Nous allons voir comment on peut utiliser facilement les quantités introduites par la relativité restreinte en relativité générale. Cela permet d’analyser localement le comportement dynamique d’un corps en mouvement par rapport à un observateur sans passer par le formalisme plus complexe de la relativité générale.

Facteur de Lorentz

Soient deux observateurs O et O' dont les lignes d’Univers L_O et L_O' se coupent en un point M de l’espace-temps. On définit le facteur de Lorentz gamma de O' par rapport à O en M comme suit :

Soient u et u' les quadrivitesses de O et O' au point M. Soit v la vitesse relative de O' par rapport à O. La transformation de Lorentz s’applique :

La vitesse v est la vitesse d’éloignement de O' dans le référentiel de O. En relativité restreinte, cette vitesse d’éloignement est représentée par un vecteur qui se trouve dans « l’espace de simultanéité » de O border="0">. On peut procéder de manière similaire en relativité générale. En relativité générale, on peut montrer que tout point M' appartenant au voisinage de M et dont on peut démontrer qu’il est simultané avec M est tel que :

MM' étant le quadrivecteur reliant M à M'. L’ensemble des points M' forme une hypersurface qui est parfois appelée « espace local de repos » de M. On peut donc écrire :

En combinant les équations précédentes il vient :

Rappelons que u.u=1 par construction de la quadrivitesse. En calculant le carré de la norme de u' on retrouve l’équation de la relativité restreinte permettant de calculer gamma à partir de la vitesse d’éloignement de O' :

Quadrivecteur énergie-impulsion

Le quadrivecteur énergie-impulsion se définit de la même façon qu’en relativité restreinte :

Tout comme en relativité restreinte on vérifie que :

Soit un observateur O qui suit une ligne d’Univers L_O . Soit A une particule qui suit une ligne d’Univers L_A qui coupe L_O en M. Soit p le quadrivecteur énergie impulsion de cette particule. L’énergie de A mesurée par l’observateur O s’écrit :

Ceci permet de retrouver l’équation d’Einstein. En effet, soit Q la quantité de mouvement (au sens classique du terme) de la particule. Par définition, le vecteur Q appartient à « l’espace local de repos » de M dans le référentiel de O. On a donc :

On peut exprimer Q comme suit :

... ou encore :

Figure 1 : Décomposition du quadrivecteur énergie-impulsion d’une particule.

Dans cette formule, on voit que E/c intervient comme la composante énergie du quadrivecteur p et Q comme la composante impulsion dans l’espace local au repos. En calculant le carré de la norme de p et en le multipliant par c₂ il vient :

… ce qui est bien l’équation d’Einstein de la relativité restreinte !