Un peu de physique...

Appication de la symétrie SU(2) au spin de l'électron

Physique quantique, symétries et groupes de Lie

Nous allons revenir sur le formalisme de la physique quantique et analyser de manière plus détaillée les symétries qui s’appliquent au monde quantique. Nous allons voir en particulier comment on peut traduire en termes d’invariant ces symétries au travers des générateurs de leur algèbre de Lie.

Comme nous l’avons rappelé, chaque système physique quantique est associé un espace de Hilbert . Un état du système est représenté par un vecteur d’état de cet espace dont la dynamique est déterminée par l’équation de Schrödinger :

étant l'opérateur hamiltonien du système.

Les transformations du système sont représentées par des opérateurs dans l’espace des états et les grandeurs physiques par des observables. Les observables sont des opérateurs linéaires hermitiens. Les valeurs propres de ces observables sont les seules valeurs que peuvent donner une mesure physique réalisée sur le système.

Le système est dit symétrique s’il est invariant par rapport à une classe de transformations (qui sont de ce fait appelées des symétries du système). Si le système est invariant, il en va de même pour ses vecteurs d’état. Les classes de transformation qui laissent invariant le système forment un groupe. L’espace de Hilbert H porte donc une représentation de ce groupe. Ce n’est cependant pas une représentation linéaire. La probabilité d’observer l’état final à partir de l’état initial est en effet égale à . On ne peut pas distinguer deux états de même norme mais de phase différente. On parle dans ce cas de représentation projective. Moyennant quelques précautions mathématiques, on peut néanmoins utiliser la plupart des résultats cités dans le chapitre sur les groupes de Lie.

Symétrie

Revenons à l’analyse des symétries. Soit une symétrie S et une observable Â. Par définition de la symétrie on peut écrire :

On montre alors que S peut être représenté par un opérateur unitaire U(g)>, g faisant partie d’un groupe G :

Comme on le voit, on se retrouve en terrain connu…

Le système est dit invariant si son hamiltonien est laissé inchangé par l’application de l’opérateur unitaire U(g) :

équation dans laquelle on reconnaît le crochet de Lie (ou commutateur). Si le groupe G est continu et différentiable, si on peut exprimer U en fonction d’un paramètre réel t et si U(0) = Id alors on peut écrire :

En fait, les physiciens ont coutume d’écrire cette équation sous une autre forme :

ou, plus simplement, au premier ordre :

Dans cette équation, l’opérateur est un opérateur hermitien. C’est donc une observable. C’est aussi, comme on l’a vu dans le chapitre sur les algèbres de Lie, un générateur infinitésimal de la transformation associée à la symétrie.

On peut déduire également de ce qui précède que commute avec .

Théorème d’Erhenfest et conservation des grandeurs physiques

La valeur moyenne du résultat des mesures obtenues avec l’opérateur s'écrit :

Nous allons nous intéresser à son évolution dans le temps :

Or :

La seconde équation est obtenue par conjugaison de la première. Comme par ailleurs :

il vient :

On obtient donc le résultat tout à fait fondamental suivant : non seulement agit comme un générateur infinitésimal de la symétrie mais, en tant qu’observable, est associé à une quantité physique conservée dans le temps. C’est la transcription en physique quantique du théorème de Noether.

On entrevoit ici le caractère particulièrement puissant du formalisme de l’algèbre de Lie en physique quantique. Il permet de d’associer aux opérateurs de symétrie une observable correspondant à une grandeur physique conservée au cours des évolutions du système !

Application à la symétrie SU(2) et théorie générale du spin

La symétrie SU(2) est une propriété très générale en physique : elle correspond à la symétrie de rotation dans l’espace. Les équations d’un système ne changent pas si l’on opère une simple rotation du référentiel de coordonnées. En physique classique, cette symétrie se traduit par la conservation du moment cinétique.

Nous allons nous intéresser aux implications de la symétrie SU(2) sur les propriétés des systèmes quantiques. Pour cela, nous allons rechercher une représentation de SU(2) (au sens défini dans les chapitres d’introduction sur les groupes) qui nous permettent de manipuler les vecteurs d’état d’un système quantique et, si possible, de les décomposer sur une base de vecteurs propres. Comme nous l’avons dit, les vecteurs d’état d’un système appartiennent à un espace de Hilbert qui est un espace vectoriel sur . Or SU(2) est une espace vectoriel sur . Nous ne pouvons donc pas utiliser directement SU(2). Fort heureusement, nous pouvons passer par l’espace complexe . C’est le groupe spécial linéaire des matrices 2 x 2 inversibles à valeurs dans et de déterminant égal à 1. Son algèbre de Lie est le groupe constituée par les matrices 2x2 complexes de trace nulle. Les mathématiciens nous assurent qu’il y a bijection entre les représentations irréductibles de dimension finie de et celles de .

