La déflexion des rayons lumineux à proximité d'un corps massif est l'une des prédictions les plus spectaculaires de la relativité générale. Sa vérification en 1919 par Sir Arthur Eddington à l'occasion d'une éclipse du Soleil a d'ailleurs grandement contribué à asseoir la crédibilité de cette théorie auprès des scientifiques du monde entier. Cette déviation est imperceptible sans faire des mesures précises et n'a aucun impact dans la vie courante. Il est cependant un domaine dans lequel la déflexion des rayons peut jouer un rôle important, c'est celui de l'astrophysique.

En 1978, Jean-Pierre Luminet, un scientifique travaillant au laboratoire d'astrophysique de Marseille, a calculé la déflexion induite par le passage d'un rayon lumineux à proximité d'un trou noir. Il a ainsi pu déterminer « l'image » qu'un astronaute pourrait voir en approchant d'un trou noir. Ce même type de calcul a été utilisé par Kip Thorne (un astrophysicien américain qui a reçu le prix Nobel en 2017) pour réaliser les effets spéciaux du film Interstellar. Naturellement, aucun télescope n'a jamais pu capter ce genre d'image... Plus sérieusement, la modélisation du comportement des rayons lumineux autour d'une forte concentration de masse permet de comprendre le fonctionnement des lentilles gravitationnelles. La présence d'une lentille gravitationnelle entre une galaxie et un observateur permet de focaliser et d'amplifier les rayons lumineux en provenance de cette galaxie. Le phénomène de lentille gravitationnelle a été prédit par Albert Einstein et Fritz Zwicky au cours des années 1930. La première lentille gravitationnelle a été identifiée en 1979. On en a observé de nombreuses autres depuis.

Trajectoire d'un photon dans la métrique de Schwarzschild

Rappelons l'équation de la trajectoire d'un photon dans la métrique de Schwarzschild (voir le post à ce sujet) :

Pour pousser plus loin l'analyse, on fait un changement de variable qui simplifie la résolution des équations. Soit u = 1/r. L'équation de la trajectoire peut s'écrire :

ou encore :

... ce qui permet de calculer phi en fonction de u :

Jean-Pierre Luminet montre que cette intégrale peut se mettre sous la forme d'une intégrale elliptique (tous les calculs qui suivent sont issus de son article) :

avec :

A étant le périastre de la trajectoire et F(xi, k) l'intégrale elliptique de première espèce (voir le post sur les conditions de validité de ces équations en fonction de A). On peut voir qu'il suffit que A soit supérieur à 3r_s/2. Cette condition n'est pas très restrictive puisque c'est aussi la condition d'existence d'une orbite stable pour un photon autour d'un trou noir. On démontre également que k et xi sont des fonctions monotones de A. Jean-Pierre Luminet montre en outre que dès lors que A est inférieur à r la trajectoire angulaire Phi et le paramètre A sont reliés par une équation qui fait intervenir la fonction sinus elliptique de Jacobi :

K(k) étant l'intégrale elliptique complète de première espèce (intégrale de première espèce pour xi = pi/2). La fonction sinus elliptique de Jacobi est définie comme suit :

On remarquera que la condition A < r est remplie automatiquement puisque A est, par définition, le périastre de la trajectoire.

Image lointaine d'un disque d'accrétion autour d'un trou noir de Schwarzschild

Revenons au problème qui nous occupe : l'image d'un disque d'accrétion en rotation autour d'un trou noir.

Considérons tout d'abord une particule appartenant au disque d'accrétion. Nous allons chercher à caractériser la trajectoire d'un photon émis par cette particule dans la direction d'un observateur lointain. Il nous faut pour cela calculer le paramètre d'impact b d'un photon émis par cette particule en fonction du rayon r de son orbite autour du trou noir et de sa position angulaire alpha. Dans ce qui suit nous ferons les hypothèses suivantes :

• Le disque d'accrétion se trouve dans le plan XOY. L'axe OZ est l'axe polaire du système constitué par le trou noir et le disque d'accrétion.
• Les coordonnées de l'observateur lointain O' sont (r_infini, theta₀, 0).
• Les coordonnées de la particule émettrice M sont (r, pi/2, phi).
• b est le paramètre d'impact du photon qui parvient à l'observateur lointain.
  

On procède tout d'abord à un changement de référentiel en faisant pivoter le repère OXYZ d'un angle pi/2-theta₀ autour de l'axe OX de façon à pointer OY' en direction de l'observateur lointain. La trajectoire du photon émis par la particule M et qui parvient à l'observateur lointain appartient au plan OO'X'=OO'M qui fait un angle pi/2 - alpha avec le plan OXY'.

Soit soit gamma l'angle MOY'. Un peu de trigonométrie en coordonnées sphériques conduit à écrire les relations suivantes :

Il y a donc une relation directe entre alpha et le couple (phi, theta₀) tout comme il y a une relation directe entre gamma et le couple de valeurs (alpha, theta₀). Analysons l'évolution de alpha et gamma avec phi.

Lorsque phi est nul (sur la figure, cela correspond à l'intersection de la sphère avec l'axe OY) l'angle alpha est également nul. Le plan équatorial qui comprend la trajectoire est le plan OY'Z'. Comme il apparaît clairement sur la figure, l'angle gamma est égal à pi/2 – theta₀.

