Lie : le groupe unitaire de dimension 1 appelé U(1). Il s'agit d'une symétrie de portée globale : une rotation de phase de la fonction d'onde d'un électron libre par un angle constant sur tout l'espace-temps ne modifie pas la probabilité de détection de cet électron en un point quelconque et à un instant quelconque.

Nous allons maintenant nous intéresser à ce qui se passe dans le cas d'une interaction entre un électron et un élément extérieur : un photon par exemple. La figure ci-dessous résume de manière très schématique le déroulement de cette interaction.

Avant l'interaction, ses effets ne se font pas sentir. Le comportement de l'électron est très bien représenté par la trajectoire d'une particule libre. Dans cette phase, la symétrie U(1) s'applique aux équations décrivant le système. C'est également le cas après l'interaction : la symétrie U(1) joue de nouveau à plein. Il existe cependant une zone de l'espace-temps (les mathématiciens la qualifieraient de sous-ensemble compact de l'espace-temps) dans laquelle cette symétrie ne semble plus jouer. Tout au moins à l'échelle de l'électron seul. Un raisonnement par l'absurde suffit pour s'en convaincre : si ce n'était pas le cas, l'électron continuerait sa route sans dévier.

Cette « éclipse locale » de la symétrie U(1) interroge les physiciens. On pourrait pourtant se dire qu'il n'est pas anormal que la phase de la fonction d'onde joue un rôle au cours de l'interaction. C'est ce qui se passe, par exemple, dans l'expérience des fentes d'Young appliquée à un faisceau d'électrons. La phase de la fonction d'onde détermine les directions dans lesquelles il y a interférence constructive et les directions dans lesquelles il y a interférence destructive.

Par rapport à la fonction d'onde d'un électron libre, ce décalage de phase peut être représenté par une fonction de r et de t :

On est cette fois en présence d'une transformation locale et non plus globale de la phase : une application locale de la transformation à la base de la symétrie. Or, il est clair que la transformation :

n'a aucune raison de laisser invariant le hamiltonien d'un électron. Le plus souvent, la fonction d'onde psi''(r,t) n'est même pas une solution de l'équation de Schrödinger.

Transformation de portée locale et conservation de la symétrie

Pourtant, l'expérience de la mécanique classique nous montre que la relation entre symétrie et invariance d'une quantité physique est beaucoup plus profonde que ce qui apparaît à première vue. En d'autres termes, lorsqu'une grandeur physique est invariante dans une symétrie globale, elle se conserve également, d'une manière différente, lors d'une perturbation locale de cette symétrie.

Prenons le cas de la symétrie par translation. En mécanique classique cette symétrie se traduit par la conservation de la quantité de mouvement des corps en mouvement. Considérons deux billes roulant sur un tapis de billard et projetées l'une contre l'autre. On suppose le plateau de billard parfaitement plan et que les billes roulent sans frottement. Avant le choc, la quantité de mouvement de chacune est conservée. Même chose après le choc. Au moment du choc (que nous supposerons élastique) ce n'est plus le cas : la quantité de mouvement de chacune des deux billes n'est pas conservée. Il y a solution de continuité. La symétrie est localement perturbée. Par contre, la quantité de mouvement du système constitué par les deux billes est conservée. Tout se passe comme si, en présence d'un phénomène local qui fait intervenir d'autres équations physiques et qui perturbe les conditions d'application de la symétrie globale, l'invariance que fait apparaître cette symétrie était reportée à un niveau supérieur. Cette constatation n'est pas un cas particulier lié à la mécanique des boules de billard. Elle se retrouve sous une forme ou une autre chaque fois qu'un système présente une symétrie.

Revenons au cas de l'électron. Nous avons vu que son hamiltonien n'était manifestement pas invariant lors d'une rotation de phase locale de la fonction d'onde. Nous avons soupçonné que cette rotation de phase avait quelque chose à voir avec l'interaction qu'il subissait avec le photon incident. Se pourrait-il que, tout comme dans le cas des deux billes qui s'entrechoquent, l'invariance du hamiltonien soit reportée à un niveau supérieur ?

Application d'une transformation locale à la fonction d'onde d'un électron

C'est la question que se sont posés Richard Feynman, Freeman Dyson, Sin-Itiro Tomonaga et Julian Schwinger à la fin des années 1940. Ils ont pour cela établi l'équation du hamiltonien d'un électron en présence d'un potentiel présentant une composante scalaire phi et une composante vectorielle A. Ceci les a conduits à réécrire l'équation de Schrödinger sous une forme très générale :

Ils ont montré que, dans ce cas, la transformation définie comme suit :

conduisait à une solution de l'équation de la forme :

Autrement dit, une rotation locale de la phase équivaut tout simplement à une transformation du potentiel auquel est soumis l'électron !

