Nous avons déterminé le tenseur énergie-impulsion et le tenseur de Ricci associé à la métrique de Friedmann-Lemaître. Nous avons désormais tous les éléments nécessaires pour formuler l’équation d’Einstein d’un univers homogène et isotrope :

Lambda étant la constante cosmologique. Les deux membres de cette équation sont diagonaux. En introduisant dans cette équation la valeur des composants des tenseurs considérés, cette équation se résume aux deux équations suivantes :

Ces équations sont appelées équations de Friedmann :

Dans la littérature, on trouve également la formulation suivante :

où H est le paramètre de Hubble qui est défini comme suit :

H est supposé constant dans l’espace mais il ne l’est pas dans le temps (sauf cas particulier comme on le verra plus loin).

Quelques équations remarquables

Les équations de Friedmann expriment sous une forme condensée les lois générales qui gouvernent la dynamique de l’Univers. Nous étudierons au chapitre suivant quelques-unes des solutions de ces équations. Sous leur forme générale, elles restent très abstraites et sont difficilement interprétables. En manipulant ces équations on peut cependant mettre en évidence quelques lois plus directement utilisables pour analyser l’évolution de la densité d’énergie et de la pression et leur impact sur la dynamique de l’Univers.

Additionnons les équations précédentes et multiplions le résultat par . Il vient :

Le second membre de cette équation est (à un facteur -3 près) la dérivée du premier membre de la première équation de Friedmann. On peut donc écrire :

C’est la première des équations remarquables qui découlent des équations de Friedmann. C’est une équation d’état : elle relie directement la densité et la pression. Elle nous sera très utile par la suite pour analyser les différentes configurations possibles d’Univers.

Poursuivons avec cette équation. On peut la reformuler en faisant apparaître le terme rho.a³(t). Dans la mesure où a(t) représente le facteur d’échelle de l’Univers, ce terme exprime tout simplement la quantité d’énergie contenue dans un volume exprimé en unités comobiles :

Dérivons cette équation :

Si l’on met 3a_point(t).a²(t) en facteur dans le second membre, on peut reconnaître l’expression de p telle qu’elle apparaît dans la deuxième équation de Friedmann. On peut donc écrire :

Cette équation est tout aussi intéressante que l’autre équation remarquable. Le premier terme représente la variation d’énergie dans un volume comobile. Le second correspond au travail nécessaire pour faire varier ce volume.

Pour terminer ce paragraphe sur les équations remarquables, on peut combiner les deux équations de Friedmann de la manière suivante :

Cette troisième équation nous montre le rôle déterminant que joue la quantité rho + 3p dans la dynamique de l’Univers. En effet, si le membre de gauche de l’équation est positif, l’Univers est soumis à une expansion accélérée !

En l’absence de constante cosmologique, c’est le cas lorsque la pression est négative et que sa valeur absolue est supérieure à rho/3 (condition de De Sitter). On suppose que ce type de situation s’est produit aux tout premiers instants de l’Univers et a donné lieu à la phase dite d’inflation cosmique.

Lorsque la constante Lambda est positive, son effet répulsif se fait sentir dès lors que :

Cela se produit en particulier lorsque l’Univers est constitué majoritairement de matière non relativiste (voir le post sur l'Univers de poussières) et qu’il est en expansion. La pression dans ce cas est négligeable et l’effet de l’expansion conduit à diluer progressivement la densité d’énergie :

Lorsque :

l’expansion devient accélérée. Cette accélération de l’expansion accentue l’effet de dilution, ce qui renforce en retour ladite accélération. Le terme 4pi.G.rho ne tarde pas à devenir négligeable devant la constante cosmologique. L’équation devient :

Les solutions de l'équation dans le cas d'une constante cosmologique répulsive sont bien connues. Il s’agit des fonctions exponentielles (ou plus précisément hyperboliques). Elles se rapprochent d’une solution particulière de d’équation d’Einstein qui appelée Univers de De Sitter et que nous étudierons dans le chapitre suivant. Elles décrivent un Univers en expansion accélérée. Or les mesures faites en 1998 par les astrophysiciens Saul Perlmutter et Adam Riess conduisent à penser que notre univers est entré depuis 7 milliards d’années dans une phase de ce type !

Remarque : On utilise souvent le terme de gravitation répulsive pour caractériser cette situation et le rôle de Lambda. C’est un raccourci incorrect. L'effet répulsif en question est liée à l'équation d'état (43). Il intervient comme solution à cette équation.

Pression négative

Dans le paragraphe précédent, nous avons implicitement supposé que l’Univers pouvait être rempli d’une pression négative. C’est à première vue plutôt bizarre. On voit bien à quoi correspond une pression positive et l’effet qu’elle peut avoir. Prenons par exemple un moteur à explosion. L’étincelle de la bougie enflamme le mélange et le dégagement d’énergie dans le cylindre produit une forte pression positive qui repousse le piston. L’augmentation du volume de l’ensemble cylindre + piston permet de fournir de l’énergie au système extérieur :

A l'inverse, prenons le cas d'un cylindre rempli de gaz à pression atmosphérique plongé sous 10 m d'eau. Cette fois il faut fournir de l'énergie au cylindre pour augmenter son volume. L’équation ci-dessus est toujours vérifiée mais Delta_p est négatif.

