Nous avons vu dans les posts consacrés à la théorie de la relativité restreinte comment Albert Einstein avait été amené à dynamiter notre conception de l'espace et du temps pour résoudre le problème posé par l'invariance de la vitesse de la lumière. S'il fallait résumer la théorie de la relativité restreinte en quelques phrases, on pourrait dire ceci :

• Le temps et l'espace sont indissociablement liés. Dans un changement de référentiel galiléen, le temps devient espace et l'espace engendre du temps. Les transformations de Lorentz sont la formulation mathématique de cette interdépendance entre l'espace et le temps.
• La matière et l'énergie sont deux facettes d'une même réalité physique. Matière et énergie peuvent se transformer l'une dans l'autre. Le quadrivecteur énergie-impulsion est l'expression de cette équivalence entre matière et énergie.

La théorie de la relativité restreinte est un monument de la pensée humaine : c'est, à un peu plus de deux siècles d'intervalle, la réponse d'un génie à un autre génie, Isaac Newton, qui formula à la fin du XVIIème siècle la loi de la gravitation universelle. Einstein aurait pu en rester là et on continuerait de célébrer son génie aujourd'hui. Mais son oeuvre avait pour lui un goût d'inachevé. Comment accepter l'idée que la force d'attraction qu'exerce une lointaine étoile sur nous puisse avoir un effet instantané alors que rien, selon la théorie de la relativité restreinte, ne peut transiter à une vitesse supérieure à celle de la lumière ? Newton lui-même reconnaissait que ce principe d'action instantanée à distance ne le satisfaisait pas.

L'expérience de l'ascenseur et le principe d'équivalence

Ce paradoxe va hanter Einstein pendant 10 ans. Pendant ces dix années, il va se consacrer entièrement à la résolution de ce problème. C'est en réfléchissant à l'interaction entre matière et rayonnement qu'il va entrevoir la solution du problème. Si matière et énergie sont deux facettes d'une même réalité et si la loi de la gravitation est universelle, alors la matière doit attirer la lumière qui est elle-même de l'énergie. Dans une expérience de pensée (gedankenexperiment) restée célèbre, Einstein imagine un infortuné expérimentateur qui se réveille dans un ascenseur en chute libre dans un champ gravitationnel. Rien ne lui permet de savoir si l'ascenseur dans lequel il est enfermé est en mouvement : il peut juste constater l'absence de pesanteur. Deux hypothèses s'offrent à lui. Première hypothèse : il se trouve dans une cabine en chute libre dans un champ gravitationnel. Deuxième hypothèse : il se trouve dans une cabine animée d'un mouvement uniforme en l'absence de champ gravitationnel. Autrement dit, dans un référentiel galiléen. De son point de vue, ces deux hypothèses sont strictement équivalentes.Mais, si la deuxième hypothèse est vraie, un rayon lumineux qui traverse l'ascenseur doit se propager en ligne droite dans celui-ci. Or, si le rayon lumineux se déplace en ligne droite dans l'ascenseur et que c'est la première hypothèse qui est vérifiée, cela signifie qu'il décrit une parabole dans le référentiel terrestre !

Cette expérience de pensée va conduire Einstein à formuler un principe, le principe d'équivalence :

Les effets d'un champ gravitationnel sont localement identiques aux effets d'une accélération du référentiel de l'observateur.

Et c'est en se basant sur ce principe qui va tenter de concilier la gravitation et les principes sur lesquels il a construit la relativité restreinte.

Haro sur la géométrie !

Pour ce faire, Einstein n'y va pas par quatre chemins. Dans la théorie de la relativité restreinte, il n'a pas hésité à intégrer l'espace euclidien dans un espace-temps à quatre dimensions. Mais les dimensions spatiales de l'espace-temps de la relativité restreinte sont « plates ». Le théorème de Pythagore s'y applique dès lors que la coordonnée temporelle est fixée. Dans la théorie de la relativité générale, l'espace-temps est courbe. Le plus court chemin d'un point à un autre n'est pas nécessairement un segment de droite, deux droites parallèles peuvent se rejoindre et la somme des angles d'un triangle ne fait pas toujours 180 degrés. La géométrie euclidienne est définitivement enterrée et ce sont les espaces courbes théorisés par Bernhard Riemann en 1854 qu'il faut prendre en considération.

