La théorie de la relativité ne se laisse pas facilement appréhender. Elle va à rebours de nos intuitions et ébranle les façons de penser les plus profondément ancrées en nous. Pour l'aborder et tenter de l'apprivoiser, il faut procéder par étape, y aller progressivement. C'est ce que je me propose de faire au fil de quelques posts...

Pour commencer, nous allons demander à Alice, responsable de notre labo d'expérimentation, de faire une petite expérience pour nous. Alice va prendre le TTGV (train à très très grande vitesse) avec le matériel qui suit : un générateur d'impulsions laser, deux capteurs optiques centrés sur la longueur d'onde du laser et couplés chacun à une horloge atomique miniature de très grande précision et un miroir semi-réfléchissant. Elle va installer le miroir semi-réfléchissant, un capteur et une horloge atomique à une extrémité d'une rame et elle va se placer à l'autre extrémité. La manip est simple, elle envoie une impulsion à un instant bien précis, mesuré grâce à son horloge atomique. L'impulsion traverse la rame, se réfléchit sur le miroir tout en déclenchant le capteur et l'horloge atomique associée, puis retraverse la rame dans l'autre sens avant d'être captée par le capteur-horloge d'Alice. Ceci permet à Alice de mesurer les temps de trajet aller et retour et de calculer la vitesse de la lumière.

Pas de surprise, les temps de trajet sont égaux et la vitesse de la lumière est conforme la valeur connue de tous les physiciens. Pendant qu'Alice fait ces constatations, son collègue Bernard est resté sur le quai et il fait les mêmes mesures avec un appareillage indépendant de celui d'Alice. Pour lui, les choses se présentent de manière un peu différente. Le trajet aller lui paraît plus long que le trajet retour : le train avance et l'impulsion laser parcourt une distance plus courte. Si le temps est le même pour tous, ce qui est l'hypothèse de base de la physique classique, Bernard devrait mesurer une vitesse plus grande à l'aller qu'au retour. Perdu... Alice et Bernard ont beau faire et refaire l'expérience, Bernard trouve que la vitesse est la même à l'aller qu'au retour et que sa valeur est égale à celle mesurée par Alice !

Voilà qui est surprenant, n'est-ce pas ? Cela contredit les lois les plus élémentaires de combinaison des vitesses. Bon, je vous entends d'ici. Tout cela est bien joli sur le papier mais impossible à vérifier dans la réalité ! L'écart est infime et impossible à mesurer. Détrompez-vous, l'expérience a été réalisée. En 1887 par Albert Michelson et Edward Morley. Le dispositif de mesure n'était bien évidemment pas celui que j'ai décrit. Pas d'horloges atomiques et de capteurs, la mesure se faisait par interférométrie. Le TTGV ? C'était tout simplement la Terre qui se déplace à 30 km/s par rapport au Soleil. Notre TTGV fait pâle figure à côté. Michelson et Morley ont réalisé des mesures pendant 6 mois d'affilée... et le résultat a été sans appel : ils n'ont pu détecter aucune différence de vitesse de la lumière quelle que soit l'orientation de leur dispositif de mesure. La vitesse de la lumière est constante quel que soit le référentiel dans lequel on la mesure.

L'expérience de Michelson et Morley ébranle les bases de la physique classique, et en particulier de la mécanique newtonienne. Celle-ci doit être repensée en tenant compte d'un nouveau paradigme : l'invariance de la vitesse de la lumière.

Relativité et simultanéité

Pour mieux comprendre l'impact de ce changement, interrogeons-nous sur la notion de simultanéité. C'est fondamental en physique si on veut mesurer une distance ou calculer une vitesse. Voilà une notion qui paraît très intuitive... Deux événements simultanés sont deux événements qui se passent au même moment. Ça sent bon la tautologie. Mais comment s'assurer qu'ils se passent effectivement au même moment ? C'est très facile si ces événements se déroulent en des lieux rapprochés, mais supposons que l'un se passe sur la Lune et l'autre sur Terre. Ou sur Mars. Il va falloir imaginer une procédure de synchronisation des horloges pour pouvoir garantir la simultanéité. Une telle procédure de synchronisation a été imaginée par Albert Einstein.

Pour bien comprendre cette procédure, nous allons travailler dans un Univers simplifié dans lequel nous allons envoyer en mission Alice et Bernard. Cet Univers n'a qu'une dimension spatiale. On ne peut se déplacer que vers la gauche ou vers la droite. Cela va nous permettre de représenter l'espace et le temps sur un schéma à deux dimensions. Nous placerons en abscisse la position dans cet Univers et en ordonnée le temps. Ou plus précisément, une grandeur égale à ct, le temps multiplié par la vitesse de la lumière : nous allons nous intéresser à des phénomènes qui ne se produisent qu'à de très grandes vitesses. Sur ce schéma, un observateur immobile sera représenté par une droite verticale (abscisse constante) et un rayon lumineux par une droite à 45 degrés.

