Un peu de physique...

Le spin, une grandeur purement quantique

L'expérience de Stern et Gerlach

L'expérience de Stern et Gerlach joue un rôle particulier dans l'histoire de la physique quantique. En 1922, Niels Bohr multiplie les conférences et les séminaires pour rallier les scientifiques à sa vision de la matière. Sa théorie semi-classique d'un atome entouré d'électrons en orbite manque cependant de cohérence. Comment expliquer les niveaux d'énergie ainsi que les trois nombres quantiques qu'elle postule ? Pourquoi les électrons ne « tombent » ils pas sur le noyau. C'est à ce moment qu'intervient l'expérience montée par Otto Stern et Walther Gerlach. Elle met en évidence l'existence d'un moment cinétique intrinsèque des particules élémentaires (le spin), un moment cinétique dont les caractéristiques sont inexplicables dans le cadre de la physique classique. Elle montre surtout qu'on ne peut plus se contenter d'un simple replâtrage de la théorie pour décrire le comportement des électrons au sein des atomes. Il va falloir au contraire revoir de fond en comble les bases de la physique. En ce sens, elle ouvre un immense chantier qui occupera les physiciens les plus brillants de leur génération pendant les dix années qui vont suivre.

L'expérience de Stern et Gerlach consiste à faire passer un faisceau d'atomes d'argent dans un champ magnétique orienté verticalement. Contre toute attente, ce faisceau est séparé en deux demi-faisceaux d'égale intensité déviés de manière symétrique. Or le moment magnétique orbital des atomes d'argent est supposé être nul, le faisceau ne devrait subir aucune déviation. Cette expérience montre au contraire que les atomes d'argent possèdent un moment cinétique intrinsèque en plus de leur moment cinétique orbital. Mais ce n'est pas tout : quelle que soit la direction dans laquelle on cherche à mesurer ce moment (c'est-à-dire quelle que soit l'orientation du champ magnétique transversal appliqué au dispositif), on trouve le même résultat ! Le faisceau est toujours séparé en deux demi-faisceaux d'intensité égale déviés symétriquement. Comme si ce moment cinétique ne pouvait prendre que deux valeurs quelle que soit sa direction et ce quelle que soit sa direction.

Si Wolfgang Pauli avait eu l'intuition qu'il était nécessaire de compléter le modèle de Bohr par un quatrième nombre qui ne peut prendre que deux valeurs différentes, il revient cependant à Samuel Goudsmit et George Uhlenbeck de donner en 1925 la première interprétation « quantique » de cette étrange propriété de l'électron.

Allons plus loin...

Poussons plus loin les investigations et intéressons-nous à un seul des deux demi-faisceaux. Si on lui applique à nouveau le même protocole (un champ magnétique transversal), on pourrait s'attendre à ce que tous les atomes de ce demi-faisceau réagissent de la même façon. Or ce n'est pas le cas. Si le champ appliqué est perpendiculaire au champ qui a servi à séparer en deux parties le faisceau initial, le demi-faisceau auquel on s'intéresse est à nouveau séparé en deux demi-faisceaux d'intensité égale déviés symétriquement. Si le champ fait un angle theta avec le champ initial, même déviation symétrique en deux demi-faisceaux mais cette fois l'intensité des deux demi-faisceaux diffère : elle vaut cos2(theta) pour l'un et sin2(theta) pour l'autre.

Un tel comportement est incompréhensible dans un cadre classique, voire semi-classique. Le spin est une grandeur physique de nature purement quantique. Ces propriétés ne peuvent être décrites qu'au travers du formalisme quantique (voir le post consacré au formalisme quantique).

Quelle représentation du spin ?

