Un peu de physique...

L'équation de Schrödinger

Au début du XXème siècle, la physique a connu deux révolutions, celle, très médiatisée, de la relativité et celle, beaucoup moins connue du grand public, de la mécanique quantique. A la fin du siècle qui avait précédé, la notion d'atomes était encore très controversée. Pour certains, elle n'était tout simplement pas scientifique car non démontrable. L'électron ne sera découvert qu'en 1897 par Joseph John Thomson et il faudra attendre quatorze années de plus pour qu'Ernest Rutherford démontre l'existence du noyau atomique en bombardant une feuille d'or par des particules alpha (particules qu'il avait lui-même découvertes quelques années auparavant). En 1913, Niels Bohr tente une première synthèse des travaux de Rutherford et des propriétés connues de l'atome d'hydrogène (raies de Balmer). Il propose un modèle atomique dans lequel les électrons ne peuvent occuper que certains niveaux d'énergie, reprenant l'idée de quantification avancée par Einstein au sujet des photons. Les découvertes vont ensuite se succéder. En 1919, Rutherford, encore lui, démontre l'existence du proton. Otto Stern et Walther Gerlach mettent en évidence le spin des électrons en 1922...

Les scientifiques de l'époque découvrent un monde entièrement nouveau. Un monde dans lequel les lois les mieux établies de la physique classique ne s'appliquent pas. A tel point que Louis de Broglie va avancer en 1925 l'hypothèse que l'électron a une double nature : il est à la fois onde et particule. Et le plus fort, c'est que Clinton Davisson et Lester Germer vont confirmer cette hypothèse deux ans plus tard en reproduisant la fameuse expérience des fentes d'Young avec un faisceau d'électrons. C'est le monde à l'envers : les photons se comportent comme des particules et les électrons comme des ondes !

Pour décrire le comportement de ces particules nouvellement découvertes, il fallait inventer une nouvelle physique. C'est la tâche à laquelle vont s'atteler quelques scientifiques particulièrement brillants au cours de la décennie qui va de 1925 à 1935 : Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born, Wolfgang Pauli... Cette nouvelle physique, à laquelle on a donné le nom de mécanique quantique, repose sur un certain nombre de principes que nous allons évoquer au fil des posts :

  • dualité onde-particule
  • principe de quantification
  • caractère perturbateur des mesures
  • principe d'indétermination d'Heisenberg
  • principe d'exclusion de Pauli
  • principe de superposition des états

La physique ne repose pas que sur des principes. Il lui faut également des lois qui permettent de prédire l'évolution dynamique d'un système. Or les lois de la mécanique classique ne s'appliquent manifestement pas à l'échelle des particules. Il fallait donc en trouver de nouvelles. C'est Erwin Schrödinger qui va ouvrir le bal. L'équation qu'il a proposée en 1926 est emblématique de la mécanique quantique. Son seul défaut... elle n'est pas compatible avec la relativité restreinte. Paul Dirac y remédiera deux ans plus tard et prédit à cette occasion l'existence de l'antimatière. Prédiction confirmée par Carl David Anderson en 1932 !

Equation de Schrödinger

Les équations de la mécanique traditionnelle décrivent le mouvement de corps solides. Elles ont démontré leur efficacité à l'échelle macroscopique. Le challenge consistait à les transformer pour les rendre applicables à des particules se comportant comme des ondes tout en conservant leur forme générale pour qu'on puisse passer de la formulation ondulatoire à la formulation traditionnelle par changement d'échelle. Pour ce faire, Schrödinger a procédé par analogie. Soit p la quantité de mouvement d'une particule. Le principe de dualité nous indique que la fréquence de l'onde associé à cette particule est reliée à p par l'équation :

L'équation générique décrivant une onde harmonique s'écrit :

k étant une quantité appelée nombre d'onde. Cette équation peut se réécrire de la manière suivante en introduisant la quantité hbarre = h/2pi, h étant la constante de Planck :

En dérivant cette équation par rapport au temps et à l'espace on voit que :

La généralisation de ces équations nous permet de définir l'énergie et la quantité de mouvement d'une onde sous la forme d'opérateurs mathématiques :

L'équation de Schrödinger s'obtient en partant de l'équation de la conservation de l'énergie d'une particule :

m étant la masse de la particule et V_r un potentiel scalaire quelconque dans lequel évolue la particule. Si l'on remplace E et p par les opérateurs définis ci-dessus il vient :

On trouve souvent cette équation écrite sous la forme :

