La recherche d'une orbite stable est un sujet que nous avons déjà traité dans le post consacré au mouvement des particules dans la métrique de Schwarzschild. Le potentiel V_r associé à la métrique de Kerr a une allure semblable à celui intervenant dans l'équation du mouvement d'une particule dans la métrique de Schwarzschild (voir le post sur les géodésiques dans la métrique de Kerr), nous pouvons appliquer les mêmes critères de stabilité.

L'existence et la stabilité d'une orbite circulaire est liée à l'existence d'un minimum local. Sur la figure ci-dessous, c'est le cas pour les courbes rouge et bleue, ce n'est pas le cas pour la courbe violette. La courbe verte correspond au cas limite : le minimum local est devenu un point d'inflexion de la courbe . Dans ce cas, on a simultanément :

La recherche de ce point d'inflexion va nous permettre de déterminer le rayon minimum d'une l'orbite circulaire stable.

Ecrivons la dérivée seconde de V_r en fonction de u :

La condition de nullité de la dérivée seconde en r peut donc s'exprimer de la manière suivante :

La dérivée première étant également nulle au point d'inflexion, ceci permet d'écrire :

soit :

Au passage, on peut constater que seules les valeurs négatives de X conviennent, les valeurs positives conduisant à des valeurs de K supérieures à 1, donc sans signification physique.

Résumons :

• Le potentiel V_r d'une particule évoluant sur une orbite de rayon minimum présente un point d'inflexion pour r = r_mini
• La variable u = 1/r_mini satisfait simultanément aux équations du minimum local et du point d'inflexion.

Rappelons l'équation qui permet de déterminer le minimum local :

Il s'agit d'un polynôme du second degré en u. Soit P(u) ce polynôme. Il admet des racines réelles si son discriminant est positif, c'est-à-dire si :

ou bien :

Dans ce cas, le polynôme P(u) a deux racines dont la plus petite correspond au minimum local (il faut se souvenir que u = 1/r : si u₁ > u₂ alors r₁ < r₂ ) :

Lorsque le discriminant de P(u) s'annule, les deux racines fusionnent en une seule :

La fusion des deux extrema locaux est précisément ce qui donne naissance à un point d'inflexion. Pour que le discriminant soit nul, il faut que :

Ceci permet de réécrire la formule qui donne u_c :

Lorsque alpha est nul (c'est-à-dire lorsque le trou noir ne tourne pas) on retrouve les valeurs obtenues avec la métrique de Schwarzschild. On a alors X = L ce qui permet d'écrire :

Avec un tableur on peut sans difficulté tracer la courbe qui donne la valeur mini de r en fonction de alpha. Les courbes ci-dessous donnent les valeurs de r/r_s et de K pour alphavariant entre 0 et 0.5 r_s.

sens de rotation de la particule :

• Si la particule tourne dans le même sens que le trou noir (on parle de corotation) cette valeur varie de 3r_s à r_s/2 lorsque alpha varie de 0 à 0.5 r_s.
• Si la particule tourne dans le sens inverse cette valeur varie de 3r_s à 9 r_s/2 lorsque alpha varie de 0 à 0.5 r_s.

Disque d'accrétion et rayonnement d'un trou noir

Comme on l'a démontré dans le chapitre consacré aux équations du mouvement, le paramètre K est représentatif de l'énergie du corps en mouvement. En l'absence de toute influence extérieure, ou lorsque le corps est à distance infinie de la singularité, K est égal à 1. Dans ce cas, K représente l'énergie de masse de ce corps (mc²). Lorsque le corps est en rotation autour du trou noir (au sein du disque d'accrétion), on peut vérifier que K < 1. Son énergie totale ne représente plus qu'un certain pourcentage de son énergie de masse.

A quelle réalité physique correspond cette inégalité ? Une notion empruntée à la chimie permet de se représenter le phénomène : celle d'énergie de liaison. Pour extraire le corps considéré du puits de potentiel dans lequel il se trouve et l'amener à une distance telle que le trou noir n'exerce plus d'influence sur lui, il faut lui fournir une énergie égale à (1 - K) fois l'énergie de masse. On peut dire que le facteur (1 – K) est représentatif de l'énergie de liaison entre le corps et le trou noir.

Supposons qu'une particule parvienne à proximité d'un trou noir de Kerr. Si son énergie est suffisante, la théorie nous dit qu'elle va simplement transiter dans le voisinage du trou noir avant de s'en éloigner. Mais que se passe-t-il dans la réalité ?

