La métrique de Schwarzschild décrit l'espace-temps autour d'un corps représenté par une masse en un point. Elle constitue une excellente approximation pour étudier la dynamique des planètes autour d'une étoile ou la propagation des rayons lumineux à proximité de celle-ci. D'ailleurs, les premières validations de la théorie de la relativité générale ont été permises grâce à la détermination par le calcul de la précession du périhélie de la planète Mercure et à la prédiction de la déflexion des rayons lumineux autour du Soleil. Elle ne peut constituer cependant qu'une approximation. Toutes les étoiles tournent sur elles-mêmes. Elles ont donc un moment cinétique angulaire. En relativité générale, toute forme d'énergie courbe l'espace. C'est donc aussi le cas du moment cinétique qui n'est pas pris en compte dans la métrique de Schwarzschild.

C'est le mathématicien néo-zélandais Roy Patrick Kerr qui découvrit en 1963 une solution exacte des équations d'Einstein permettant de décrire le comportement de l'espace-temps autour d'un corps en rotation. Cette solution a permis à l'astrophysique de faire un grand pas en avant, notamment dans l'étude des trous noirs. Elle a ouvert un véritable âge d'or dans cette discipline. La métrique sur laquelle elle repose est aujourd'hui appelée métrique de Kerr.

Métrique de Kerr

La métrique de Kerr s'exprime comme suit :

avec :

Le coefficient alpha est représentatif du moment cinétique du corps en rotation. On peut voir aisément qu'il est compris entre 0 et 1/2r_s. Au-delà, la vitesse périphérique serait supérieure à la vitesse de la lumière. (On dit d'un trou noir dont le coefficient alpha est égal à 1/2r_sque c'est un trou noir extrême.) Dans la littérature, on omet souvent le terme r_s. Il y a en effet homothétie des propriétés de la métrique pour différentes valeurs de r_s et il est pratique de poser r_s = 1.

Tout comme la métrique de Schwarzschild la métrique de Kerr est une métrique statique. Cependant, elle ne présente pas le même degré de symétrie. La métrique de Schwarzschild est de symétrie sphérique alors que la métrique de Kerr n'a qu'une symétrie autour d'un axe. Nous ne pourrons donc pas faire l'hypothèse que toute géodésique est incluse dans un plan équatorial (en pratique nous nous limiterons à l'étude des géodésiques équatoriales). Enfin, il convient de signaler que ses coefficients n'ont pas le même degré d'indépendance des coordonnées, ce qui va compliquer l'étude des géodésiques.

Dans la suite, nous allons utiliser les mêmes conventions que pour la métrique de Schwarzschild :

Ce qui conduit à écrire :

Horizon des événements

L'une des caractéristiques principales de la métrique de Schwarzschild et l'existence d'une surface appelée horizon des événements en-deçà de laquelle les coefficients g₀₀ et g₁₁ changent de signe. Ce changement de signe joue un rôle déterminant dans la dynamique des objets qui franchissent l'horizon. Il est synonyme d'aller sans retour. C'est la raison pour laquelle tout corps dont la masse est entièrement comprise à l'intérieur de la sphère qui délimite cet horizon se comporte comme un trou noir. Nous allons rechercher si la métrique de Kerr présente les mêmes propriétés.

A première vue c'est le cas. Un simple coup d'oeil à g₁₁ nous montre qu'il possède deux racines positives. Dans un premier temps nous ne retiendrons que la plus grande de ces racines que nous appellerons r_int :

g₁₁ devient bien positif lorsque r passe en dessous de r_int. Intéressons-nous maintenant à g₀₀. Il possède lui aussi deux racines positives qui encadrent les racines de g₁₁. Cela signifie que lorsque r passe en dessous de r_int il y a effectivement inversion des signes de g₀₀ et de g₁₁. On est donc bien en présence d'un horizon des événements. Mais les choses ne se présentent pas de manière aussi simple que pour la métrique de Schwarzschild. Le changement de signe du coefficient g₀₀ se produit en effet pour une valeur r_ext supérieure à r_int :

La surface délimitée par r = r_ext est un ellipsoïde de révolution qui tangente l'horizon des événements aux pôles mais s'en écarte partout ailleurs. Que se passe-t-il dans la zone intermédiaire ? Est-ce une zone interdite ? Pour qu'un objet puisse pénétrer cette zone, il faut en effet qu'il existe des trajectoires au long desquelles la quantité ds² soit de genre temps (donc positive). Si tous les coefficients g_ii de la métrique sont négatifs, c'est pas gagné...