Supposons qu'Alice, équipée d'un générateur d'impulsions laser et d'un ensemble capteur-horloge atomique, se positionne en un point et que Bernard, équipé d'un miroir semi-réfléchissant et d'un autre ensemble capteur-horloge atomique se place à distance. Tous deux restent immobiles. Alice émet une impulsion au temps t0, Bernard la capte au temps t1 et Alice reçoit l'impulsion réfléchie au temps t2. Pour Alice, les résultats sont faciles à analyser. L'impulsion a franchi la même distance à l'aller et au retour donc Bernard l'a captée au temps t'1 = (t2+t0)/2. Elle communique cette information à Bernard qui n'a plus qu'à « mettre à l'heure » son horloge atomique en l'avançant ou en la reculant de t'1 - t1. La procédure est simple, Alice et Bernard sont des expérimentateurs chevronnés et ils la maîtrisent parfaitement.

Au passage, on peut remarquer que tous les événements situés sur la droite horizontale qui passe par le point {0, c(t2+t1)/2} sont vus comme étant simultanés par Alice et Bernard. On appelle cette droite une droite de simultanéité.

Supposons maintenant, pour corser la chose, que Bernard prenne un TTGV après avoir synchronisé son horloge avec celle d'Alice. Une fois le TTGV parti, nous allons demander à Bernard d'appliquer la procédure de synchronisation depuis son siège. Bernard va donc émettre une impulsion en direction du miroir d'Alice et attendre l'impulsion réfléchie en retour. De son point de vue, pas de changement par rapport au cas précédent. S'il reporte ses résultats sur un schéma du même type que celui de la figure ci-dessus, sa nouvelle droite de simultanéité lui apparaitra toujours comme une droite horizontale. Mais qu'en est-il du point de vue d'Alice ? Souvenons-nous de l'exemple du train au début de ce post. Pour elle, le trajet aller de l'impulsion n'est pas le même que le trajet retour. La figure qui suit illustre son point de vue. La seule chose qui n'a pas changé, c'est l'inclinaison des droites qui représentent les trajets lumineux : 45 degrés, puisque la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels. Mais si elle consulte l'horloge de son capteur et qu'elle compare le résultat de sa mesure avec celle que lui communiquera Bernard, elle constatera une différence notable. Deux événements que Bernard jugera simultanés ne le sont pas pour elle. Et, de fait, la droite de simultanéité de Bernard n'est pas horizontale dans le référentiel d'Alice...

C'est très déroutant ! D'autant que, en fonction des points de vue, un événement perçu par Alice comme antérieur par rapport à un autre peut être perçu comme postérieur par Bernard. C'est le cas pour l'événement 1 et l'événement 2 dans la figure qui suit. Pour Alice, 1 précède 2 alors que Bernard jugera que c'est 2 qui s'est produit en premier.

Pas de panique. La pise de la Bastille n'a pas précédé la bataille de Marignan pour les habitants de la planète Krypton. Tout d'abord cela ne peut se produire que si la vitesse de Bernard est grande (de l'ordre de grandeur de la vitesse de la lumière) ou pour des événements très éloignés... Et c'est impossible si les deux événements sont liés par un lien de causalité. Il faut en effet que la pente de la droite qui relie les deux événements sur notre schéma soit inférieure à 45 degrés (un simple coup d'œil au schéma suffit pour s'en convaincre). Pour qu'un lien de causalité existe entre ces deux événements, il faudrait que l'information circule à une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière pour passer de l'un à l'autre, ce qui est impossible. A l'inverse, l'événement 3 sera toujours perçu par Alice et Bernard comme postérieur à l'événement 1. La pente de la droite qui relie ces deux événements est supérieure à 45 degrés et il peut exister une relation de causalité entre eux.