Invariance de jauge en théorie électromagnétique classique

Ce résultat n'a rien de surprenant : il n'est que la transcription quantique d'un résultat déjà connu en théorie électromagnétique classique. L'application des équations de Maxwell permettent en effet de montrer que le champ électrique E et le champ magnétique B dérivent d'un potentiel scalaire phi et d'un potentiel vecteur A:

Or, le couple de potentiels (phi,A) n'est pas défini de manière univoque. Il existe une infinité de solutions conduisant à la même configuration de champ électromagnétique (E,B). La transformation décrite par les équations ci-dessus et qui fait passer du couple de potentiels (phi,A) au couple (phi',A') laisse invariant le champ électromagnétique pour toute fonction alpha(r,t) continue et dérivable sur l'espace-temps.

On appelle ce type de propriété une invariance de jauge. Pour restreindre le domaine des solutions possibles et leur donner un sens physique, on impose au couple (phi,A) une condition supplémentaire :

Cette équation définit ce que l'on appelle une condition de jauge. (Elle présente l'avantage de conduire à des équations de propagation des potentiels similaires à celles du champ proprement dit.) En théorie électromagnétique classique, elle porte le nom de jauge de Lorentz. Une condition de jauge définit une classe de solutions équivalentes. Le choix d'une fonction alpha0(r,t) s'apparente au choix d'une jauge spécifique.

Le résultat auquel nous sommes parvenus au sujet de l'invariance de la fonction d'onde permet d'étendre à la physique quantique cette notion d'invariance de jauge. Il est l'expression de ce que l'on appelle une invariance de jauge locale.

Symétrisation de jauge et interaction

Récapitulons ce qui précède en reformulant notre raisonnement en termes d'invariance de jauge :

- Nous sommes partis de la constatation que le hamiltonien de l'électron était invariant dans toute symétrie du groupe U(1). Une telle symétrie se traduit par une multiplication par un terme exp(i.theta). On peut qualifier cette invariance d'invariance de jauge globale.

- Stimulés par l'exemple de la mécanique classique, nous nous sommes demandés s'il était possible de trouver une forme du hamiltonien qui soit invariant dans une rotation locale de la phase exp(i.theta_r_t).

- Nous avons trouvé qu'une telle invariance est possible si on réécrivait ce hamiltonien en prenant en compte un potentiel scalaire-vecteur (phi,A). Ceci nous a permis d'établir les conditions d'une invariance de jauge locale du hamiltonien.

- Nous avons enfin constaté que ce potentiel scalaire-vecteur était justement celui qui intervenait dans les équations de l'électromagnétisme de Maxwell !

Confortés par ce résultat, Richard Feynman, Freeman Dyson, Sin-Itiro Tomonaga et Julian Schwinger ont appliqué la procédure de quantification à ce champ de potentiel. Elle les a conduits tout naturellement à mettre en évidence l'existence d'un quantum d'énergie E = h.nu ayant toutes les caractéristiques du photon. La théorie qu'ils ont développée sur cette base est appelée théorie électrodynamique quantique (QED : quantum electrodynamics). Elle leur a valu l'attribution du prix Nobel de physique en 1965.

Boson de jauge

L'intérêt de cette démarche est qu'elle a une portée qui dépasse largement le simple cas de l'interaction entre l'électron et le photon. Elle permet de définir une méthodologie d'analyse des interactions.

Dans ce qui précède, la version quantique de la théorie de l'interaction électromagnétique a été déduite d'une analyse des symétries du système. La QED nous montre en effet que l'interaction électromagnétique peut être exprimée en termes de symétrisation de jauge de l'équation d'onde de l'électron. L'introduction du potentiel du champ électromagnétique permet d'assurer l'invariance de jauge locale des équations du champ de l'électron par rapport au groupe de symétrie U(1).

Les physiciens qualifient ce champ de champ de jauge. Sa quantification conduit à une description détaillée du mécanisme de l'interaction électromagnétique. De fait, le résultat de l'interaction entre un électron et le champ électromagnétique apparaît comme un changement d'état quantique du champ de jauge. Le quantum de ce changement d'état est une particule de spin égal à 1, le photon. On dit du photon que c'est un boson de jauge. Il joue le rôle de vecteur de l'interaction.

Généralisation de la méthode de symétrisation de jauge

La tentation est forte d'appliquer le même type de démarche aux autres interactions et de rechercher quel type de symétrie (ou plus exactement quel groupe de symétrie) elles possèdent. Connaissant ces symétries, on pourra ensuite chercher à rendre invariant le hamiltonien du système considéré sous une action locale de ce groupe de symétrie. Le but du jeu est de parvenir à identifier un champ de jauge dont le couplage avec le champ des particules impliquées dans cette interaction permet de garantir la symétrie de jauge locale. Une fois ce champ de jauge défini, on le soumettra à la procédure de quantification. Celle-ci conduira à identifier un ou plusieurs bosons de jauge qui seront les quanta de l'interaction. Reste alors à les mettre en évidence de manière expérimentale...

L'application de cette démarche s'est révélée particulièrement fructueuse ! Elle a permis de comprendre le fonctionnement des deux autres interactions qui interviennent en mécanique quantique : l'interaction nucléaire faible et l'interaction nucléaire forte. Mais c'est une autre histoire que nous conterons une autre fois...

 

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