Comme nous venons de le dire, le spin d'une particule ne peut prendre que deux valeurs lorsqu'on le mesure dans une direction donnée :

De prime abord, cette représentation vectorielle du spin dans l'espace euclidien R3 parait tout à fait adaptée. Problème : elle ne répond pas aux critères du formalisme quantique tels que nous les avons décrits. La représentation d'un objet quantique doit se faire dans une base orthogonale constituée à partir des vecteurs propres de l'opérateur correspondant à la propriété que l'on cherche étudier (voir le post sur le formalisme quantique). Les deux vecteurs + S et – S ci-dessus sont incontestablement les vecteurs propres de l'opérateur spin. Ce n'est pas le cas si on se place dans une représentation vectorielle dans R3. Celle-ci ne convient pas.

Reprenons le problème à la base... Comme nous l'avons vu, l'état d'un objet quantique (ici un atome d'argent) est décrit par une fonction d'onde |psi> qui est un vecteur dans un espace vectoriel complexe appelé espace de Hilbert. La dimension de cet espace est déterminée par le nombre d'états indépendants possibles de cet objet. Dans le cas du spin des atomes d'argent de l'expérience de Stern et Gerlach, cet espace est donc un espace complexe de dimension 2.

Appelons Hspin cet espace. Supposons que nous mesurions le spin dans la direction de l'axe Oz. Les deux états de spin possibles |+z> et |-z> forment donc une base de cet espace. Ce qui revient à dire que les deux vecteurs |+z> et |-z> sont deux vecteurs orthogonaux de l'espace Hspin. La correspondance entre la représentation du moment cinétique de l'atome d'argent dans R3 et son vecteur d'état dans Hspin est donnée par le tableau qui suit :

Mesure du spin dans une autre direction

Supposons maintenant que nous cherchions à mesurer le spin après avoir effectué une rotation du dispositif de mesure d'un angle theta autour de l'axe Oy. Dans l'espace euclidien R3, cette rotation peut être représentée par une matrice réelle de dimension 3x3 que nous appellerons Ry(theta). Quel sera le résultat de la mesure et comment cela se traduit-il dans l'espace des fonctions d'onde de spin Hspin ?

Pas de surprise côté mesure. Comme nous l'avons indiqué plus haut, la mesure du spin ne peut prendre que deux valeurs :

Si par exemple l'angle theta vaut pi/2 (mesure dans la direction de l'axe Ox), le résultat obtenu est parfaitement aléatoire, la probabilité de trouver l'une ou l'autre valeur est identique et égale à 50%. Le cas où l'angle theta est quelconque est plus intéressant. Comme nous l'avons indiqué, la probabilité de trouver l'une ou l'autre valeur en fonction de la mesure préalable dans la direction de l'axe Oz n'est plus égale à 50%. Elle dépend de la valeur de l'angle theta :

Qu'est-ce que ce résultat nous dit au sujet de la fonction d'onde de spin ? Les vecteurs |+Stheta> et |-Stheta> forment une base de l'espace Hspin au même titre que |+z> et |-z> . On peut donc décomposer la fonction d'onde d'une particule quelconque sur ces vecteurs propr

La probabilité de trouver l'une ou l'autre des valeurs est donnée par le carré du coefficient lambda correspondant. Dans le cas qui nous intéresse, on peut donc écrire :

(La seule connaissance de la probabilité ne permet pas de déterminer le signe des coefficients.) On peut exprimer ceci en disant qu'à la rotation Ry(theta) dans R3 correspond un opérateur Ay(theta) agissant sur Hspin défini comme suit :

L'opérateur Ay(theta) a toutes les caractéristiques d'une rotation... mais à y regarder de plus près cette correspondance est très particulière :

  • la rotation Ry(theta) agit sur l'espace euclidien R3, espace vectoriel à trois dimensions réelles,
  • l'opérateur Ay(theta) agit sur l'espace Hspin, qui est un espace vectoriel complexe à deux dimensions complexes,
  • mais surtout Ry(theta) opère une rotation d'angle theta alors que Ay(theta) opère une rotation d'angle theta/2.