C'est la matière-énergie qui courbe l'espace-temps et c'est cette courbure qui canalise le déplacement de la matière. La gravitation n'est plus cette force qui s'exerce de façon instantanée à distance, elle est l'effet de la géométrie de l'espace-temps sur la trajectoire des corps. Le physicien américain John Wheeler exprime ceci de façon concise et imagée : Spacetime tells matter how to move, matter tells spacetime how to curve.

Einstein va présenter sa théorie de la relativité générale à l'Académie des Sciences de Prusse à la fin de l'année 1915. Conformément à ce qu'Einstein avait entrevu dans son expérience de pensée, la théorie de la relativité générale prédit que la gravité courbe les rayons lumineux. Elle est donc vérifiable si on est capable de faire des mesures suffisamment précises de la position apparente des étoiles qui passent à proximité du Soleil. En 1919, l'astronome anglais Arthur Eddington obtiendra l'autorisation de monter une expédition à Sao Tome et Principe pour effectuer ce type de mesures à l'occasion d'une éclipse totale du Soleil. L'occultation du Soleil permet en effet de mesurer le décalage de la position d'étoiles qui se trouvent sur la ligne de visée sans être ébloui par la clarté aveuglante du Soleil. Le résultat de cette expédition confirme les prédictions de la théorie de la relativité générale. Il va propulser Albert Einstein au rang de superstar de la science !

Du rififi dans les étoiles

La théorie de la relativité générale révolutionne notre manière d'appréhender la gravitation et elle chamboule toutes nos idées reçues sur la géométrie. Mais ses implications encore plus profondes que ce que l'on peut imaginer à première vue. La théorie de la relativité refonde complètement notre façon d'appréhender l'Univers qui nous entoure. S'il est une discipline pour laquelle les lois de la gravitation a de l'importance, c'est l'astronomie. Les premières solutions de l'équation de la relativité générale ont d'ailleurs été trouvées par deux astronomes, Karl Schwarzschild et Willem De Sitter, qui ont publié leurs premières contributions quelques mois seulement après les articles d'Einstein. C'est également grâce à la relativité générale que l'on a pu comprendre le mystère de la précession du périhélie de Mercure qu'aucune théorie n'avait pu expliquer jusqu'alors.

C'est le russe Alexandre Friedmann qui poussera le plus loin l'analyse des implications de la relativité générale en astronomie. Ce physicien de 34 ans eut l'idée d'appliquer l'équation d'Einstein à un fluide cosmique homogène et isotrope représentatif de l'Univers. Cette simplification radicale s'est avérée porteuse d'enseignements très riches : Friedmann démontra dès 1922 que l'Univers était nécessairement dynamique, condamné à s'étendre ou à se contracter, à moins qu'il ne passe par des phases successives d'expansion/contraction. Friedmann tenta vainement de convaincre Einstein de la justesse de sa théorie. Celui reconnut qu'elle était mathématiquement exacte mais il restait convaincu (comme l'immense majorité des scientifiques de l'époque) que l'Univers était statique. Friedmann n'eut pas le temps de développer ses idées et de démontrer leur véracité : il mourut en 1925 de la fièvre typhoïde quelques mois après avoir publié un deuxième article sur la dynamique de l'Univers.

Georges Lemaître arriva aux mêmes conclusions que Friedmann sans avoir eu connaissance de ses travaux. Georges Lemaître est un astrophysicien belge qui fut élève d'Eddington. Il publia le résultat de ses premiers travaux en 1927. Il eut plus de chance que Friedmann : en 1929, Edwin Hubble mit en évidence la fuite des galaxies. La découverte retentissante de Hubble démontra aux yeux de tous que Friedmann et Lemaître avaient vu juste malgré l'incrédulité d'Einstein. L'Univers est dynamique et il est en expansion. Lemaître ira jusqu'au bout de la logique de son raisonnement. Il est le premier à théoriser le Big-bang. Beaucoup de scientifiques pensent qu'il va trop loin. C'est d'ailleurs à l'un de ses détracteurs, Fred Hoyle, un astrophysicien connu pour ses travaux sur la nucléosynthèse stellaire, que l'on doit l'expression « Big bang ». Il l'avait employée au cours d'une interview pour se moquer de la théorie de Lemaître. Il faudra attendre 1964 pour que la découverte du fond diffus cosmologique par Arno Penzias et Robert Wilson vienne confirmer son intuition géniale.

