On détermine la trajectoire de particules libres dans une métrique de Kerr en s'appuyant sur les mêmes principes que dans le cas de la métrique de Schwarzschild. Il y a cependant deux différences : la première c'est que c'est un peu plus compliqué (mais ça reste facilement modélisable) et la deuxième c'est qu'il faut prendre en compte la coordonnée théta... à moins de se limiter au plan équatorial, ce qu'on va faire ici.

Nous avons vu que l'on pouvait déduire l'équation des géodésiques en appliquant le théorème d'Euler-Lagrange (on suppose la masse de la particule suffisamment faible pour que son effet sur la courbure de l'espace-temps soit négligeable) :

avec :

Or, les coefficients g_munu de la métrique de Kerr ne dépendent ni de t ni du phi. On peut donc écrire :

d'où il vient :

On peut en déduire qu'il y a conservation du moment de la particule par rapport aux coordonnées t et phi :

Nous avons également démontré dans ce même post sur la mécanique relativiste que la loi de conservation de l'énergie pouvait s'écrire sous la forme :

Développons cette formule :

En tenant compte de ce quii a été dit plus haut on peut écrire :

Il est temps de remplacer p_r et p_theta par leur valeur littérale :

g_rr et g_{theta theta} sont des termes diagonaux. Il vient donc :

Ceci nous conduit à réécrire l'équation sous la forme suivante :

Si l'on tient compte de la valeur des composants g_rr et g_{theta theta} il vient :

C'est l'équation de conservation de l'énergie d'une particule libre dans le cas de la métrique de Kerr. Son interprétation n'est pas aussi immédiate que dans le cas de la métrique de Schwarzschild mais nous allons voir qu'elle n'en est pas éloignée. Attardons nous quelques instants sur le second membre de l'équation. On peut l'écrire sous la forme suivante :

On reconnaît au numérateur l'incrément de distance entre deux points séparés par un intervalle élémentaire (d_r, d_theta). D'une certaine façon, on a donc bien affaire à un terme d'énergie cinétique. La seule différence est que, cette fois, il ne concerne pas que la vitesse radiale mais qu'il prend en compte également la composante en theta de la vitesse.

Solution de l'équation dans le plan équatorial

L'équation est malheureusement difficilement exploitable en l'état. Sa résolution est beaucoup plus aisée si on considère une particule se déplaçant dans le plan équatorial. Réécrivons la métrique dans le cas où theta = pi/2 :

Rappelons que l'on a choisi de travailler dans un système d'unités tel que c = 1. En repartant de la formule donnant l'expression littérale du lagrangien L on peut écrire :

Au passage, on peut remarquer que l'on retrouve les équations auxquelles nous étions parvenus avec la métrique de Schwarzschild dès lors que l'on fait tendre alpha vers zéro.

Remarque : le terme de masse apparaissant toujours en facteur des deux membres des équations, on ne le mentionne pas. On retrouve en relativité générale un résultat bien connu de la mécanique classique : un kilo de plomb tombe à la même vitesse qu'un kilo de plumes...

On reconnait dans ce jeu d'équations un système de deux équations à deux inconnues :

Si on remarque que :

la résolution de ce système d'équations permet d'écrire :

Pour déterminer r_point il suffit de reformuler l'équation de conservation de l'énergie en tenant compte de nos nouvelles hypothèses. On peut constater qu'elle se simplifie considérablement.

Ceci nous permet d'écrire la formule suivante :

Dans le cas d'une particule massive (epsilon = 1) on retrouve une forme qui nous est familière : une particule de vitesse radiale r_point en présence d'un potentiel V_r du troisième degré en 1/r :

avec :

On retrouve dans ces équations la loi de conservation de l'énergie sous une forme beaucoup plus habituelle : epsilon² représente l'énergie de masse de la particule et K² est son énergie propre. Cette énergie propre est égale à la somme de l'énergie de masse, de l'énergie cinétique (r_point²) et du potentiel gravitationnel V_r.

Exemple d'une particule tombant dans le trou noir

Considérons une particule qui tombe dans le trou noir en partant à vitesse nulle à partir d'un point situé à une distance infiniment éloignée. Dans le formalisme de nos équations, cela signifie que L = 0 et que K = 1. C'est évident pour L. Pour K il suffit de se souvenir que t est le temps propre d'un observateur situé à l'infini.

Les équations du mouvement se simplifient pour donner :

Il en va de même pour l'équation de conservation de l'énergie :

En combinant les différentes équations il vient :

Ces deux formules permettent de résoudre l'équation des géodésiques de manière numérique. Les figures qui suivent illustrent l'effet d'entraînement en rotation par le trou noir. Comme on peut le voir sur la deuxième figure, la trajectoire d'un corps en chute libre à tendance à s'enrouler autour de celui-ci.

Vitesse de rotation en fonction du rayon

Le cercle en trait plein a pour rayon r_int, le cercle en pointillé r_ext

Trajectoire d'une particule quelconque passant à proximité du trou noir

Il n'y a pas de solution analytique mais les équations du mouvement se modélise facilement en langage C. Dans la figure qui suit, on a modélisé quatre cas différents avec un paramètre d'impact identique et on a fait varier le moment cinétique du trou noir. Le moment cinétique de la particule a le même signe que le moment cinétique du trou noir. Le premier cas (a) reproduit le comportement dans la métrique de Scwarzschild (coefficient alpha nul). Comme on le voit, on a choisi un paramètre d'impact tel que la particule n'échappe pas à l'attraction du trou noir. Dans le deuxième cas (b), l'effet d'entraînement en rotation conduit la trajectoire à s'enrouler autour du corps central avant de plonger à l'intérieur de l'horizon. Dans les cas c et d, l'effet d'entraînement est suffisant pour renvoyer la particule et lui permettre d'échapper à l'attraction du trou noir.

Dans la modélisation qui suit, on inverse le moment cinétique de la particule : on la tire dans le sens opposé au sens de rotation du corps central. Cette fois, l'effet d'entraînement en rotation fait rebrousser chemin à la particule peu de temps avant que celle-ci ne soit happée par le trou noir !