Prenons maintenant le cas d’un volume élémentaire V_e d’Univers rempli d’une densité d’énergie rho. Supposons que l’Univers soit en expansion mais que sa densité d’énergie reste constante (c’est tout à fait concevable s’il s’agit, par exemple d’une énergie potentielle scalaire). L’expansion de l’Univers induit une augmentation de la taille du volume élémentaire V_e. Cela se traduit donc par une augmentation de l’énergie contenue dans ce volume :

On se retrouve dans la situation du cylindre immergé : l’augmentation de notre cylindre d’Univers nécessite un apport d’énergie. Cela correspond bien à une situation dans laquelle la pression est négative. On peut d’ailleurs écrire dans ce cas :

Il n’y a donc rien de mystérieux à ce que l’Univers puisse être le siège d’une pression négative. Ce qui l’est beaucoup plus, c’est que cette pression puisse avoir un effet répulsif. A priori, on se dit qu’un récipient rempli d’un gaz dont la pression est négative devrait s’écraser sur lui-même. C’est exact si l’on considère l’effet des forces qui s’exercent du fait de la différence de pression avec l’extérieur, mais ce n’est pas de cela qu’il s’agit. Ce dont il est question ici, c’est de l’effet d’une pression négative sur le tenseur énergie-impulsion, et donc sur l’équation d’Einstein.

Or nous avons vu que le signe de la quantité rho + 3p était déterminant pour l’évolution de l’Univers. Dans le cas qui nous intéresse il est négatif puisque :

Les conditions sont donc potentiellement réunies pour déclencher une expansion exponentielle de l’Univers !

Dans l'environnement auquel nous sommes accoutumés, la pression P est très faible devant la densité d’énergie-matière (voir le chapitre consacré à l'Univers de poussière). Même si cette pression était négative, la condition de De Sitter ne serait pas remplie. Seul l’effet mécanique dû à la différence de pression se fait sentir (le récipient qui s’écrase sous l’effet d’une pression négative). Il faut des conditions très spécifiques pour qu’une pression négative entraîne une expansion exponentielle de l’Univers. Ces conditions ont probablement été réunies dans l’Univers primordial et elles sont à l’origine de l’inflation cosmique.

Densité critique

Avant de décrire quelques-unes des solutions des équations de Friedmann, il peut être utile de Revenir un peu en arrière… La première équation de Friedmann peut s’écrire de la façon suivante :

Lorsque la courbure de l’espace est nulle (c’est-à-dire lorsque k = 0), cette expression se résume à l’équation suivante :

ou encore :

avec :

ou encore :

La quantité rho_c joue un rôle très important en cosmologie. Elle est appelé densité critique. L’équation de densité peut s’écrire de la manière de la manière suivante :

On voit bien l’importance de la notion de densité critique :

Comme on peut le voir également, cette densité rho_c n’est pas constante. Elle dépend de la constante de Hubble, donc du facteur d’expansion de l’Univers.

Nota : pour déterminer la valeur de la densité critique aujourd’hui, il faut revenir à un système d’unités naturelles (c.à.d. tel que c soit égal à 300 000 km/s). On peut écrire dans ce cas :

La valeur de H mesurée aujourd’hui est de 68 km/s/Mpc à 5% près. Le Mpc (mégaparsec) est une unité utilisée en astronomie. Il vaut 3.085 10^-19 km. On peut en déduire que la densité critique est aujourd’hui de 9 10^-10 J/m3, soit 6 GeV/m³. A titre de comparaison, la masse d’un proton est de 1 GeV environ .

On trouve souvent dans la littérature une formulation de l’équation (53) qui fait intervenir la notion de densité relative Omega :

L’équation de densité devient :

soit :

La quantité a(t) est souvent présentée comme étant le facteur d’échelle de l’Univers. On peut aussi l’identifier au rayon de courbure de l’Univers (voir le chapitre précédent).

soit :

On exprime cette relation en introduisant la quantité R_H baptisée rayon de Hubble :

dans un système d’unités tel que c = 1.

On peut écrire :

On parvient au résultat très remarquable suivant : le rayon de courbure de l’Univers ne dépend que de sa densité relative et du rayon de Hubble.

Remarque : On peut s'étonner du fait que le terme Lambda, qui contribue positivement à la masse de l’Univers puisse avoir un effet gravitationnel répulsif. L’explication de ce paradoxe est la suivante. Réécrivons le terme de constante cosmologique sous la forme d’un tenseur énergie-impulsion :

A distance de toute forme de matière, le tenseur métrique est très voisin du tenseur de Minkowski . Ceci signifie que le tenseur T^{mu nu} peut s’écrire sous la forme :

avec le terme rho (la densité de masse) positif et le terme p (la pression) négatif. On se retrouve donc bien dans les conditions de pression négatives décrites précédemment.