Le décalage des horloges dans un champ gravitationnel est une prédiction de la relativité générale d'Einstein. Il est directement lié à un autre phénomène, le décalage gravitationnel vers le rouge. Nous allons tout d'abord démontrer ce phénomène dans un cas très simple : le rayonnement d'un atome que l'on fait passer d'une altitude à une autre. Puis nous examinerons le cas d'un satellite en orbite au tour de la Terre. Dans ces deux cas, nous nous contenterons d'une approche semi-classique. Ensuite nous nous intéresserons à des cas extrêmes : une étoile à neutrons ou un trou noir. Il nous faudra pour cela en passer par le formalisme de la relativité générale.

Décalage des horloges entre deux points situés à une altitude différente

Pour déterminer ce décalage, nous allons procéder par étape. Soit un atome possédant un état d'énergie fondamentale E₁ et un état excité E₂. Lorsqu'il se trouve dans cet état excité, il revient dans son état fondamental au bout d'un certain temps en émettant un photon dont l'énergie est :

L'atome dans le niveau E₁ possède une masse m₁ = E₁/c². Dans son état excité, sa masse est m₂ = E₂/c².

Etape 1 : supposons que cet atome se trouve dans l'état excité E₂ à l'altitude z. Descendons délicatement cet atome à l'altitude zéro. Au cours de cet opération, l'atome perd une énergie potentielle égale à :

Etape 2 : une fois à l'altitude zéro, l'atome finit par revenir à son état fondamental E₁. En émettant le photon E_nu. On s'arrange pour renvoyer ce photon vers le haut et on le capte grâce à un capteur placé à l'altitude z. Soit Enu' l'énergie absorbée par le capteur. Nous allons montrer qu'elle n'est pas égale à E_nu en appliquant la loi de conservation de 'énergie.

Etape 3 : l'atome est remonté à l'altitude z, ce qui nous coûte une énergie :

Nous pouvons maintenant faire le bilan énergétique :

soit :

Il vient :

Le photon « rougit » en montant à l'altitude z. Et une horloge située au sol retarde par rapport à une horloge à l'altitude z !

L'expérience a été réalisée en 1959 par Robert Pound et Glenn Rebka sur une hauteur de 20m à l'Université de Harvard et a confirmé ce résultat.

Et voilà ! Nous avons démontré le principe du décalage gravitationnel en nous servant simplement de l'équation d'Einstein et de la loi de conservation de l'énergie. Simple comme bonjour...

GPS et décalage gravitationnel

Nous allons maintenant appliquer ce principe à un satellite. Il va nous falloir rentrer un peu plus dans le détail. Tout d'abord, il n'est plus possible de se contenter de la formule simplifiée de l'énergie potentielle comme nous l'avons fait ci-dessus. Il nous faut prendre en compte le potentiel gravitationnel :

M étant la masse de la Terre et G la constante de gravitation. Supposons que ce satellite soit sur une orbite circulaire de rayon R'. Il vient :

Mais ce satellite n'est pas à l'arrêt. Il circule sur son orbite à la vitesse v :

ce qui induit un décalage dû au facteur de Lorentz :

Mais cette fois, le décalage est dans l'autre sens (rappelez-vous le paradoxe des jumeaux) :

Appliquons cette formule aux satellites GPS. Ils tournent sur une orbite à 26500 km. Le facteur de décalage est donc égal à 4,4 10^-10, ce qui correspond à 37 microsecondes. Sachant qu'une onde électromagnétique parcourt 11 km en 37 microsecondes, on comprend pourquoi il est important d'intégrer une correction relativiste dans le fonctionnement d'un GPS !

Remarque : le décalage n'est pas toujours dans le même sens. En particulier, si le rayon R' est inférieur à 3/2 R c'est le décalage lié à la relativité restreinte qui l'emporte. C'est le cas par exemple dans la station spatiale. Autre remarque : la fonction ne s'annule pas lorsque R' = R puisqu'on tient compte de la vitesse de satellisation. Disons que ça n'a pas de sens si R' = R !

Décalage des horloges avec une métrique statique

Si nous voulons analyser le décalage des horloges à proximité d'un astre « hors norme » comme une étoile à neutrons ou un trou noir, nous ne pouvons plus nous contenter d'une approche semi-classique. Il nous faut prendre en compte la métrique autour de cet astre. Dans le cadre de ce post, nous allons rester le plus général possible et imposer une seule contrainte à la métrique. Nous allons exiger d'elle qu'elle sout statique, c'est-à-dire telle que ses composantes g_mu,nu ne dépendent pas de la coordonnée temporelle. Nous allons également supposer que :

ce qui, comme nous le verrons par la suite, permet de simplifier les calculs. Ces deux hypothèses peuvent sembler très restrictives mais elles sont vérifiées par la métrique de Schwarzschild : elles permettent donc de rendre compte de l'espace-temps à proximité de la plupart des astres et des planètes.