A y regarder de plus près, il y a cependant une solution. La métrique de Kerr comporte deux coefficients supplémentaires g₀₃ et g₃₀ qui sont justement positifs. Ces coefficients sont des coefficients de couplage entre la coordonnée temporelle t et la coordonnée angulaire phi. D'où l'idée de faire un changement de coordonnées qui permette de s'affranchir de ce couplage :

avec :

Le terme omega peut être interprété comme une vitesse angulaire puisque :

Il reste à vérifier que cela résout bien notre problème, c'est-à-dire que le nouveau coefficient g₀₀' du terme dt² est positif dans la zone intermédiaire. Bonne pioche, c'est bien le cas tant que r > r_int : g₀₀' est donc positif à l'extérieur de l'horizon. Il s'annule pour r = r_int et change de signe en-deçà. Voilà qui nous sauve la mise...

J'ai la berlue ou c'est l'espace-temps qui tourne ?

Mathématiquement on est tiré d'affaire, mais physiquement, à quoi ça rime ? Si t et phi sont couplés, est-ce que cela veut dire que l'espace-temps est entraîné en rotation par le corps central ?

Considérons une particule libre (c'est-à-dire uniquement soumise à l'attraction du corps central) lâchée depuis un point quelconque et appliquons-lui le principe de moindre action (voir les posts précédents à ce sujet). Nous avons vu que l'équation :

se simplifiait considérablement sous certaines conditions. C'est justement le cas ici si on s'intéresse à la coordonnée phi. Ceci permet d'écrire :

Si cette particule libre est lâchée sans vitesse initiale, c'est-à-dire avec un moment nul, on retrouve bien les équations ci-dessus :

Une particule libre lâchée sans vitesse initiale est donc entraînée par l'espace-temps dans un mouvement inexorable de rotation !

On a donné à cet effet le nom d'effet Lense-Thirring. Il se produit quelle que soit la masse de l'objet central mais il est, bien sûr, indétectable pour les objets usuels. On a pu le vérifier pour la première fois de manière indiscutable grâce au satellite Gravity Probe B lancé par la NASA en 2004. Si l'effet reste faible à l'échelle du système solaire, il est particulièrement puissant à proximité des trous noirs, et en particulier des quasars qui ont un moment cinétique élevé. Il est à l'origine des disques d'accrétion extrêmement lumineux autour de ceux-ci.

Poussons un peu plus loin l'analyse. Supposons maintenant que nous communiquions une petite impulsion à la particule libre au moment où nous la lâchons. Autrement dit, supposons qu'elle parte avec un vecteur quadrivitesse tel que :

Elle va suivre une géodésique au long de laquelle ds² reste strictement positif :

L'analyse de l'équation qui précède se résume à celle d'un polynôme du second degré qui a deux racines en omega :

On vérifie aisément que le discriminant de ce polynôme est bien positif à l'extérieur de l'horizon des événements. La vitesse de la particule ne peut prendre des valeurs qu'entre les deux racines du polynôme. Ceci conduit à une situation tout à fait intéressante dans la zone comprise à l'intérieur de l'ergosphère. La figure ci-dessous nous montre la courbe des valeurs “limiteâ€� de omega pour r_int < r < r_ext . On voit que quelle que soit la valeur de l'impulsion initiale, la particule ne peut pas rester en place. Elle tourne toujours dans le sens imposé par le corps central. Cet effet d'entraînement ne se limite pas, bien évidemment aux valeurs de r telles que r_int < r < r_ext. Il est également sensible à l'extérieur de l'ergosphère mais, dans ce cas, les particules (et les photons) peuvent circuler en sens inverse.

Cet effet d'entraînement s'applique également aux photons. Pour un observateur extérieur, un photon émis dans la direction opposée au sens de rotation va reculer ! Ce n'est bien sûr pas le cas : le photon se déplace bien à la vitesse de la lumière mais l'espace-temps tourne plus vite que lui. Vu de l'extérieur, c'est la rotation de l'espace-temps qui l'emporte. La figure qui suit nous montre ce qui se passe au niveau des cônes de lumière. Toute proportion gardée, c'est ce qui se passe dans un tourbillon. Un rameur qui s'approche trop près du centre aura beau ramer de toutes ses forces, sa barque sera emportée par le tourbillon.