En pratique, lors de l'effondrement du cÅ“ur d'une étoile massive donnant naissance à un trou noir, une quantité énorme de matière se retrouve piégée dans le tourbillon d'espace-temps engendré par celui-ci. Les particules qui composent cette matière vont orbiter à grande vitesse dans ce tourbillon, la conservation du moment cinétique entraînant une augmentation de la vitesse de rotation de la matière qui s'est effondrée. L'énergie propre de ses particules étant importante, elles sont ionisées. De ce fait, elles interagissent constamment entre elles, émettant et capturant sans cesse des photons. Une partie de leur énergie se retrouve donc sous forme de rayonnement. Si l'énergie totale restait constante, il pourrait se créer un équilibre, la pression de radiation compensant la perte d'énergie de la matière. Mais comme une partie non négligeable de ce rayonnement s'échappe, les particules perdent progressivement de l'énergie. Elles « glissent » au fond d'un creux de potentiel (voir figure qui suit). Il se forme autour du trou noir un disque de matière tournant à grande vitesse dans le plan équatorial. (C'est dans le plan équatorial que le puits de potentiel est le plus marqué.) On appelle ce disque un disque d'accrétion.

Toute particule attirée par le trou noir va être capturée par ce disque d'accrétion. En le traversant, elle interagit avec la matière qui tourne à une vitesse effrénée dans ce disque et elle dissipe une partie de son énergie sous forme de rayonnement. De ce fait, elle se retrouve à son tour piégée dans un puits de potentiel, même si son énergie propre était suffisante à l'origine pour lui éviter cette chausse-trappe.

Ce processus ressemble à une descente aux enfers. A mesure que les particules perdent leur énergie, elles s'approchent du point correspondant à l'orbite de rayon minimum (courbe bleu-clair de la figure). Une fois ce point atteint, l'issue est inexorable : elles plongent en direction du trou noir. Le disque d'accrétion perd donc constamment de la matière au bénéfice du trou noir... mais cette matière est remplacée par celle qu'il capture !

Comme on l'a vu, la clef pour comprendre ce mécanisme de capture de la matière et la lente descente aux enfers qui s'en suit réside dans le fait que le disque d'accrétion transforme une partie de l'énergie propre de cette matière en rayonnement et que ce rayonnement s'échappe du disque. L'énergie rayonnée correspond à « l'énergie de liaison » dont nous avons parlé au début de ce paragraphe. Or, la quantité d'énergie correspondant au facteur (1 - K) cité plus haut est tout simplement effarante ! Dans les cas extrêmes (pour alpha = r_s/2 par exemple) elle peut atteindre jusqu'à 40% de l'énergie de masse. C'est tout simplement colossal ! Rappelons que la réaction de fusion à l'oeuvre dans les étoiles ne transforme « que » 0,7 % de la masse de l'hydrogène en rayonnement et que c'est suffisant pour alimenter une étoile pendant des milliards d'années... Même en prenant des valeurs plus réalistes de alpha, le facteur (1 - K) reste considérable : il dépasse 10% pour un trou noir jeune dont l'énergie cinétique est intacte. Le rendement énergétique est donc incomparablement plus efficace que celui de la fusion thermonucléaire !

C'est cette énergie qui est à l'origine du puissant rayonnement des quasars. Les quasars ont été découverts au début des années 50. Ils ont été baptisé ainsi (quasi stellar radio source) en raison de l'intensité de leur rayonnement radiofréquence. Ce n'est que dans les années 80 que l'on a commencé à comprendre le mécanisme de leur fonctionnement et qu'on les a associés à des trous noirs super-massifs. L'énorme coefficient de conversion de l'énergie de masse en photons (10 à 20%) qui est à l'Å“uvre au sein du disque d'accrétion explique l'extraordinaire puissance de leur rayonnement. Le rayonnement des quasars associés aux trous noirs les plus massifs est plus puissant que celui d'une galaxie ! Leur puissance peut atteindre dans certains cas 10⁴⁰ W. A titre de comparaison, le soleil rayonne 3,8 10²⁶ W...

C'est cette exceptionnelle puissance qui explique que l'on peut observer des quasars situés à des milliards d'années-lumière. Ce sont les objets les plus lumineux de l'Univers. L'éloignement des quasars conduit à un redshift cosmologique important, d'où l'intensité du rayonnement radiofréquence.

Le rayonnement d'un quasar n'est pas sa seule particularité. La matière ionisée qui tourne frénétiquement dans le disque d'accrétion engendre un champ magnétique énorme. Celui-ci est à l'origine de jets de matière (principalement des électrons et des positrons mais aussi des protons) à une vitesse proche de celle de la lumière dans la direction des pôles. Ces jets de matière interagissent avec la matière interstellaire et forment des lobes de gaz luminescent qui s'étendent sur des millions d'années-lumière.