Ainsi, l'Univers s'étend. Et il ne s'étend pas en raison du mouvement des galaxies. Ce sont les distances entre elles qui augmentent. Un peu comme si les galaxies étaient des grains de raisin sec dans un gâteau qui gonfle au cours de la cuisson. La relativité restreinte nous avait appris que l'espace et le temps étaient deux notions indissociables. La relativité générale va encore plus loin : l'espace-temps est une entité dynamique qui se déforme sans cesse et qui peut s'étendre ou se contracter.

La relativité restreinte avait fortement remis en question notre conception du temps et de la simultanéité des événements. La relativité générale va la dynamiter complètement. Nous verrons que le temps ne dépend pas seulement de la vitesse, mais qu'il varie également avec la gravité. Et si on ajoute à cela le fait que l'Univers s'étend et que les galaxies se déplacent, comment peut-on concevoir le temps autrement que localement ? C'est une question auquel les cosmologistes tentent de répondre. Peut-être le sujet d'un post ultérieur...

Equation d'Einstein de la relativité générale

A chaque théorie son équation. La relativité restreinte a la sienne, connue dans le monde entier (E = mc²). La relativité générale ne fait pas exception et la sienne n'est pas mal non plus :

Chaque membre de l'équation joue un rôle bien particulier. Le premier membre représente la géométrie de l'espace. Il est appelé tenseur d'Einstein. Le second représente la matière (au sens matière-énergie). C'est le tenseur énergie-impulsion. C'est l'illustration parfaite de la formule de John Wheeler : la matière dit à la géométrie comment se courber, la géométrie dit à la matière comment se déplacer. Pour rentrer un peu plus dans le détail, voici la signification des différents termes de l'équation :

• R_mn est le tenseur de Ricci, il définit la courbure en tout point,
• g_mn est le tenseur métrique (voir plus bas),
• R est la courbure scalaire,
• G est la constante de gravitation,
• T_mn est le tenseur énergie-impulsion.

Les composants du tenseur énergie-impulsion sont définis comme suit :

• T₀₀ est la densité d'énergie,
• les termes T_ii sont des termes de pression,
• les termes T_0i sont des flux d'énergie par unité de surface,
• les termes T_i0 sont des termes d'impulsion par unité de surface dans la direction i,
• les autres termes sont des termes de viscosité.

C'est beau, n'est-ce pas ?

Oui... Bon. J'étais sûr que vous n'alliez pas aimer. Il faut dire que vous n'avez pas tout à fait tort. Derrière son apparente concision se cache un jeu de 10 équations non linéaires couplées. A moins d'avoir à sa disposition un ordinateur superpuissant, difficile d'en tirer quelque chose.

Métrique

Ne partez pas tout de suite... En fait, il est souvent inutile de s'atteler à la résolution de cette équation. La connaissance du terme g_mn permet en général de faire du bon travail. Ce terme s'appelle le tenseur métrique. Un tenseur ? Kezaco ? Disons que c'est une sorte de matrice (4x4) qui conserve ses propriétés par transformation de Lorentz. Ce n'est pas tout à fait ça mais ça suffit à la compréhension de ce post. Et à quoi sert ce tenseur métrique ?

Il sert à définir les distances dans l'espace-temps courbe de la relativité générale. Souvenons-nous de ce que nous avions vu dans les posts consacrés à la relativité restreinte. Nous avions défini une pseudo-distance adaptée à l'espace-temps de Minkowski (la norme de Minkowski) :

Cette quantité ds² était invariante dans tout changement de référentiel galiléen et nous l'avions utilisée pour définir une notion de temps propre associé à un référentiel galiléen. Elle nous avait été également très utile pour construire le quadrivecteur énergie-impulsion, outil indispensable pour formuler une mécanique relativiste. La formule ci-dessus est une métrique. C'est la métrique minkowskienne. Elle est particulièrement simple. On remarquera en passant qu'elle se base sur le théorème de Pythagore pour ce qui concerne les coordonnées spatiales.