La surface qui délimite l'ergosphère est le dernier endroit où une particule peut rester stationnaire pour un observateur lointain : on l'appelle surface limite de stationnarité. Mais en réalité, pour faire du surplace, ladite particule devrait se déplacer à la vitesse de la lumière dans le sens opposé au sens de rotation du trou noir. Seul un photon peut rester stationnaire sur cette surface !

Tout objet qui franchit la limite de l'ergosphère est irrémédiablement entraîné en rotation par le corps central mais rien ne l'empêche de ressortir de l'ergosphère. L'équation de la métrique reste en effet très conventionnelle à l'intérieur de celle-ci tant que l'on n'a pas franchi l'horizon des événements. Le signe des coefficients ne diffère pas du signe qu'ils ont à l'extérieur :

Horizons multiples et univers parallèle

Comme nous l'avons vu, la métrique de Kerr est dotée d'horizons multiples. L'horizon des événements, tout d'abord, qui est la limite au delà de laquelle tout voyage est sans retour. La limite de l'ergosphère, ensuite, qui n'est pas un horizon à proprement parler mais qui a des propriétés assez déroutantes. Et ce n'est pas tout... Nous avons évoqué en début de ce chapitre les racines des coefficients g₀₀ et g₁₁ et à chaque fois nous n'en avons retenu qu'une. Or ils en ont deux ! Cela définit une multitude de zones qui ont chacune des propriétés différentes.

Le tableau ci-dessus détaille les propriétés de ces zones. On a vu que la frontière entre l'avant dernière et la dernière n'était pas vraiment un horizon, plutôt une limite de stationnarité (une particule ne peut pas rester stationnaire en-deçà de cette limite). Il en va de même entre la première et la seconde. En utilisant le même changement de coordonnées que précédemment, on se retrouve dans la même situation. Le tableau qui suit donne une vision plus claire de ce qui se passe à proximité du point origine de la métrique.

On peut voir qu'il existe un horizon interne en-deçà duquel la métrique retrouve des propriétés normales ! On peut dès lors se demander ce qui se passe si l'on franchit cet horizon interne. Du strict point de vue des équations, il est possible de le franchir dans les deux sens puisque la métrique a des propriétés « normales » dans la zone centrale. On peut donc ressortir de cette zone. Or, dans la zone que l'on peut qualifier « d'inversée » (c'est-à-dire telle que g₀₀ < 0 et g₁₁ > 0) la seule contrainte qui s'applique est que dr ne peut pas changer de signe. Voir la discussion à ce sujet dans le post sur les trous noirs de Schwarzschild : dr conserve le signe qu'il a en entrant dans la zone tout au long d'une géodésique. Cela signifie qu'il existe, pour une particule qui sort de l'horizon interne, une courbe d'univers orientée vers le futur et qui soit sortante. Le déplacement entre les deux horizons se fait bien à sens unique, sans demi-tour possible, mais cette fois dans l'autre sens. Ceci conduit inéluctablement la particule à ressortir de l'horizon extérieur ! Mais si un tel voyage est possible, il dure théoriquement un temps infini pour un observateur extérieur... Qui sait ce que vous retrouverez en rentrant à la maison ! Pas sûr que ça vaille la peine de tenter l'expérience.

Quid de la singularité centrale ?

Nous avons vu que la métrique de Schwarzschild présentait une singularité centrale ou les coefficients g₀₀ et g₁₁ divergeaient. Qu'en est-il de la métrique de Kerr ? A priori pas de divergence pour r = 0 à condition de ne pas aborder ce « point » avec un angle théta égal à pi/2 :

Il se passe par contre quelque chose de bizarre. La distance entre deux « points » de coordonnées radiale r = 0 mais avec un angle phi différent n'est pas nulle :

Tout ce passe comme si ce qu'un observateur lointain voit comme un point était en fait... un disque de rayon alpha. Un disque qu'il est possible de traverser à condition de ne pas arriver par la tranche !

Une géométrie très perturbée

Attardons-nous un instant sur ce que nous venons de dire au sujet du point origine. Rappelons tout d'abord que le jeu de coordonnées (t, r, theta, phi) ne doit pas être considéré comme un jeu de coordonnées sphériques mais plutôt comme un jeu de paramètres qui permet de déterminer les caractéristiques de la géométrie par le biais de la métrique. Si ce jeu de coordonnées est assez proche des coordonnées naturelles vues par un observateur lointain, cela n'est plus du tout le cas au voisinage de la masse centrale.

