Nous avons vu dans un post précédent que la vitesse de la lumière est la même quelque soit le référentiel dans lequel elle est mesurée. Cette invariance remet profondément en cause les lois de la mécanique classique. Elle nous a amené à nous interroger sur la notion de simultanéité. Cette réflexion nous a permis d'introduire la transformation de Lorentz et la notion d'espace-temps.

L'espace-temps est une notion fondamentale en relativité. Les règles qui s'appliquent dans l'espace-temps ne sont pas les mêmes que celles auxquelles notre apprentissage de la géométrie nous a habitués. Dans l'espace-temps, l'espace et le temps sont intimement liés : le temps peut devenir espace et l'espace peut engendrer du temps. Les distances ne sont pas invariantes en cas de changement de référentiel galiléen. C'est la quantité ds² qui est le nouvel invariant de cette géométrie aux propriétés particulières :

On lui donne différents noms. Le plus souvent on parle de norme de Minkowski, du nom du mathématicien d'origine russe qui a introduit la notion d'espace-temps. On peut aussi la qualifier de pseudo-distance.

Dans ce post, nous allons voir les implications de ces nouvelles règles sur les lois de la mécanique. Nous aurons recours à un certain nombre d'équations mais nous en resterons à un niveau très basique. Nul besoin d'avoir fait une licence en maths pour poursuivre...

Quadrivecteur vitesse

En mécanique classique, on représente la vitesse par un vecteur à 3 dimensions :

Dans l'espace-temps de la relativité générale, il nous faut prendre en compte une quatrième dimension, la dimension temporelle. La première formulation qui vient à l'esprit est la suivante :

Mauvaise pioche. D'abord la première composante serait toujours égale à 1, ensuite t n'est pas indépendant des autres coordonnées. Dans le post précédent, nous avons vu qu'il était plus judicieux d'utiliser un paramètre que nous avons appelé temps propre. Ceci nous amène à définir le quadrivecteur u comme suit :

u peut aussi s'écrire de la manière suivante :

puisque :

Remarquons au passage que :

Cela fait de u un candidat idéal pour construire une mécanique relativiste : sa norme au sens de l'espace-temps de Minkowski est invariante et, en cas de changement de référentiel galiléen, il suffit de lui appliquer la transformation de Lorentz pour trouver le nouveau quadrivecteur vitesse u'.

Impulsion

En mécanique, on fait un grand usage d'une quantité appelée impulsion, ou quantité de mouvement :

Nous allons donc construire un quadrivecteur impulsion q sur le même principe :

On peut aussi écrire q de la manière suivante :

p_r étant l'impulsion relativiste du corps considéré. Mais quelle est la signification physique de la première composante de ce quadrivecteur ?

Lorsque la vitesse v est petite devant c on peut écrire :

La première composante de q est donc assimilable à une énergie divisée par une vitesse :

La norme de q dans l'espace-temps de Minkowski est invariante tout comme l'est celle de u :

Ceci peut aussi s'écrire de la manière suivante :

Equivalence énergie-matière

Cette équation est la forme générale de l'équation la plus connue de la physique contemporaine. Dans le cas d'un corps au repos, on peut en effet écrire :

Cette équation n'est pas anodine si on la replace dans le contexte de l'espace-temps relativiste où temps et espace sont indissociables. Comme nous l'avons vu, le temps devient espace et l'espace génère du temps lors d'un changement de référentiel. Dans le même ordre d'idée, L'équation d'Einstein établit un parallèle entre énergie et masse. Il est même légitime de dire qu'il n'y a pas de différence entre masse et énergie. C'est flagrant si on considère la définition de l'impulsion relativiste p_r :

Cette équation nous montre que la masse effective d'un corps dépend de sa vitesse, c'est à dire de son énergie. Lorsqu'on cherche à accélérer un corps, on rencontre une inertie de plus en plus grande à mesure que sa vitesse augmente. Cette inertie tend vers l'infini si v tend vers c. Il est donc impossible de communiquer à un corps massif une vitesse égale à celle de la lumière.