Spineurs et algèbre de Lie

Pour ce qui concerne l'opérateur Ay(theta) on est en terrain connu (voir le post consacré aux espaces vectoriels et aux groupes de Lie ainsi que celui consacré aux spineurs). C'est une matrice 2x2 complexe. Elle fait partie d'un groupe appelé SU(2). Le groupe SU(2) est le groupe spécial unitaire des matrices 2x2 à coefficients complexes de déterminant 1 :

ce qui revient à écrire :

SU(2) est un groupe de Lie. Il joue un rôle très important en mécanique quantique car il est associé aux symétries sphériques. A chaque rotation d'un angle theta autour d'un vecteur unitaire u on peut en effet faire correspondre une matrice de SU(2) :

Mais que peut-on dire de l'espace de Hilbert Hspin sur lequel agissent les matrices de SU(2) ? Là, c'est moins évident, il va falloir s'accrocher... L'espace Hspin est un espace spinoriel. La théorie des spineurs a été introduite par le mathématicien français Elie Cartan au début du XXème siècle. Les spineurs ont des propriétés assez déroutantes. (Nous aborderons les rudiments de la théorie des spineurs dans un post séparé.) Un spineur peut être associé à un « plan orienté ». On peut définir un plan orienté à partir de deux vecteurs unitaires orthogonaux :

et du produit vectoriel de ces deux vecteurs. (L'ordre dans lequel on prend ces deux vecteurs est donc déterminant.) Il est facile de voir que cette définition est tout à fait adaptée au contexte du moment cinétique. La propriété la plus emblématique d'un spineur est qu'une rotation de 360 degrés le transforme en son inverse ! Il faut donc une rotation de 720 degrés pour revenir au spineur d'origine.

Matrices de Pauli

Revenons au groupe SU(2). L'une des propriétés de SU(2) est la possibilité de générer les matrices de ce groupe à partir de 3 matrices élémentaires. Prenons par exemple le cas de l'opérateur Ay(theta). Un simple développement limité suffit à se convaincre qu'on peut l'écrire sous la forme suivante :

En fait, on peut montrer que toute matrice de SU(2) peut être générée à partir de matrices unitaires sigma :

avec :

Les matrices sigmax, sigmay et sigmaz sont appelées matrices de Pauli, du nom du physicien Wolfgang Pauli qui est le premier à avoir établi une théorie complète du spin dans un cadre non-relativiste. Or, il est facile de voir que les vecteurs propres de ces matrices sigma sont précisément les vecteurs |+x>, |-x>, |+y>, |-y> et |+z> et |-z> correspondant aux opérateurs de mesure de spin dans les directions Ox, Oy et Oz !

Les matrices de Pauli constituent donc une base qui permet de construire simplement une observable « spin » dans n'importe quelle direction de l'espace.

Matrices de Pauli et symétrie de rotation

Dans la présentation qui précède, les matrices de Pauli semblent « sortir du chapeau ». Une présentation plus rigoureuse aurait permis de faire la liaison entre ces matrices et l'application d'un principe très général en physique, établi par la mathématicienne Emmy Noether au début du XXème siècle. Emmy Noether a en effet montré qu'à toute symétrie était associée la conservation d'une grandeur physique (théorème de Noether). C'est ainsi qu'à la symétrie de translation (les lois de la physique sont conservées dans toute translation du référentiel dans l'espace) est associée la conservation de la quantité de mouvement. De la même façon, à la symétrie de rotation dans l'espace (les lois de la physique sont conservées dans toute rotation du référentiel dans l'espace) est associée la conservation du moment cinétique. Or, comme nous l'avons dit plus haut, une rotation dans l'espace peut être représentée par une matrice du groupe SU(2) (que l'on appelle aussi d'ailleurs groupe de symétrie). Rien d'étonnant donc à ce que les opérateurs de mesure du spin puissent être directement déduits des matrices de Pauli puisque celle-ci forment une base à partir de laquelle on peut générer les matrices de ce groupe.

Remarque : Les matrices de Pauli ne commutent pas.

Ceci signifie qu'il n'est pas possible de connaître simultanément la valeur de spin dans deux directions différentes.

 

Index