En formulant la théorie de la relativité générale, Einstein a donné aux astronomes l’outil théorique qui leur manquait pour faire de l’Univers un objet d’étude scientifique. Les premiers travaux d’envergure basés sur la théorie de la relativité générale ont d’ailleurs été réalisés par des astronomes : Karl Schwarzschild et Willem De Sitter ont publié leurs premières contributions quelques mois seulement après les articles d’Einstein.

C’est cependant Alexandre Friedmann qui a le plus marqué l’histoire de la cosmologie du début du XXème siècle. Ce physicien russe de 34 ans a eu l’idée d’appliquer l’équation d’Einstein à un fluide cosmique homogène et isotrope représentatif de l’Univers. Cette simplification radicale s’est avérée porteuse d’enseignements très riches : Friedmann démontra dès 1922 que l’Univers était nécessairement dynamique, condamné à s’étendre ou à se contracter, à moins qu’il ne passe par des phases successives d’expansion/contraction.

Friedmann tenta vainement de convaincre Einstein de la justesse de sa théorie. Celui reconnut qu’elle était mathématiquement exacte mais il resta convaincu (comme l’immense majorité des scientifiques de l’époque) que l’Univers était statique. Friedmann n’eut pas le temps de développer ses idées et de démontrer leur véracité : il mourut en 1925 de la fièvre typhoïde quelques mois après avoir publié un deuxième article sur la dynamique de l’Univers.

Georges Lemaître arriva aux mêmes conclusions que Friedmann sans avoir eu connaissance de ses travaux. Georges Lemaître est un astrophysicien belge qui fut élève d’Eddington. Il publia en 1927 un article sur un univers homogène de rayon croissant. Il eut plus de chance que Friedmann : en 1929, la découverte de la fuite des galaxies par Edwin Hubble va démontrer aux yeux de tous que Friedmann et Lemaître avaient vu juste malgré l’incrédulité d’Einstein. L’Univers est bien dynamique et il est en expansion. Lemaître ira jusqu’au bout de la logique de son raisonnement. Il fut le premier à théoriser le Big-bang. Il faudra pourtant attendre 1964 pour que la découverte du fond diffus cosmologique par Arno Penzias et Robert Wilson vienne confirmer l’intuition géniale de Georges Lemaître.

L’approximation de Friedmann-Lemaître, développée ensuite par les américains Howard Robertson et Arthur Walker, est, encore aujourd’hui, un outil très utile pour analyser l’expansion de l’Univers. Il permet de comprendre la dynamique qui sous-tend le Big-bang ainsi que celle de l’inflation cosmique.

La métrique FLRW

Au cœur de la solution de l’équation d’Einstein développée par Friedmann, Lemaître, Robertson et Walker réside une hypothèse fondamentale : l’hypothèse cosmologique selon laquelle l’Univers est homogène et isotrope. Cette hypothèse est structurante : elle signifie que l’on peut représenter l’espace sous la forme d’une variété Sigma à trois dimensions de courbure constante. L’espace-temps est le produit de la variété temps (le corps des réels) et de Sigma, c'est à dire :

La courbure de l’espace-temps est la même partout mais elle peut dépendre du temps. Par convention on l’écrit sous la forme K = k/a(t)². Le coefficient k est égal à -1, 0 ou 1 selon que la courbure est négative, nulle (dans le cas d’un espace euclidien) ou positive. Le terme a(t) est appelé facteur d’échelle.

Dans ce qui suit, on a adopté des unités telles que c = 1.

Il s’agit maintenant de trouver la métrique de cet espace-temps. Pour faciliter le raisonnement, on va partir d’un espace à 2 dimensions muni d’un référentiel cartésien (x, y). On procédera à une extension à 3 dimensions plus tard : cela ne posera pas de problème particulier. Si cet espace à deux dimensions est courbe et de courbure positive, il est aisé de s’en faire une représentation en le plongeant dans un espace à trois dimensions. Il suffit de rajouter une troisième dimension fictive u. Cette dimension n’a pas d’existence physique. Elle ne doit pas être confondue avec la 3ème dimension de notre espace. Elle a pour seule vertu de nous faciliter la tâche : elle nous permet de conceptualiser la courbure de l’espace à 2 dimensions en le « plongeant » dans une espace à 3 dimensions. Dès lors que nous passerons à un espace à 3 dimensions, cette conceptualisation sera toujours possible mais il nous sera impossible de la visualiser.

Dans notre espace de plongement, les coordonnées x et y doivent respecter l’équation :

On a choisi des coordonnées cartésiennes mais on peut tout aussi bien utiliser des coordonnées polaires (r, theta) autour d’un point de notre espace à deux dimensions (attention à ne pas confondre r avec le rayon de courbure a(t) de l’équation ci-dessus) :

En différenciant cette équation pour t = cte il vient :

soit :

Cette formule peut se réécrire de la manière suivante :

Calculons la distance entre deux points très proches. Si r est constant :

Si theta est constant (merci Pythagore) :

Dans un espace-temps à 2+1 dimensions la métrique s’écrit donc de la manière suivante :

Cette équation se simplifie si l’on procède à un changement de variable :

avec :

Nous avons raisonné jusqu’à présent avec une courbure positive : on peut étendre ce résultat à une courbure de signe quelconque :

Equation dans laquelle k caractérise la courbure de la géométrie :

• k = 1 :    courbure positive
• k = 0 :    courbure nulle, géométrie euclidienne
• k = -1 :   courbure négative

Il n’y a pas de difficulté à passer maintenant à un espace à 3 dimensions plongé dans un espace virtuel à 4 dimensions :

Exprimé sous forme tensorielle, cela conduit à un tenseur diagonal dont les composants s’écrivent de la façon suivante

avec :

C’est la métrique FLRW. Elle est appelée de la sorte d’après les initiales de ses 4 découvreurs (Friedmann, Lemaître, Robertson, Walker). Les coordonnées de cette métrique ont une particularité tout à fait intéressante. En effet, un point dont les coordonnées spatiales (sigma, theta, phi) sont constantes suit une géodésique lorsqu’on fait varier t.