Remarque : On attribue faussement à Einstein l'invention de l'énergie nucléaire et de la bombe atomique. Lorsqu'il émit l'hypothèse de l'équivalence entre matière et énergie en 1905, il n'avait aucune idée de l'utilisation potentielle de cette équivalence sur le plan militaire ou civil. Il s'agissait pour lui d'une correction nécessaire des équations de la mécanique pour assurer la cohérence de la relativité restreinte. Il faudra attendre plus de 30 ans pour que la fission nucléaire soit découverte par Otto Hahn, Lise Meitner et Fritz Strassmann, ce qui ouvrit la voie au développement de la bombe atomique.

Aujourd'hui, l'équivalence entre matière et énergie ne fait plus de doute : elle est vérifiée tous les jours dans les expériences menées par les physiciens des particules. Des particules s'annihilent sans cesse pour donner des photons, d'autres se créent ex nihilo lorsque le bilan énergétique est suffisant. C'est aussi elle qui permet aux étoiles de briller pendant des milliards d'années. On n'est d'ailleurs pas loin de penser que la masse des particules qui constituent la matière n'est que de l'énergie confinée : énergie d'interaction avec le champ de Higgs pour les particules élémentaires ou énergie d'interaction entre les gluons pour les protons et les neutrons.

Quid des photons ?

Ceux qui ont suivi (il y en a) sont en droit de faire une remarque. Tout ce qu'on a dit sur le quadrivecteur vitesse n'est pas applicable dans le cas d'un photon : le photon n'a pas de temps propre ! Bien vu... Pas de panique. En fait, le cas du photon est simple puisque la quantité ds² est toujours nulle. Ce qui implique que la norme de son quadrivecteur vitesse est nulle. D'ailleurs, si on veut être rigoureux, on doit réécrire l'équation générale de la norme de u de la manière suivante :

le terme epsilon étant égal à 1 pour un corps massif et à 0 pour un photon.

Il en va de même pour le quadrivecteur énergie-impulsion des photons. Sa norme est nulle, ce qui est cohérent avec le fait que l'énergie E des photons soit égale à pc comme nous l'enseigne la théorie de l'électromagnétisme.

La transformation de Lorentz s'applique à ce quadrivecteur. Dans le cas d'une source qui s'éloigne à une vitesse telle que v/c = beta, il vient :

Dans ces équations, l'indice o s'applique aux composantes du quadrivecteur énergie-impulsion dans le référentiel de l'observateur et l'indice s dans le référentiel de la source. Sachant que E = hf on en déduit :

Remarque : on parvient au même résultat en remarquant que E_s est la projection du quadrivecteur-impulsion du photon sur le quadrivecteur vitesse du référentiel de la source.

Revenons au rapport des fréquences. C'est l'équation de l'effet Doppler en relativité restreinte. A partir de là, on définit une quantité appelée décalage vers le rouge (redshift) de la manière suivante :

Comme on peut le voir, ce décalage est très voisin de beta lorsque v est petit devant c.

Ces formules s'appliquent dans le cas où la source s'éloigne de manière radiale par rapport à l'observateur. Dans le cas général il y a toujours une composante transverse. Prenons le cas d'une étoile (figure ci-dessous). Soit theta l'angle que fait la vitesse v de l'étoile (la source) avec l'axe qui joint l'observateur à l'étoile dans le référentiel de l'observateur. La vitesse relative d'éloignement de l'étoile n'est pas égale à v si l'angle theta n'est pas nul. Dans ce cas, l'énergie du photon se calcule en projetant son quadrivecteur énergie-impulsion sur le quadrivecteur vitesse de l'étoile :

Le cas qui nous intéresse est, bien sûr, celui des photons qui sont reçus par l'observateur. Pour ces photons l'angle entre le vecteur p et le vecteur v est l'angle theta. Il vient :

ce qui permet d'écrire le rapport des fréquence :

Cette équation renvoie à celle qui a été donnée un peu plus haut lorsque theta est nul.

Lorsque l'angle theta est égal à pi/2 (mouvement purement transversal) la relativité restreinte prédit un décalage de fréquence non nul, ce qui n'est pas le cas de la mécanique newtonienne. Ce décalage est parfaitement mesurable avec des horloges atomiques en mouvement l'une par rapport à l'autre.

Ce petit tour d'horizon vous a permis, je l'espère, de vous familiariser avec le formalisme de la relativité restreinte. Il est temps maintenant de nous intéresser à la relativité générale. Prêt pour la grande aventure ?