Lorsque phi croît pour atteindre pi/2, le plan équatorial pivote autour de l'axe OY'' et alpha tend également vers pi/2. Lorsque phi = pi/2, le point M est à l'intersection de OX avec la sphère et l'angle gamma est égal à l'angle XOY' qui vaut pi/2.

Au-delà de pi/2, le plan équatorial continue de basculer autour de l'axe OY'' et alpha vaut pi lorsque = pi. Dans ce cas, il est facile de voir sur la figure que gamma = pi/2 + theta₀.

Comment calculer les points d'impact ?

Ce qui précède nous conduit à la méthode de calcul exposée ci-dessous.

Première étape : On part d'un couple (r, theta₀) déterminé. L'équation suivante :

permet de définir la fonction xi = xi(u,A) = xi(r,A) . Or :

En tenant compte de la formule ci-dessus et de la relation k = k(A) on peut écrire :

Deuxième étape : Comme par ailleurs on peut calculer gamma puisque (voir plus haut) :

il est possible de déterminer la valeur de A = A(r, theta₀, phi) par interpolation. On en déduit aisément le paramètre d'impact :

Ceci permet de construire la courbe b = b(alpha) pour un rayon r donné.

Exemples

Les exemples qui suivent ont été obtenus au moyen d'un programme simple écrit en langage C++. La figure représente l'image perçue par un observateur lointain situé dans un plan qui fait 10 degrés avec le plan d'accrétion. Seules 3 isoradiales ont été calculées. Elles correspondent à trois valeurs de r : 3r_s, 5r_s et 10r_s.

Il apparaît très clairement sur cette figure que l'image de la partie du disque d'accrétion qui se trouve devant le trou noir est peu déformée alors que l'image de la partie arrière, qui devrait être cachée, est clairement visible au-dessus du trou noir ! Cette forme d'illusion d'optique dépend bien sûr de l'angle sous lequel l'observateur voit le plan d'accrétion. La figure qui suit représente l'isoradiale 3r_s vue sous trois angles (10, 20 et 30 degrés).

La série de figures qui suivent nous montre la trajectoire suivie par un photon émis depuis l'isoradiale 3r_s et en se plaçant à différents endroits de cette isoradiale. On se place à chaque fois dans le plan de la trajectoire (le plan OO'M dans notre repère de coordonnées). Dans ces figures, le cercle noir est le cercle de rayon r_s et le cercle en pointillés vert le cercle de rayon 3/2r_s. L'ellipse bleue représente la projection de l'isoradiale 3r_s sur le plan OO'M.

Décalage Doppler du photon capté par l'observateur lointain

Dans le référentiel au repos de la particule M l'énergie d'un photon est fonction de la quadri-vitesse de la particule et du quadri-moment de ce photon. On considère que l'observateur est suffisamment éloigné pour que le calcul à l'infini soit valable... mais suffisamment proche pour que le redshift cosmologique soit négligeable.

(Les deux seules composantes non nulles de la quadri-vitesse sont u^t et u^phi.) On peut réécrire cette équation comme suit :

Dans le cas d'une orbite circulaire, le terme u^phi/u^t vaut :

La métrique de Schwarzschild ne dépendant ni de t ni de phi les composantes p_t et p_phi du quadri-moment du photon restent invariantes tout au long de sa géodésique (voir le post sur la mécanique relativiste). L'énergie observée par l'observateur fixe est donc égale à p_t. Le décalage de fréquence entre l'émission et la réception peut s'exprimer comme suit :

Revenons à la définition du paramètre d'impact : L = E.b, L étant le moment du photon et E son énergie. La composante p_phi du quadri-moment est la projection de ce moment sur l'axe OZ. On peut donc écrire :

Ceci conduit à la relation suivante :

or :

Il vient :

Le facteur 1 + z intervient à la puissance 4 dans le calcul de l'intensité des rayons émis par M et perçu par l'observateur lointain :

• l'énergie individuelle des photons est affectée du facteur 1 + z,
• la fréquence d'émission des photons est affectée du même facteur en raison du décalage des horloges,
• le rapport entre les angles solides tels qu'ils sont mesurés dans le référentiel de la particule et ceux qui sont perçus par l'observateur lointain est égal à (1+z)². C'est une conséquence de la transformation relativiste des distances.

On peut se convaincre rapidement du 3ème point en faisant un raisonnement basé sur la relativité restreinte. Considérons un cône de lumière émis par une source se déplaçant avec une vitesse v par rapport à un observateur fixe. Dans le référentiel de la source, le décalage maximum d'un photon par rapport à l'axe reliant la source et l'observateur est tel que tan(alpha) = dx/x. Si dx est petit devant x, alpha est donc très proche de dx/x.

Dans le référentiel de l'observateur, le décalage n'est pas affecté par la transformation des longueurs. Ce n'est pas le cas pour la distance x :

d'où il vient :

Comme (voir le post sur l'effet Doppler relativiste) :

On aboutit bien au résultat annoncé. Comme le montre les simulations de Jean-Pierre Luminet, il y a un très fort décalage entre la partie gauche et la partie droite de l'image perçue par l'observateur. L'une est très brillante, l'autre fortement décalée vers le rouge et peu lumineuse.