Soit Vn un espace vectoriel de dimension finie n sur . Une représentation linéaire de sur Vn peut, par définition, être décomposée sur une base de 3 matrices nxn qui vérifient les mêmes « équations de structure » que et, donc, que :

Nous n’allons pas utiliser directement les matrices mais plutôt les matrices suivantes :

 

En se basant sur les constantes de structure des matrices de Pauli, il est facile de voir que e,f et h vérifient les équations qui suivent :

 

Puisque l’on s’intéresse aux représentations linéaires de il n’est pas illégitime de faire l’hypothèse que l’opérateur h possède au moins une valeur propre que nous appellerons lambda. Cette valeur propre est associée à un sous-espace vectoriel de Vn de dimension d. Nous appellerons :

      avec k = 1,.. d      les d vecteurs propres associées à lambda.

Ces vecteurs propres présentent des propriétés tout à fait remarquables. Il est en effet facile de voir en utilisant les relations de commutation ci-dessus que :

Autrement dit :

  • le vecteur est un vecteur propre de h avec la valeur propre lambda+1,
  • le vecteur est un vecteur propre de h avec la valeur propre lambda-1.

Il vient :

Vn étant de dimension finie, il existe une valeur P et une valeur Q telles que :

Des considérations sur la structure de conduisent à montrer que :

On peut en déduire simplement que :

Le nombre j est donc nécessairement un entier ou un demi-entier. Les valeurs propres de h peuvent être représentées de la manière suivante :

     avec :   .

ce qui conduit à l’existence de 2j+1 valeurs propres.

Les valeurs des coefficients s'écrivent alors comme suit :

Remarque : On aurait pu, bien évidemment, choisir une autre décomposition par simple permutation des indices . On obtiendrait un résultat identique, avec le même nombre de valeurs propres et la même formule pour .

Ce résultat est, à lui seul, tout à fait remarquable. Il l’est encore plus si l’on s’intéresse à l’observable associée à l’opérateur h. Elle conduit, comme on l’a dit, à un invariant du système. Quel est cet invariant ? Il s’agit tout simplement du moment cinétique. On retrouve un résultat connu en mécanique classique puisque c’est l’invariant associé à la symétrie SO(3) par le théorème de Noether.

En physique quantique, le moment cinétique d’une particule selon un axe peut donc être décomposé sur les vecteurs propres associés à la matrice de Pauli correspondant à cet axe :

 

Il ne peut prendre que 2j+1 valeurs, j étant un nombre entier ou demi-entier. Cette propriété, qui découle très directement de l’application de la théorie de groupes de Lie à la physique quantique, est à l’origine d’une caractéristique des particules qui n’a pas son équivalent en physique classique : le spin.

Bosons, fermions et structure des atomes

Comme nous l’avons vu, le spin d’une particule ne peut être qu’entier ou demi-entier. C’est un résultat fondamental de la physique quantique ! Il est à la base de la partition des particules élémentaires en deux familles : les bosons (spin entier ou nul) et les fermions (spin demi-entier).

L’analyse des symétries du système permet d’ailleurs plus loin dans la caractérisation de ces deux familles. On s’intéresse cette fois au groupe des permutations. Il est une autre propriété des particules quantiques qui est le principe d’indiscernabilité et qui stipule qu’il est impossible de différencier deux particules de même nature. Soient donc deux particules de même nature, appelées et l’opérateur qui les permute. Si les particules sont indiscernables, le hamiltonien du système commute avec . Les vecteurs propres de sont donc également des vecteurs propres de .

Une double permutation ramène à la situation initiale :

On en déduit donc que les valeurs propres de sont .

Ceci signifie que la fonction d’onde de la paire de particules p_1,p_2 est soit symétrique, soit antisymétrique. Une analyse plus poussée montre que la solution symétrique correspond à une particule ayant un spin entier et la solution antisymétrique a une particule de spin demi-entier. Ceci induit une différence de comportement fondamentale entre bosons et fermions. Rien en effet n’empêche les bosons d’occuper le même état (on dit alors qu’ils forment un condensat). Cette configuration est par contre strictement interdite pour les fermions. Pour que deux fermions se retrouvent dans le même état à la même position, il faudrait en effet que :

ce qui entraîne automatiquement que :

C’est le fondement théorique du principe d’exclusion de Pauli. C’est une propriété tout à fait essentielle pour nous : c’est cette propriété qui fait que la matière est matière, qu’elle a une certaine étendue spatiale, alors que le rayonnement, par exemple, peut concentrer un nombre indéfini de photons en un seul point !

La quantification du spin explique également la structure des atomes et, plus précisément l’organisation si particulière du nuage électronique. Comme on l’a vu dans le chapitre consacré à l’atome d’hydrogène, les électrons ne peuvent occuper qu’une série d’états quantiques correspondant à des niveaux d’énergie croissant caractérisés par un nombre appelé n. Pour chacun de ses niveaux (on parle de couches), il existe plusieurs sous-niveaux possibles (sous-couches), caractérisés cette fois par le nombre l, avec . Un troisième niveau d’analyse conduit à une novelle quantification, avec le nombre . On reconnaît dans ce dernier niveau d’analyse les résultats exprimés dans le paragraphe précédent.

On peut d’ailleurs aller plus loin en recherchant cette fois une représentation de SU(2) directement sur l’espace . Il est possible de trouver une telle représentation sur l’ensemble des polynômes harmoniques à coefficients complexes de degré l restreints à une sphère :

On voit donc que la quantification qui résulte de la symétrie SU(2) explique complètement la structuration du nuage électronique autour des atomes.

 

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