Le tenseur métrique généralise cette notion de pseudo-distance :

C'est la norme de l'espace-temps courbe. Quelques remarques sur cette équation. Tout d'abord, les indices « hauts » des coordonnées x^m et xⁿ ne sont pas des exposants. Ce sont bien des indices (ils font référence à la notion de covariance, voir le post sur les tenseurs). J'attire votre équation ensuite sur le troisième membre de l'équation. Il utilise la convention de sommation d'Einstein qui permet de simplifier les écritures. Cette convention postule que lorsqu'un indice apparaît en haut et en bas d'une équation, il fait l'objet d'une sommation, ce qui est le cas ici. Par la suite, nous adopterons toujours cette convention.

La métrique de la relativité générale a les mêmes propriétés et elle joue le même rôle que la norme de Minkowski. Elle est invariante dans une transformation de Lorentz et elle est nulle pour tout déplacement à la vitesse de la lumière. Tout comme en relativité restreinte, le signe de ds² est important : s'il est positif, l'intervalle est de genre espace (pas de relation de causalité) et s'il est négatif il est de genre temps (relation de causalité possible).

On peut faire aisément le lien avec la formule précédente dans le cas de l'espace-temps de Minkowski :

Dans le cas général, les termes g_mn ne sont pas nuls, ce qui permet de prendre en compte toute sorte de géométrie de l'espace-temps.

Indice covariant et indice contravariant

Nous avons évoqué la notion d'indice covariant un peu plus haut. Quelques mots à ce sujet. En géométrie analytique, on utilise de manière usuelle le produit scalaire :

Le produit scalaire permet de définir la distance (le fameux théorème de Pythagore) et les angles. La métrique est, d'une certaine façon, une extension de ce produit scalaire. Il est tentant de l'exprimer sous une forme similaire. En respectant la convention d'Einstein, cela reviendrait à écrire :

Pour que cela colle avec la définition, il faut définir v_j de la manière suivante :

On dit de v_i que c'est la forme contravariante de vⁱ (qui est, du même coup, élevé au rang de vecteur covariant). On peut bien sûr utiliser une logique inverse :

C'est tout aussi légitime si la condition suivante est respectée :

Géodésique

A quoi va nous servir la métrique ? Nous avons dit que la théorie de la relativité générale remplaçait la force d'attraction gravitationnelle par les effets de la courbure de l'espace-temps. En mécanique classique, un corps en déplacement inertiel suit une ligne droite. Dans la théorie de la relativité générale et en l'absence de toute autre forme d'interaction, tout déplacement est inertiel et les corps en mouvement suivent ce qui fait office de ligne droite dans un espace-temps courbe : des géodésiques. Dans la géométrie euclidienne, le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. D'une certaine façon, dans un espace-temps courbe, le plus court chemin entre deux points est une géodésique (c'est un peu plus compliqué que cela en raison de l'inversion du signe des termes d'espace). Mathématiquement parlant, une géodésique est une courbe de l'espace-temps qui minimise la quantité suivante :

Cette équation barbare est, en fait, la généralisation à l'espace-temps de la notion de longueur d'une courbe. Il suffit de remplacer la quantité à intégrer par une succession de petits intervalles de longueur ds pour s'en convaincre. Une remarque au passage : la notation pointée signifie que le terme est dérivé par rapport au temps propre tau = ds/c. Et n'oubliez pas qu'il s'agit d'une sommation suivant la convention d'Einstein...

La résolution de cette équation fonctionnelle conduit à une équation très générale qui décrit la trajectoire d'une particule dans un espace-temps quelconque dont on connait la courbure en tout point. Cette équation est l'équation des géodésiques :

Les termes Gamma sont appelés symboles de Christoffel. Pas de chance, c'est encore une de ces équations indem...ables et qu'on utilise que quand tout le reste a échoué.

Géodésique et trampoline

On ne coupera pas à la représentation qu'on trouve dans tout bon topo sur la relativité générale. On a coutume d'expliquer que tout se passe comme si on posait un corps massif, une boule par exemple, sur une toile souple. Ce corps déforme la toile et, si on fait rouler une bille sur cette toile, elle ne suit pas une ligne droite. Sa trajectoire est infléchie par la courbure de la toile et, en fonction de sa vitesse initiale, elle est déviée ou bien elle tombe sur le corps central. Et une fois qu'on a dit ça, il y a toujours quelqu'un qui demande, avec raison : Il est où le trou ? Dans quel plan ?

