Un peu de physique...

L'oscillateur harmonique quantique, une solution de l'équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger ne présente pas toujours une solution analytique. Il existe cependant quelques cas pour lesquels on peut la résoudre. Parmi ceux-ci, deux présentent un grand intérêt pour la compréhension de la physique quantique :

  • l'oscillateur harmonique,
  • le cas d'une particule stationnaire dans un potentiel de symétrie sphérique, que nous avons évoqué dans le post sur les électrons.

L'oscillateur harmonique

L'oscillateur harmonique permet de se familiariser avec le formalisme quantique sur un exemple simple. Il montre comment on parvient à la notion de quantum d'énergie et pourquoi l'état d'énergie minimum n'est pas nécessairement nul.

Un oscillateur harmonique à une dimension est un système dont l'énergie potentielle peut s'écrire :

Son hamiltonien a la forme suivante :

Si l'on applique la relation d'indétermination de Heisenberg :

un développement simple permet de montrer que la valeur minimum du hamiltonien est telle que :

Analysons cet oscillateur d'un point de vue quantique. L'opérateur hamiltonien (noté H) s'écrit :

Nota : Dans toute les formules qui suivent, l'accent circonflexe indique que l'on a affaire à un opérateur.

Dans la formule qui précède, x et p sont les opérateurs position et quantité de mouvement que nous avons déjà rencontrés dans un post précédent :

L'opérateur hamiltonien peut s'écrire de manière plus simple en utilisant les opérateurs réduits X et P :

X et P vérifient l'équation remarquable suivante :

[X, P] étant le commutateur de X et de P.

L'opérateur H peut s'écrire comme suit en fonction de X et P :

Valeurs propres et vecteurs propres de H

Nous allons chercher les valeurs propres et les vecteurs propres de H :

Pour cela nous allons introduire trois nouveaux opérateurs : l'opérateur a, son conjugué (noté avec une croix en exposant) et l'opérateur N :

Le commutateur a et de a_conjugué est l'opérateur identité :

On démontre facilement que :

Ceci conduit à écrire :

On comprend pourquoi nous avons introduit l'opérateur N : les vecteurs propres de l'opérateur H sont aussi les vecteurs propres de l'opérateur N. Il nous suffit donc de rechercher les vecteurs propres de N. Nous les appellerons |nu> :

Comme on peut le voir, nous avons choisi de représenter les vecteurs propres par le même symbole que la valeur propre : c'est un choix purement arbitraire mais qui va se révéler bien pratique. Il convient cependant de bien garder en tête que |nu> est un vecteur de l'espace de Hilbert que nous avons décidé d'appeler ainsi par pure convention alors que nu est un nombre complexe ou réel. En fait, l'opérateur N est égal à son conjugué. On peut donc en déduire que les valeurs de N sont réelles. On peut en déduire que les valeurs propres de sont donc la forme :

avec nu réel.

Opérateur création et annihilation

Nous avons franchi une première étape mais, arrivés à ce point de notre raisonnement, rien ne nous dit que nu ne peut pas être quelconque. Pour aller plus loin, nous allons nous appuyer sur les propriétés de l'opérateur N. En particulier, on peut écrire :

... et, de la même façon :

Appliquons le commutateur [N,a] à un vecteur propre de l'opérateur N :

Il vient :

On obtient le résultat remarquable suivant :

si |nu> est un vecteur propre de l'opérateur N, alors a|nu> est aussi un vecteur propre de N, et la valeur propre de a|nu> est (nu-1) ! Pour rester cohérent avec notre convention de nommage des vecteurs propres de N on peut donc écrire :

Le coefficient alpha se calcule facilement :

On voit au passage que nu est nécessairement positif puisque alpha2 est positif. Il vient :

On peut montrer de même que :

image

Récapitulons :

  • L'opérateur a transforme le vecteur |nu> en un vecteur |nu-1>.
  • L'opérateur a_conjugué transforme le vecteur |nu> en un vecteur |nu+1>.

Considérons un vecteur propre |nu> quelconque de l'opérateur N. Sa valeur propre est un nombre réel nu. Appliquons à ce vecteur propre l'opérateur a autant de fois qu'il le faut. On obtient à chaque fois un nouveau vecteur propre de N dont la valeur propre est décrémentée de 1. Si nu n'est pas un nombre entier, nous finirions par obtenir une valeur propre négative, ce qui est contraire à ce que nous avons démontré un peu plus haut. Nous pouvons donc en conclure que les valeurs propres de N sont des entiers positifs.

Nous pouvons résumer tout ce qui précède de la manière suivante. Les états propres d'un oscillateur quantique sont tels que :

avec nu entier et positif. L'état d'énergie minimum du système est :

L'opérateur N peut donc être interprété comme étant l'opérateur nombre de quanta de l'oscillateur quantique.

Dès lors, l'opérateur a_conjugué apparaît comme un opérateur de création de quanta (il permet d'incrémenter le nombre de quanta). L'opérateur a quant à lui est un opérateur d'annihilation de quanta puisqu'il permet de décrémenter le nombre de quanta.

La morale de cette histoire...

L'oscillateur quantique à une dimension est un cas d'école. Il est cependant très instructif. Il permet de comprendre comment on aboutit à la notion d'états discrets en partant du hamiltonien d'un système. Il montre également comment on peut passer d'un état à un autre par une opération de création ou d'annihilation de quanta. L'application à des systèmes représentatifs de la réalité est beaucoup plus complexe. Le principe reste cependant le même. Il permet de parvenir à un résultat similaire : des états quantiques discrets, le passage d'un état à un autre par création ou annihilation de quanta.

 

Index