Les conclusions que nous avions tirées de l’analyse du potentiel V_r d’une particule massive autour d’un trou noir de Schwarzschild (voir le post à ce sujet) sont applicables dans le cas de la métrique de Kerr puisque le potentiel V_r a la même allure générale (voir le post sur les géodésiques dans la métrique de Kerr).

Si ce potentiel présente un minimum local pour r = r₂, le rayon r₂ correspond à une trajectoire circulaire stable. Dans ce cas l’équation de la trajectoire s’écrit comme suit :

ou encore :

Pour faciliter la recherche des solutions, nous allons passer par la variable intermédiaire u = 1/r :

On peut simplifier les écritures en introduisant le paramètre X :

Comme on l’a dit plus haut, le rayon d’une orbite circulaire correspond à un minimum du potentiel V_r. Comme on l’a démontré pour la métrique de Schwarzschild, cela revient à chercher les valeurs de u telles que dV/du = 0 :

(C’est une condition nécessaire mais non suffisante.) On gagne un peu plus en lisibilité en combinant l’équation qui précède avec la formule qui donne la valeur de K :

Les deux équations qui précèdent sont les équations qui conditionnent l’existence d’une orbite circulaire.

Existence d’une orbite circulaire dans la métrique de Kerr

A partir de ces équations, on peut rechercher quel couple de valeurs (K, L) conduit à une orbite circulaire de rayon r donné. Pour cela, on peut réécrire les équations ci-dessus sous la forme suivante :

En combinant ces deux équations on obtient un polynôme du second degré en X² :

avec :

La formulation de ce polynôme est d’apparence particulièrement rébarbative. Avant d’aller plus loin, on va s’intéresser au discriminant du polynôme P en fonction de uX² et calculer son discriminant. Ce polynôme admet des solutions si :

Fort heureusement, cette expression se simplifie si on développe tous ses termes :

Cette relation est d’évidence toujours vérifiée puisque u est positif (u est l’inverse d’un rayon).

La recherche des racines du polynome de second degré permet de déterminer les valeurs de X correspondant à une orbite circulaire de rayon r_c = 1/u_c.

Remarque : l’équation admet 2 racines en X², donc 4 en X. On peut montrer que l’une des racines en X² est systématiquement instable. Quant aux deux racines en X de la valeur potentiellement stable, l’une correspond au sens de rotation du trou noir (corotation) et l’autre au sens inverse.

Il arrive que la nature vienne au secours des calculateurs besogneux. Considérons le numérateur de la formule ci-dessus dans le cas où le deuxième terme est affecté du signe +. On peut le réécrire sous la forme d’un produit :

Quant au dénominateur, il est de la forme (a² - b²) et peut se factoriser comme suit :

Le même type de raisonnement peut être appliqué à l'autre solution (celle avec le signe "-"). Ceci conduit à une formulation plus concise des racines du polynôme :

Les valeurs de K et L s’en déduisent automatiquement :

Ce jeu de quatre équations nous permet d’associer un couple de valeur (K, L) à un rayon r =1/u et c’est bien ce que nous cherchions à faire.

Calcul du rayon minimum d’une orbite

Pour une valeur de alpha donnée, la formule ci-dessus permet de calculer l’expression u|X_i(u)| pour r variant entre 0 et 5r_s. Le rayon minimum correspond à la valeur r = 1/u telle que :

La résolution de cette équation ne nécessite qu’un simple tableur. La valeur de K s’en déduit facilement :