H (avec un accent circonflexe) étant l'opérateur hamiltonien défini comme suit :

Fonction d'onde et densité de probabilité

L'équation de Schrödinger est une équation de diffusion. Elle agit sur une onde psi(r,t). Les physiciens se sont interrogés sur le sens qu'il fallait donner à cette grandeur psi(r,t) à laquelle ils ont donné le nom de fonction d'onde. Est-ce une onde au sens classique du terme comme peut l'être l'onde électromagnétique ? Mais dans ce cas, comment expliquer que cette nature ondulatoire disparaisse à l'échelle macroscopique ? C'est l'allemand Max Born qui a donné l'explication la plus pertinente. Il a suggéré dès 1926 que cette fonction psi(r,t) était la densité de probabilité de trouver la particule au point défini par le vecteur r à l'instant t :

P étant cette densité de probabilité. Ceci implique, bien sûr, que :

Dieu joue-t'il aux dés ?

L'interprétation de la fonction d'onde proposée par Born n'a pas soulevé l'enthousiasme de la communauté scientifique. Il faudra de nombreuses années pour qu'elle soit admise... à défaut d'une meilleure explication. Schrödinger et Einstein ne furent jamais tout à fait convaincus. Pour eux, le caractère probabiliste de la mécanique quantique est dû à notre ignorance de mécanismes plus fondamentaux qui expliqueraient le comportement des particules élémentaires. On prête à Einstein la formule « Dieu ne joue pas aux dés » pour défendre sa vision d'un déterminisme physique sous-jacent.

Pour expliciter la vision probabiliste introduite par la mécanique quantique, le plus simple est de donner la parole à ErwinSchrödinger lui-même : « On doit [...] abandonner l'idée de l'électron en tant que petit morceau de quelque chose se mouvant à l'intérieur du train d'onde, le long d'une mystérieuse trajectoire inconnaissable. [...] L'observation d'un électron [doit être considérée] comme un événement qui se produit à l'intérieur d'un train d'onde de Broglie quand un dispositif [de mesure] est interposé dans ce train. » Le train d'onde de Broglie auquel Schrödinger fait référence est la fonction d'onde sur laquelle agit son équation et qui exprime la nature ondulatoire de l'électron.

Pour les physiciens qui, derrière Niels Bohr, constituent l'école de Copenhague, les choses sont claires. Il n'y a pas de particule voyageant de conserve avec une onde. La détection d'une particule à un endroit donné est un événement à caractère purement probabiliste. Et c'est la probabilité d'occurrence de cet événement (donc la probabilité de détection de l'électron à cet endroit précis) qui est donnée par le carré de l'amplitude de la fonction d'onde. C'est un changement de paradigme radical pour les scientifiques. La physique classique se fixait pour objectif de déterminer précisément l'évolution d'un système à partir de ses conditions initiales. Pour la mécanique quantique, la seule connaissance que nous pouvons avoir de cette évolution est statistique.

Principe d'indétermination d'Heisenberg

Werner Heisenberg et Niels Bohr ont fait de cette interprétation probabiliste un des fondements de la nouvelle physique en train de se construire. A peu près à la même époque, Heisenberg formula un principe à qui on a donné son nom : le principe d'indétermination (appelé également principe d'incertitude d'Heisnberg). Celui-ci stipule qu'il est impossible de connaître simultanément de manière exacte la valeur de la position et de la vitesse d'une particule. Le degré de précision maximale est donné par l'inégalité de Heisenberg :

Ces deux grandeurs physiques sont dites conjuguées (on utilise aussi parfois le terme complémentaires). Le principe d'indétermination n'est pas dû, comme on le voit souvent écrit dans les articles de vulgarisation, à un problème de perturbation des mesures. C'est une propriété fondamentale de la physique. La position et la vitesse ne sont pas les seules grandeurs conjuguées. L'énergie et le temps le sont également. Ce qui veut dire qu'à l'échelle d'une durée très courte, il n'y a pas conservation de l'énergie ! Le principe d'indétermination d'Heisenberg est à l'origine de ce que l'on appelle l'effervescence quantique, une propriété fondamentale de la nature à l'échelle microscopique. A cette échelle, l'énergie fluctue sans cesse et les particules ont la bougeotte. Cette variation de l'énergie peut se manifester par la création d'une paire particule-antiparticule : ainsi à chaque instant, des particules virtuelles se créent et s'annihilent. Ce phénomène a été confirmé un nombre incalculable de fois dans les accélérateurs de particules.

 

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