Cette propriété se démontre simplement. Puisque les cordonnées spatiales sont constantes on peut écrire :

si :

La diagonalité de la métrique et l’indépendance de certains de ses composants par rapport aux coordonnées (voir les chapitres précédents) conduisent à démontrer que Gammaⁱ₀₀ =0 si i est différent de zéro (voir annexe). L’équation géodésique est donc bien vérifiée pour les points dont les coordonnées spatiales sont fixes :

si :

La démonstration est aisée :

• Le terme est nul (voir équation plus haut).
• Le double produit est également nul si mu est différent de zéro ou si nu est différent de zéro (idem : équation plus haut).
• Si mu et nu sont nuls, alors c’est Gammaⁱ₀₀ qui est nul.

Cette propriété a deux conséquences :

• Les coordonnées (sigma, theta, phi) sont dites comobiles. Un objet placé en un point défini par (sigma, theta, phi) conserve ce jeu de coordonnées au cours du temps en l’absence d’une impulsion extérieure.
• La coordonnée t est le temps propre en ce point. On l’appelle temps cosmique.

Le tenseur énergie-impulsion

Nous avons défini une métrique qui permet de décrire un fluide homogène et isotrope représentatif de l’Univers à grande échelle. Notre objectif (celui de Friedmann) est de décrire la dynamique de l’évolution de l’Univers. Cette métrique ne constitue donc qu’une première étape. Il nous faut maintenant écrire l’équation d’Einstein correspondant à cette métrique. Comme nous l’avons vu, cette équation s’écrit :

Pour rester cohérent avec les conventions du chapitre précédent, nous allons prendre des unités telles que c = 1.

Il nous faut donc déterminer :

• le tenseur énergie-impulsion T^{mu nu} d’un fluide homogène et isotrope,
• le tenseur de Ricci R_{mu nu} associé à la métrique.

Nous allons commencer par construire le tenseur T^{mu nu} dans un cadre semi-classique, celui de l’espace-temps de Minkowski. Considérons un gaz parfait composé de particules de masse au repos m. Considérons parmi ces particules toutes celles qui ont une vitesse v_i. Supposons que leur densité par unité de volume dans le référentiel de ces particules soit n_i. Si on se place cette fois dans le référentiel du gaz parfait, les quadrivecteurs vitesse et impulsion de ces particules s’écrivent :

Toujours dans le référentiel du gaz parfait le flux de particules de vitesse v_i au travers d’une surface unitaire orienté dans la mu^ième direction est :

On peut généraliser cette équation en définissant un quadrivecteur flux de la manière suivante :

Le composant T^{mu nu} du tenseur énergie-impulsion est le flux de la mu^ième composante du vecteur quadri-impulsion au travers de la nu^ième direction.

Le tenseur T^{mu nu} peut donc s’écrire sous la forme du produit tensoriel du quadrivecteur flux et du quadrivecteur impulsion :

Examinons chacun de ses composants. Commençons par T⁰⁰ :

nu_i m gamma² est la densité d’énergie des particules de vitesse v_i. On peut donc écrire :

rho étant la densité mesurée dans le référentiel du gaz. Passons maintenant aux composants T^{0 nu} :

La distribution des vitesses étant symétrique, il vient :

Par symétrie, il en va de même pour T^{mu 0}. Examinons finalement les composants T^{mu nu} :

T^{mu nu} est nul si mu et nu ne sont pas égaux (distribution des vitesses dans un gaz parfait). Si mu = nu, le terme T^{mu nu} représente la pression des particules dans la direction mu. Le tenseur énergie-impulsion s’écrit donc très simplement dans un espace-temps minkowskien :

Cette expression peut aussi s’écrire de la manière suivante :

où éta^{mu nu} est la métrique minkowskienne et u^mu_g le quadrivecteur vitesse du gaz parfait dans le référentiel du gaz parfait :

(La nullité des composants u^mu_g tels que mu différent de zéro est une fois de plus une conséquence de la distribution symétrique des vitesses.)

Cette expression se généralise dans le cas d’un espace courbe. Il vient :

Dans le cas qui nous intéresse, ceci permet d’écrire :

Tenseur de Ricci et courbure scalaire

L’équation d’Einstein fait également intervenir le tenseur de Ricci et la courbure scalaire. Pour construire le tenseur de Ricci il faut tout d’abord construire le tenseur de Riemann puisque :

Le tenseur de Riemann s’obtient à partir des symboles de Christoffel :

Le calcul des composants du tenseur de Riemann de la métrique FLRW est donné en annexe. Ils s’écrivent comme suit :

La courbure scalaire se déduit de ce qui précède. Par définition, elle est égale à :

Compte tenu de la diagonalité du tenseur métrique et du tenseur de Ricci, ceci s’écrit :

Si on remplace les termes diagonaux par leur valeur littérale il vient :