Intéressons-nous à une surface définie par l'équation r = cte. La métrique sur cette surface s'écrit :

Pour un observateur proche de cette surface, une telle métrique est voisine de celle qui définit les distances sur un ellipsoïde. Soit en effet l'ellipsoïde défini comme suit :

La distance entre deux points proches l'un de l'autre s'écrit :

Si on se souvient que:

On voit qu'il y a une grande similitude entre l'équation qui donne la distance sur cet ellipsoïde et la métrique au voisinage de la surface r = cte dès lors que l'on pose :

On peut d'ailleurs voir qu'il y a identité des équations lorsque dphi est nul, c'est-à-dire dans n'importe quel plan phi = cte. Cela signifie que l'intersection entre la surface définie par l'équation r = cte et un tel plan est une ellipse.

On ne peut pas pour autant dire que cette surface est un ellipsoïde au sens où on entend ce terme dans un espace euclidien. Considérons l'intersection entre la surface r = cte et le « cône » défini par theta = cte. Il s'agit d'un cercle... mais sa circonférence n'est pas celle que l'on attendrait puisque :

Elle est donc plus longue que celle qui résulte de l'intersection de ce cône avec un ellipsoïde dans un espace euclidien normal. Tout se passe comme si le rayon apparent était plus grand que prévu... Au demeurant, les propriétés de ce cercle au rayon élastique sont très particulières. Lorsque, par exemple, r est nul (c'est-à-dire au point origine pour un observateur lointain), le rayon du cercle est égal à alpha. On retrouve donc bien la notion de disque que nous avions évoqué plus haut. Mais ceci n'est plus vrai si theta = pi/2. Dans ce cas le rayon n'est plus défini puisque rho s'annule lorsque r = 0 ! On dit dans ce cas qu'il y a dégénérescence de la surface.

Les courbes ci-dessous illustrent la déformation de la géométrie au coeur du trou noir. Le rapport entre le rayon apparent b' et le rayon b de l'ellipsoïde est représentatif de l'élongation des distances quand elles sont mesurées dans le sens transverse par rapport aux distances dans un plan radial. Toutes les courbes ont été établies pour une valeur alpha de 0,25.

La figure ci-dessus montre l'évolution du rayon apparent b' en fonction de theta pour différentes valeurs de r / r_s (0,05 - 0,2 - 0,5 - 1 - 2,5). La valeur de b' s'écarte de celle de b lorsque r est petit devant r_s.

La figure ci-dessus montre l'évolution du rayon apparent b' en fonction de r / rs pour différentes valeurs de theta (50 deg - 70 deg - 80 deg - 85 deg). Elle confirme la tendance exprimée ci-dessus : l'écart est important pour les faibles valeurs de r et devient réellement significative pour theta > 70 deg. b' est égal à alpha lorsque r est nul.

Une dernière remarque... Dans ce qui précède, nous avons utilisé le terme « cône » entre guillemets pour désigner la surface theta = cte. En fait, au voisinage du point central, cette surface se rapprocherait plutôt d'un hyperboloïde ! La géométrie d'un trou noir de Kerr est décidément très perturbée...

Une porte vers un autre univers ?

Perturbée... et déroutante. Comme nous l'avons vu, il est possible, contrairement à ce qui se passe dans le cas d'un trou noir de Kerr, d'atteindre le disque r = 0 sans rencontrer de singularité à condition d'aborder ce disque avec un angle theta inférieur à pi/2. Rien n'empêche dès lors de penser que l'on peut traverser le disque et passer dans un univers symétrique du nôtre et caractérisé par des valeurs de r négatives (voir le post sur le diagramme de Penrose) ! Allo, Monsieur Spock, vous m'entendez ?

Ne nous emballons pas... Personne ne sait comment la matière se comporte à l'intérieur de l'horizon des événements. Nous ne savons même pas précisément comment elle se comporte à l'intérieur d'une étoile à neutrons. Pour le savoir, il faudrait disposer d'une théorie de la gravitation quantique, ce qui est pour l'instant hors de notre portée. On ne peut qu'émettre des hypothèses. Certains physiciens prédisent que la matière au coeur des trous noirs est soumise à de violentes instabilités. On a donné à cette hypothèse le nom de conjecture BKL, du nom des trois physiciens russes qui l'ont émise (Belinsky, Khalatnikov, et Lifchitz). L'américain Charles Misner partage la même conviction et parle d'univers mixmaster. Difficile dans ce cas d'imaginer que l'on puisse passer d'un univers à un autre en toute tranquillité... Des amateurs pour tenter l'aventure ?