Ben... Y a pas de trou. C'est pour cela que je n'aime pas cette image. Dans l'exemple qu'elle est sensée illustrer, tout se passe dans deux dimensions. C'est un problème à deux dimensions un point c'est tout. En introduisant une 3ème dimension fictive, on laisse penser que le plan est déformé « dans l'espace » alors que ce n'est pas le cas. Tout se passe en 2D et ce sont les règles de la géométrie dans cet espace à deux dimensions qui sont perturbées par la présence du corps massif et qui conduisent à dévier la bille. Au demeurant, on serait bien en peine d'appliquer cette image à notre espace à 3 dimensions : nous n'avons pas de 4ème dimension d'espace sous la main.

Mécanique relativiste

Pour aborder les rudiments de la mécanique relativiste, nous allons suivre la même méthode que pour la relativité restreinte. Nous avions dans ce cas défini un quadrivecteur vitesse et un quadrivecteur énergie-impulsion. Nous allons faire de même en relativité générale. Le quadrivecteur vitesse va s'exprimer comme suit :

Sa norme a les mêmes propriétés que son homologue de la relativité restreinte :

avec epsilon égal à 0 ou 1 selon qu'il s'agit d'un photon ou d'une particule massive. Le quadrivecteur énergie-impulsion se définit de la même façon :

Lagrangien et principe de moindre action

En mécanique classique, on utilise beaucoup le principe de moindre action. Il a été formulé en 1744 par Pierre Louis de Maupertuis. Laissons parler l'ancien :

L'Action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême : lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible.

L'application pratique du principe de moindre action fait appel à une quantité appelée lagrangien (du nom du physicien et mathématicien Joseph Louis Lagrange). Le principe de moindre action va nous permettre de déterminer les géodésiques de façon plus commode. La version relativiste du lagrangien est la suivante :

Le lagrangien présente l'avantage de faire le lien avec des notions de physique élémentaire. On reconnaît dans l'équation qui précède un terme d'énergie cinétique. Par ailleurs, on remarquera que :

ce qui nous ramène au quadrivecteur énergie-impulsion. Pour résoudre l'équation fonctionnelle qui résulte du principe de moindre action, on utilise la méthode d'Euler-Lagrange qui conduit à l'équation suivante :

Encore une équation rébarbative... Et bien pour une fois ce n'est pas le cas. Elle peut en effet s'écrire de la manière suivante :

Or, lorsque la dérivée partielle de g_mn par rapport à xⁱ est nulle, ce qui se produit dans le cas de métriques représentatives du comportement des astres ou des galaxies (le terrain de jeu privilégié de la relativité générale), on est ramené à une simple équation de conservation du moment cinétique :

ce qui revient à écrire q_i= cte. Dans le cas où i = 0, cette équation de conservation prend une signification particulière. Si on fait l'analogie avec la relativité restreinte on peut voir que :

Lorsque la vitesse est faible devant la vitesse de la lumière on peut écrire :

Autrement dit, l'équation sur q₀ n'est autre que l'équation de conservation de l'énergie propre du corps considéré. Si le corps est en mouvement inertiel, cette énergie est égale à mc², c'est-à-dire à l'énergie de masse de ce corps dans le référentiel en mouvement avec lui.

Dans le cas d'un photon, il n'est pas possible d'appliquer ce qui précède : rappelons que le photon n'a pas de temps propre puisqu'il est tel que ds² = 0. Il est cependant possible d'effectuer des dérivations qui ne changent pas la forme des équations à condition d'utiliser des paramètres affines. Nous ne rentrerons pas dans le détail de la définition d'un paramètre affine. Il suffit de savoir que, pour un tel paramètre, on retrouve une formulation sensiblement équivalente des lois de conservation en remplaçant q par u. En complétant ces lois par l'équation :

on parvient également à déterminer les géodésiques des photons.

Déception ?

Je vous avais promis du sensationnel, des rayons qui se courbent... Jusqu'à présent, vous n'avez eu droit qu'à des équations, et pas des plus sympathiques. C'est promis, la prochaine fois on sort le grand jeu !