Soit un point A défini par ses coordonnées d'espace (x¹, x², x³) = (0, 0, 0) et où est situé un premier observateur (Alice). La ligne d'univers d'Alice est décrite par le quadruplet (x⁰, 0, 0, 0). Le temps propre d'Alice sur sa ligne d'univers s'exprime comme suit :

Comme on peut le voir, il existe une relation simple qui relie le temps propre d'Alice à la coordonnée temporelle x⁰ qui repère sa position dans l'espace-temps.

De la même façon, on définit un point B, où se trouve une deuxième observateur (Bernard) dont les coordonnées d'espace sont (y¹, y², ^yx³) = (dx, 0, 0). La ligne d'univers de Bob est décrite par le quadruplet (y⁰, dx, 0, 0) et la formule qui relie son temps propre à la coordonnée temporelle y⁰ s'écrit comme suit :

Comme nous l'avons vu dans le post consacré à la relativité restreinte, pour se synchroniser deux observateurs distants doivent échanger des photons. Alice va donc envoyer des photons à Bernard. Ceux-ci vont suivre une géodésique entre le point d'espace A et le point d'espace B. (Il est possible de parler de point d'espace puisque la métrique est statique.) Tout au long de cette géodésique, on vérifie que :

Ou encore :

C'est ici qu'intervient l'hypothèse de nullité de g₁₀ et g₀₁. Elle permet de décorréler la coordonnée temporelle x⁰ et la coordonnée spatiale x¹. Ceci permettra par la suite de comparer plus facilement les intervalles de temps mesurés par Alice et Bernard.

Supposons qu'Alice envoie un premier photon à Bernard à l'instant repéré par la coordonnée temporelle x⁰_A1. Bernard le recevra à l'instant repéré par x⁰_B1 défini par :

Nota : pour éviter d'alourdir le texte, on a utilisé le terme « instant » en lieu et place du terme « coordonnée temporelle ». Il faut bien avoir en tête que les coordonnées x⁰ et y⁰ ne correspondent pas au temps mesuré par Alice et Bob. Pour connaître ce temps, il faut transformer ces coordonnées temporelles en leur « temps propre » respectif, comme on l'a vu un peu plus haut.

Si Alice émet un deuxième photon à l'instant repéré par x⁰_A2, il mettra le même temps pour parvenir à Bernard puisque que la métrique est statique :

avec :

On peut donc écrire :

Plaçons-nous du point de vue d'Alice. Pour elle, l'intervalle de temps propre qui sépare l'émission du premier photon de l'émission du second photon est delta_tau_A :

Pour Bernard, l'intervalle de temps propre qui sépare la réception du premier photon de la réception du second photon est delta_tau_B :

En combinant les équations qui précèdent on voit que :

Le temps propre d'Alice s'écoule donc différemment de celui perçu par Bernard.

Alice et Bernard peuvent comparer la vitesse d'écoulement de leur temps respectif en utilisant le protocole de synchronisation décrit au premier chapitre sur la relativité restreinte. Si Bernard renvoie les photons à Alice, ceux-ci mettront le même intervalle temporel delta_x⁰_A qu'à l'aller puisque la métrique est statique. Ceci permettra à Alice de déterminer à quel moment Bernard a reçu les photons et, après avoir communiqué à Bernard sa propre mesure de l'intervalle de temps écoulé, de constater le décalage entre leurs mesures respectives.

Application à une étoile à neutrons

Soit une étoile à neutrons de deux masses solaires. Son rayon de Schwarzschild est de 6 km et on peut estimer son rayon propre au double de cette valeur. Le coefficient g₀₀ de la métrique de Schwarzschild s'écrit :

Cette fois le décalage est beaucoup plus spectaculaire que dans les cas examinés précédemment. Pour un observateur (particulièrement robuste) qui se trouverait à la surface de cette étoile à neutrons, le rapport vaut 0,7 par rapport au temps d'un observateur lointain. Il est encore de 0,9 pour un observateur situé à 30 km du centre de l'étoile.

Dans le cas d'un trou noir ce rapport peut être encore plus petit. En fait il tend vers zéro lorsque r tend vers le rayon de Schwarzschild ! Vu par un observateur lointain, le temps s'arrête sur l'horizon des événements !