Extraire de l'énergie d'un trou noir ? L'idée paraît saugrenue... et pourtant c'est possible. Il suffit pour cela d'en avoir un sous la main. Et la technologie nécessaire, bien sûr !

Le mathématicien et physicien anglais Roger Penrose a en effet montré qu'il était théoriquement possible de transformer un trou noir de Kerr en une centrale d'énergie spatiale. Il suffit pour cela de lancer en direction du trou noir des objets programmés pour se dissocier à l'intérieur de l'ergosphère. L'un des morceaux peut ressortir avec une énergie supérieure à celle de l'objet entrant. Il est hautement improbable qu'il soit possible de réaliser une telle centrale dans un avenir même lointain mais l'explication théorique de ce phénomène a un pouvoir pédagogique certain. Pour corser le tout, nous allons utiliser dans la démonstration la notion de vecteurs de Killing présentée dans un post précédent.

Equation dynamique d'une particule

Dans ce qui suit, nous allons supposer l'objet suffisamment petit par rapport au tour noir pour être décrit par les équations d'une particule libre. Rappelons l'équation qui décritla dynamique d'une particule dans le plan équatorial d'un trou noir de Kerr :

On se place dans le cas où epsilon² = 1 (particule massive). On peut réécrire l'équation qui précède sous la forme suivante :

b et c étant deux expressions qui font intervenir les différents paramètres de l'équation dynamique ci-dessus. On reconnait dans le deuxième terme du membre de droite un polynôme du second degré en E. On peut reformuler cette équation comme suit :

avec :

La figure qui suit montre les courbes donnant la valeur de K+ et K- en fonction de r pour différentes valeurs de L, qu'elles soient positives ou négatives (figures 1 et 3) et pour alpha nul (figure 2). La zone correspondant à des valeurs de E telles que K- < E < K- est interdite puisqu'elle conduirait à une valeur de dr²/dtau négative. Lorsque alpha est nul (trou noir de Schwarzschild), on voit que K- = -K+.

Valeurs des potentiels K+ et K- en fonction du rayon r pour différentes valeurs de L et de alpha.

Processus de Penrose

Supposons que l'on projette une particule dont le quadrivecteur énergie-impulsion est p_(in) et l'énergie E_(in) en direction d'un trou noir de Kerr.

Soient K^mu et L^mu les deux vecteurs de Killing associés à la métrique de Kerr définis comme suit :

Les deux quantités suivantes sont conservées tout au long d'une géodésique :

A l'intérieur de l'ergosphère, on sépare p_(in) en deux particules p₍₁₎ et p₍₂₎ en faisant en sorte que l'une des deux reste dans l'ergosphère (et plonge vers le trou noir) tandis que l'autre en ressort. Durant cette opération, le quadrivecteur énergie-impulsion est conservé :

La composante énergie de ce vecteur est elle aussi conservée :

A l'extérieur de l'ergosphère, le vecteur K^mu est du genre temps. En effet :

et g_tt est positif. Ceci est cohérent avec le fait que l'énergie propre est toujours positive dans le monde qui nous entoure. Par contre, une fois franchie la limite de l'ergosphère, le signe de g₀₀ s'inverse et K^m est de genre espace. Cela signifie que la composante q₀ de son quadrivecteur énergie-impulsion peut être positive ou négative ! Il est donc tout à fait possible de faire en sorte que la valeur de E₍₁₎ soit négative en exploitant la forme particulière du potentiel effectif lorsque L est négatif. Dans ce cas, la composante :

du quadrivecteur énergie-impulsion de l'une des deux particules produites peut en effet prendre une valeur négative. Dans l'ergosphère, tout se passe comme si le temps était devenu une variable espace ! La composante E₍₁) y a donc toutes les caractéristiques d'une composante de type impulsion. Dans ces conditions, il est tout à fait possible que l'énergie de la particule sortante E₍₂₎ soit supérieure à l'énergie entrante E_(in) :

Comme nous l'avons indiqué plus haut, il faut pour cela que son moment cinétique soit négatif. On le voit dans la figure qui suit : l'énergie totale (cinétique et potentielle) d'une particule peut être négative dès lors que L est négatif. C'est le cas dans la zone colorée en rose de la figure qui suit. Avec les paramètres choisis pour cette courbe, le rayon extérieur de l'ergosphère est égal à 2 et le rayon intérieur r_s est égal à 1.43.

Valeurs des potentiels K+ et K- en fonction du rayon pour L négatif et alpha = 0,45 r_s. La valeur r_H correspond au rayon intérieur de l'ergosphère.

La particule sortante a donc « extrait » de l'énergie du trou noir. Cette énergie ne peut pas diminuer la masse « irréductible » du trou noir (le coefficient M de l'équation de la métrique de Kerr). Elle provient donc de l'énergie cinétique de rotation de celui-ci. Le mécanisme de Penrose consiste à transformer une partie de l'énergie cinétique de rotation du trou noir en énergie cinétique de l'objet sortant. Il suffit dès lors de récupérer cette énergie pour transformer le trou noir en centrale électrique.... Plus facile à dire qu'à faire.

On peut montrer que la quantité maximale d'énergie qui peut être extraite d'un trou noir de Kerr est égale à 29% de son énergie de masse, ce qui confèrerait à la machine de Penrose un rendement hyperefficace ! Rappelons que la fusion nucléaire ne peut extraire que 0,7% de l'énergie de masse du combustible hydrogène...