Avant de nous intéresser aux trous noirs en rotation, nous allons faire un bref retour sur la métrique de Schwarzschild. Ce n'est pas ce qu'il y a de plus drôle mais il faut en passer par là avant de s'attaquer à des choses plus complexes. Nous allons étudier les différentes orbites que peut suivre une particule libre dans la métrique de Schwarzschild (la métrique étant statique, c'est à dire invariable dans le temps, la notion d'orbite ou de trajectoire a un sens). On appelle particule libre une particule qui n'est soumise à aucune autre force que celle de la gravité. Nous supposerons la masse de cette particule négligeable devant celle du corps central, donc sans effet sur la métrique. (Avec une telle hypothèse, on peut d'ailleurs considérer que la planète Mercure, ou même la Terre, sont de simples particules par rapport au Soleil !) Enfin, pour simplifier les équations, nous allons utiliser un système d'unités tel que la vitesse de la lumière soit égale à une unité de longueur par unité de temps. Pour dire cela autrement, notre unité de longueur fera 300000 km au lieu d' un mètre. Dans ce système, la vitesse sera directement exprimée en proportion de la vitesse de la lumière.

Rappelons tout d'abord que la symétrie sphérique de la métrique de Schwarzschild permet de choisir à sa convenance le référentiel, ce qui permet d'étudier de façon générique toute géodésique dans un plan équatorial (et donc de se débarrasser de la coordonnée theta). Rappelons ensuite que la forme particulière de la métrique simplifie considérablement les équations obtenues en appliquant le principe de moindre action au lagrangien relativiste d'une particule libre évoluant dans l'espace-temps :

En effet, dans le cas de la métrique de Schwarzschild, la formule ci-dessus permet d'aboutir très directement aux deux équations suivantes :

K est un paramètre sans dimension qui est égal à l'énergie propre de la particule divisée par son énergie de masse (E = mc²). Le terme Lc est représentatif de son moment cinétique angulaire par unité de masse. Lc s'exprime en ul²/s, ul étant notre nouvelle unité de longueur. Par définition, nous avons posé ul/s = c = 1. Dans notre système d'unités, L et Lc ont donc la même valeur numérique. De ce fait, dans la littérature scientifique, on fait souvent l'amalgame entre les deux et on omet d'écrire le terme c dans les équations quand c'est nécessaire.

La composante p_r du quadrivecteur énergie-impulsion ne se prête pas à une simplification aussi drastique. En effectuant des substitutions astucieuses, on parvient cependant aux équations suivantes :

(On remarquera que la première équation est symétrique : elle admet des solutions positives et négatives.) Ces équations nous permettent de faire un parallèle avec la mécanique classique dans laquelle on peut écrire :

le premier terme étant l'énergie cinétique de la particule et le second son énergie potentielle gravitationnelle. La différence réside essentiellement dans la forme du potentiel. Il existe en effet un terme en 1/r³ dans la formulation relativiste qui n'existe pas en mécanique newtonienne. Il est facile de voir que ce terme n'a qu'une influence négligeable dès lors que r est grand devant r_s. Une influence négligeable mais qui peut être perceptible sur le plan astronomique : voir ce qui est dit plus bas au sujet de la précession du périhélie de Mercure.

La formulation relativiste du potentiel conduit à une famille de courbes illustrée par la figure qui suit.

L'allure générale de la courbe de potentiel dépend de la valeur de L. Elle peut présenter ou non une forme de « cuvette ». Lorsque cette cuvette existe, le point le plus bas correspond au rayon r₂ (voir figure plus bas) tel que :

La valeur de L en-deçà de laquelle il n'y a pas de cuvette est égale à :

Les différentes trajectoires possibles

Afin de rentrer un peu plus dans les détails, examinons les différents cas possibles sur la figure qui suit. Elle représente la courbe de potentiel pour une valeur de L supérieure à L_min. Les trajectoires possibles sont des horizontales dont l'ordonnée est égale à K². On voit sur cette figure qu'il existe une valeur de potentiel V₁ qui fait figure de « barrière de potentiel ». Si l'énergie de la particule est supérieure à cette barrière, celle-ci peut atteindre l'horizon des événements et elle disparaitra à tout jamais.

Remarque : en réalité, une analyse plus attentive conduit à identifier des couples (K, L). Ces deux valeurs ne sont pas indépendantes l'une de l'autre.

