Einstein a conçu la relativité restreinte dans le but d’éliminer l’incompatibilité entre la mécanique newtonienne et l’invariance de la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques. Nous avons montré quelles étaient les conséquences de la relativité sur l’énergie et le temps. Il nous reste à vérifier son impact sur les lois de l’électromagnétisme. La théorie a-t-elle atteint son objectif ? En physique classique, les lois qui déterminent le comportement des ondes électromagnétiques sont les équations de Maxwell :

avec :

E et B sont respectivement le champ électrique et le champ magnétique, j est le vecteur courant et les charges électriques sont représentées par rho. La quantité epsilon₀ est appelée permittivité diélectrique et la quantité mu₀ perméabilité magnétique. La première et la troisième équation sont dites sans terme de source, la seconde et la quatrième avec termes de source. Si E et B respectent ces équations, on peut montrer que :

où phi est un potentiel électrique scalaire et A un potentiel vecteur. On dit que E et B dérivent des potentiels A et phi. La mauvaise nouvelle est que le couple de potentiels (phi, A) n'est pas défini de manière unique. Toute transformation définie par :

conduit aux mêmes valeurs de champ E et B. La bonne nouvelle est qu'on peut choisir un couple de potentiels qui simplifie les écritures en imposant une condition judicieuse sur A et phi. Une telle condition s'appelle une jauge. La jauge que l'on choisit généralement est la jauge de Lorentz qui s'exprime comme suit :

Elle présente l'énorme avantage de conduire à des équations de propagation des potentiels facilement interprétables :

Ces équations sont caractéristiques d'un champ se déplaçant à la vitesse c.

Equations relativistes

Jusqu'à présent, nous sommes restés dans un cadre tout ce qu'il y a de plus classique. Comment passer au formalisme de la relativité restreinte ? Nous allons travailler dans un espace de Minkowski de signature (+,-,-,-). Construisons tout d'abord le quadrivecteur courant j^mu :

La formule qui précède utilise le formalisme des indices covariants. La raison pour laquelle on définit j^mu de la sorte s'éclaire si on fait l'analogie avec le quadrivecteur énergie-impulsion. D'une certaine manière le courant est à la charge électrique ce que l'impulsion est à la masse. Ceci nous conduit à construire de manière similaire le quadripotentiel A^mu :

Par définition des vecteurs covariants et contravariants on peut écrire :

éta_{mu nu} étant le tenseur associé à la métrique de Minkowski avec la signature (+,-,-,-). Ceci permet de reformuler la jauge de Lorentz sous la forme suivante :

De leur côté, les équations de propagation de ces potentiels s'écrivent comme suit :

Soit, de manière beaucoup plus condensée :

On reconnaît dans cette équation l'opérateur D'alembertien :

On peut donc réécrire les équations de propagation comme suit :

Cette équation est la forme caractéristique d'une équation de propagation à vitesse constante, cette vitesse étant égale au terme intervenant dans la définition du d'alembertien. On démontre que toute solution de l'équation ci-dessus peut être décomposée sous la forme d'une somme de termes tels que :

Revenons au quadripotentiel. Par construction, on peut lui appliquer la transformée de Lorentz pour passer d'un référentiel inertiel à un autre :

expression dans laquelle Lambda^mu_nu est le tenseur de Minkowski. L'équation de propagation du quadripotentiel Lambda'^mu respecte donc elle aussi l'équation du D'alembertien. Elle est donc conservée lors d'un changement de référentiel inertiel : on a bien construit une théorie de l'électromagnétisme dans laquelle la vitesse de propagation des champs est invariante et égale à c, ce qui était le but recherché.

Champ magnétique : un effet de la relativité restreinte ?

Si les axes des deux référentiels sont parallèles et que la vitesse de translation d'un référentiel par rapport à l'autre est dirigée suivant l'axe Ox on peut écrire :

avec :

Ce qui donne :

Examinons le cas d'une particule chargée se déplaçant à vitesse constante. Dans le référentiel de la particule au repos, seul le champ électrostatique est perceptible. Le champ magnétique est nul. Par contre, dans le référentiel où la particule est en mouvement il apparaît automatiquement un champ magnétique B'.

Ceci conduit certains auteurs à dire que le champ magnétique B est un effet de la relativité restreinte dans la mesure où il découle directement de la transformation de Lorentz du champ électrique généré par une charge électrique dans le référentiel où elle est au repos. Ceci peut d'ailleurs s'expliquer de la manière suivante. Dans le référentiel de la charge au repos, le champ E est à symétrie sphérique. Dans un référentiel en mouvement par rapport à la charge, cette symétrie est brisée (voir les équations qui donnent E' et B' ci-dessus). Le rotationnel du potentiel vecteur A' n'est plus nul, ce qui engendre le champ magnétique B'.

Tenseur électromagnétique

Il est cependant plus correct de dire que le champ électrique et le champ magnétique sont la manifestation d'un seul et même phénomène physique, ce dont Maxwell avait eu l'intuition. Ce phénomène peut être représenté par un objet mathématique appelé tenseur. Le tenseur électromagnétique se déduit comme suit du quadripotentiel A^mu :

avec :

Lors d'un changement de référentiel, la formule qui permet d'exprimer le nouveau tenseur en fonction de l'ancien est la suivante (c'est la formule générale de transformation des tenseurs lors d'un changement de référentiel) :

Dans ce qui précède et ce qui suit on utilise la convention de sommation d'Einstein :

Les équations de Maxwell s'écrivent dès lors comme suit :

pour les équations sans termes de source,

pour les équations avec termes de source. Ces équations sont bien conservées dans toute transformation de Lorentz.

Pour résumer ce qui précède, on peut donc dire les choses suivantes :

• Le quadripotentiel A^mu et le quadrivecteur courant j^mu se propagent à la vitesse de la lumière dans tous les référentiels inertiels.
• La formulation relativiste des lois de l'électromagnétisme est donnée par les équations ci-dessus.
• Lors du passage d'un référentiel inertiel à un autre référentiel inertiel, il suffit d'appliquer la transformation de Lorentz au tenseur représentant le champ électromagnétique pour obtenir sa valeur dans le nouveau référentiel.
• Le champ magnétique est, d'une certaine façon, une manifestation des effets de la relativité restreinte. La transformation de Lorentz transforme le champ électrique en champ magnétique (et réciproquement) tout comme elle transforme le temps en espace et l'espace en temps.