Considérons le cas d'une particule suffisamment petite pour que sa masse et son déplacement ne perturbent pas l'espace-temps. La théorie de la relativité générale nous dit qu'une particule libre (c'est à dire soumise aux seules forces de la gravitation) suit un mouvement inertiel dans cet espace-temps.

Dans l'espace euclidien de la mécanique newtonienne, un corps en mouvement inertiel suit une ligne droite. La ligne droite est le plus court chemin pour aller d'un point à un autre. Dans l'espace courbe de la relativité générale, le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est une géodésique. Une particule libre suit donc une géodésique.

Nous avons montré dans un post précédent que les points d'une géodésique respectaient l'équation suivante :

Dans cette équation, les coefficients Gamma^k_munu sont les symboles de Christoffel de la métrique g_munu.

Conservation du vecteur vitesse

Nota : Dans tout ce qui suit, nous utiliserons un système d'unités dans lequel la vitesse de la lumière c = 1. .

La démonstration de l'équation des géodésiques s'appuie sur des considérations purement géométriques. Il n'est pas inutile de la resituer dans un contexte plus « mécanique » pour se convaincre de sa pertinence et en comprendre la signification. Revenons donc à notre particule de faible masse. Comme nous l'avons indiqué plus haut, les lois de la mécanique newtonienne nous indiquent qu'en l'absence de toute force extérieure une telle particule suit un mouvement inertiel. Un mouvement inertiel est caractérisé par la conservation du vecteur vitesse :

Nous allons chercher à transposer cette condition dans l'espace-temps de la relativité générale. Soit v^alpha le quadrivecteur vitesse de la particule considérée. La conservation du quadrivecteur vitesse au cours du mouvement inertiel de cette particule conduit à écrire :

tout au long de la trajectoire. Dans un cadre classique (euclidien) cela revient à écrire :

équation dans laquelle x^beta représente les coordonnées de la particule le long de sa trajectoire. Comme nous l'avons vu dans les posts d'introduction aux tenseurs, ceci n'est pas applicable dans un espace courbe. Il faut utiliser la notion de dérivée covariante en lieu et place de la dérivée partielle pour s'affranchir des termes parasites liés à la courbure. Ceci conduit à écrire :

L'opérateur Nabla_beta étant l'opérateur de dérivée covariante suivant la coordonnée d'indice beta (le symbole Nabla est représenté par un triangle inversé). Or, par définition du quadrivecteur vitesse, on a :

Ceci amène à la formulation suivante :

C'est la condition de conservation du quadrivecteur vitesse d'une particule tout au long de sa trajectoire. Sachant que, par définition de la dérivée covariante :

il vient :

... ce qui nous ramène à l'équation des géodésiques :

Une particule dont le quadrivecteur vitesse est conservé suit donc une géodésique.

Analysons cette formule. Son équivalent en mécanique classique est l'équation gamma = 0 (gamma étant l'accélération) qui indique qu'une particule suit un mouvement uniforme. Or, en mécanique relativiste le mouvement inertiel intègre les effets de l'attraction gravitationnelle. Il n'est donc pas anormal que le terme d'accélération (la dérivée seconde de x^alpha) ne soit pas nul. D'une certaine manière, on peut dire que, dans l'espace-temps de la relativité générale, le champ gravitationnel se manifeste au travers du symbole de Christoffel. C'est le terme Gamma^alpha_sigmabeta qui conduit à ce que nous interprétons comme « l'accélération de la particule » en mécanique classique.

Formulation lagrangienne

Au cours du XVIII^ème siècle Joseph-Louis Lagrange a reformulé les lois de la mécanique newtonienne en les dérivant du principe de moindre action. C'est d'ailleurs en hommage à sa contribution décisive à la mécanique qu'on écrit aujourd'hui ce principe en utilisant une quantité appelée « lagrangien ».

En l'absence de tout potentiel de force, le lagrangien représente l'énergie cinétique du système considéré. Il est tentant d'adapter cette notion à la relativité en définissant un lagrangien relativiste qui peut s'écrire comme suit :

Si le principe de moindre action continue de s'appliquer au mouvement d'une particule dans l'espace-temps de la relativité générale, on doit pouvoir retrouver l'équation des géodésiques en recherchant la trajectoire qui minimise l'intégrale du lagrangien L. La solution à ce problème s'obtient une fois encore en appliquant le théorème d'Euler-Lagrange :

Le tenseur g_munu ne dépend pas explicitement de x_point^mu. On peut donc écrire l'équation qui précède sous la forme suivante :

Développons le deuxième terme :

En renommant convenablement les indices qui apparaissent dans les sommes (leur choix est arbitraire), l'équation d'Euler-Lagrange peut s'écrire :

Cette équation est précisément celle qui nous a conduit à l'équation des géodésiques :

Il y a équivalence entre les deux approches : celle issue de la géométrie et celle issue de la mécanique lagrangienne.

Invariance du quadrivecteur impulsion

On peut remarquer que l'équation du lagrangien est l'expression du carré de la norme du quadrivecteur vitesse multiplié par 1/2m. Or la norme de la quadrivitesse est égale à 0 ou à 1 selon que la particule est un photon ou une particule massive (c'est un résultat que nous avons déjà rencontré dans les posts consacrés à la relativité restreinte) :

Il suffit pour s'en convaincre d'écrire que :

Or, dans le cas d'une particule massive, il y identité entre ds et dtau alors que, dans le cas d'un photon, ds est nul.

On peut donc écrire pour n'importe quelle particule :

Cette équation est la forme relativiste de la loi de conservation de l'énergie. On peut aussi l'écrire sous la forme suivante :

Soit encore :

où p^mu représente le quadrivecteur énergie-impulsion de la particule, p_mu sa forme covariante et m²epsilon² l'énergie de masse (epsilon est égal à 0 pour un photon et à 1 pour une particule massive). Cette équation est l'extension à la relativité générale de la fameuse équation de conservation de l'énergie d'Einstein :

E²/c² - p² est en effet la norme du quadrivecteur énergie-impulsion dans l'espace-temps minkowskien et, par ailleurs, m²epsilon² = m²c⁴ dans notre système d'unités (c = 1).

Si l'on reprend la définition de l'impulsion dans l'approche lagrangienne de la mécanique classique, on peut écrire (voir les posts sur la mécanique newtonienne) :

Ceci est aussi applicable en relativité générale :

(Le terme de dérivée apparaît deux fois et g_munu ne dépend pas explicitement de x_point_mu.) Reprenons l'équation d'Euler-Lagrange appliquée au lagrangien. On peut l'écrire comme suit :

En remplaçant L par sa valeur littérale il vient :

Ceci permet de mettre en évidence un résultat remarquable. La composante covariante de l'impulsion p_alpha d'une particule libre est invariante tout au long d'une géodésique si le tenseur métrique est indépendant de la coordonnée x^alpha.

C'est une extension à la relativité générale d'un résultat bien connu en mécanique newtonienne : la conservation du moment cinétique. Le cas échéant, ce résultat s'applique également à la coordonnée temporelle x⁰. On retrouve dans ce cas l'équation de conservation de l'énergie puisque la composante temporelle du quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule est égale à son énergie E divisée par c.