Si l'énergie est inférieure à V₁ mais supérieure à V(infini), c'est-à-dire à la valeur du potentiel pour r infini, la trajectoire est définie de r_a à r infini. Cela signifie qu'une fois lâchée depuis une position très éloignée, la particule va tout d'abord accélérer sous l'effet de l'attraction du trou noir. En approchant de la barrière de potentiel sa trajectoire sera déviée mais elle continuera sa course en évitant celui-ci. Pendant la première phase, la particule parcourt la trajectoire violette en venant de la droite. Le point le plus proche du centre du trou noir est caractérisé par la coordonnée r_a. Une fois arrivé en r_a, le point qui représente le mouvement de la particule repart vers la droite et parcourt la ligne horizontale dans l'autre sens (l'équation qui régit la dérivée de r est symétrique).

Si l'énergie est inférieure à V(infini) mais supérieure à V₂ la trajectoire n'est définie qu'entre r_b et r_c (le segment rouge sur la figure ci-dessous). La trajectoire de la particule va osciller entre ces deux valeurs. Ceci correspond en pratique à une orbite quasi elliptique dont le périastre est égal à r_b et l'apogée à r_c. La trajectoire de la particule oscille entre ces deux points sur la courbe rouge.

Enfin, si l'énergie est égale à V₂ la trajectoire est tout simplement circulaire. Le rayon de l'orbite circulaire est égal à r₂. La valeur de K correspondant à cette orbite est telle que :

(Le rayon restant constant la dérivée de r est nulle.) Un calcul simple (mais un peu fastidieux) permet de déterminer la vitesse de la particule sur son orbite. Elle est maximale lorsque r₂ est minimal. Elle peut atteindre 40% de la vitesse de la lumière (dans le référentiel d'un observateur lointain) pour r₂ = r_2min.

Lorsque L est égal à L_min, V₁ et V₂ sont égaux et le minimum est instable (c'est la courbe en bleu en dessous de toutes les autres dans la figure représentant les courbes de potentiel au paragraphe précédent). En-deçà, il n'y a plus d'orbite circulaire possible (ni d'orbite elliptique d'ailleurs). Ceci signifie qu'il n'existe pas d'orbite stable de rayon inférieur à :

Cette limite a une grande importance dans la description des phénomènes liés aux trous noirs. Ceux-ci ont en effet tendance à entraîner la matière qui s'approche trop près dans un mouvement de rotation autour d'eux. Il se forme alors un disque d'accrétion. Le gaz qui circule à grande vitesse dans ce disque rayonne : il perd donc de l'énergie. Cette perte d'énergie le conduit progressivement à glisser sur une courbe de potentiel plus basse et qui se rapproche inexorablement de la courbe correspondant à la valeur limite L_min. Il arrive un moment ou cette limite est atteinte et la matière plonge définitivement vers le trou noir.

Ce phénomène est illustré par la figure qui suit. La « bille » représente une particule de matière à différents moments de son existence. Elle perd progressivement de l'énergie. Cela a un impact sur sa courbe de potentiel qui s'abaisse lentement (le moment cinétique angulaire de la particule diminue). De fait, la particule décrit un mouvement en spirale autour du trou noir avant de décrocher définitivement et de disparaître à tout jamais. Cette perte continue d'énergie des particules qui le composent explique le rayonnement du disque d'accrétion qui peut être très intense (rayonnement X).

Précession du périhélie de Mercure

Revenons au cas d'une orbite elliptique. L'équation qui donne le moment cinétique angulaire permet de coupler l'évolution de phi avec celle de r. Or, la résolution des équations montre qu'il y a un léger décalage entre la période d'oscillation de r et le temps que met l'angle phi à parcourir 2pi radians. Il en résulte un mouvement de précession du périastre que ne prédit pas la mécanique newtonienne. Ce mouvement de précession est connu des astronomes depuis la fin du XIXème siècle dans le cas de la planète Mercure (précession du périhélie de Mercure). La théorie de la relativité générale l'explique. Cette prédiction est la première (chronologiquement parlant) des innombrables preuves qui supportent la validité de cette théorie. Elle a, depuis, été confirmée dans le cas de nombreux systèmes binaires d'étoiles.

Métrique de Kerr

La métrique de Schwarzschild donne une excellente approximation des propriétés de l'espace-temps autour d'un astre. Mais ce n'est qu'une approximation : toutes les étoiles ont un moment cinétique angulaire propre. Il convient de tenir compte de ce moment cinétique dans la métrique dans la mesure où il peut représenter une part non négligeable de l'énergie de l'astre considéré... et que toute forme d'énergie courbe l'espace d'une manière ou d'une autre.

La découverte d'une solution de l'équation d'Einstein pour un corps en rotation revient à Roy Patrick Kerr. Cette métrique a permis aux astrophysiciens de faire un pas de géant dans leur compréhension des phénomènes célestes... et en particulier dans celle des trous noirs. Nous aborderons cette métrique dans les posts qui vont suivre.