Transformation de Lorentz

Il est possible, comme on l'a vu ci-dessus, de déterminer de manière géométrique le passage d'un référentiel à un autre. Il existe bien sûr une façon analytique : on la doit à Hendrik Lorentz, un physicien néerlandais qui a réfléchi sur les conséquences de l'expérience de Michelson et Morley dès la fin du XIXème siècle. Les travaux de Lorentz ont beaucoup intéressé le mathématicien Henri Poincaré qui s'est employé à les diffuser. Poincaré a entrevu les conséquences des formules de Lorentz sur l'espace et le temps. Il a même évoqué dans une publication la possibilité que le temps ne soit pas une donnée absolue... Mais ni lui ni Lorentz n'ont eu l'audace de pousser le raisonnement jusqu'au bout. C'est un jeune fonctionnaire de l'office des brevets de Berne, Albert Einstein, qui formulera en 1905 une théorie qui réconcilie invariance de la vitesse de la lumière et mécanique. Cette théorie bouleverse notre conception de l'espace et du temps : c'est la relativité restreinte.

Contentons-nous pour le moment d'expliciter la transformation de Lorentz. Soit v la vitesse de Bernard par rapport à Alice. Soit béta le paramètre défini comme suit :

Les coordonnées (ct, x) s'écrivent en fonction des coordonnées (ct', x') de la manière suivante :

La transformée inverse en découle directement :

Le facteur gamma ci-dessus est défini comme suit :

Il est appelé facteur de Lorentz. Il permet de quantifier l'effet relativiste. Il est facile de voir que cet effet est totalement imperceptible à l'échelle des vitesses que nous connaissons sur terre. Il faut atteindre des vitesses dites « relativistes » (significatives par rapport à la vitesse de la lumière) pour qu'il se fasse sentir nettement. A 50% de la vitesse de la lumière, l'effet reste cependant limité. A 90% les durées sont plus que doublée et à 99% le facteur multiplicateur est supérieur à 7 ! De telles vitesses se rencontrent dans les accélérateurs de particules. L'effet relativiste a pu être vérifié précisément en mesurant la durée de vie des particules instables. Les prédictions de la relativité restreinte ont été vérifiées avec une grande précision. Elles l'ont été également en comparant la fréquence des horloges atomiques à bord des satellites (ou de la station spatiale internationale) avec celle des horloges restées au sol.

Prenons le train avec Lorentz

Nous voici équipés des outils mathématiques nécessaires pour revenir sur notre problème de train du début. Vous allez voir, tout s'explique de manière limpide. Pour simplifier les calculs autant que possible, nous allons supposer qu'Alice envoie son impulsion au temps t'0 = 0 et nous allons fixer l'origine des abscisses au point où elle se trouve. Nous allons également supposer que la rame de TTGV a une longueur L. Dès lors, il est facile de voir que l'impulsion envoyée par Alice va atteindre le point d'abscisse L (le miroir semi-réfléchissant) au temps L/c et revenir au temps 2L/c.

Nous pouvons en déduire facilement les coordonnées de ces différents événements dans le référentiel de Bernard :

Pas de difficulté non plus pour calculer la vitesse de la lumière sur les deux segments :

On vérifie bien que l'impulsion voyage à la vitesse de la lumière à l'aller et au retour dans le référentiel de Bernard.

Espace-temps

Profitons de cet exemple pour faire quelques remarques. Comme on le voit, l'effet relativiste ne touche pas que la variable temps : les longueurs sont également affectées. C'est d'ailleurs ce qui permet de conserver invariante la vitesse de la lumière. Mais ce n'est pas tout, au cours d'un changement de référentiel, le temps et l'espace se transforment l'un dans l'autre. Dans le calcul que nous avons fait, l'intervalle de temps (t1-t0) intervient dans la détermination de la longueur du premier segment dans le référentiel de Bernard et la longueur L intervient dans la détermination de l'intervalle de temps (t'1-t'0) ! En relativité restreinte, temps et espace sont intimement liés. Ce ne sont plus deux paramètres indépendants comme dans la mécanique newtonienne. C'est le sens profond de la notion d'espace-temps. La notion d'espace-temps a été introduite en 1906 par le mathématicien d'origine russe Hermann Minkowski. Pour la petite histoire, Einstein a d'abord été réticent à l'utiliser. Il s'est ravisé par la suite et en a fait un usage immodéré...

Dans notre exemple, l'espace-temps n'a que deux dimensions. Dans le cas général, il en a 4 : trois dimensions d'espace et une dimension temporelle. Il a cependant une particularité : ce n'est pas un espace euclidien. L'espace à 3 dimensions qu'on nous a enseigné au collège est euclidien : les axiomes de la géométrie euclidienne y sont vérifiés et le théorème de Pythagore nous permet de calculer n'importe quelle distance. Dans un espace euclidien, les distances sont conservées par translation et par rotation. C'est en particulier le cas pour un changement de référentiel galiléen : c'est-à-dire le passage d'un référentiel à un autre référentiel en mouvement uniforme par rapport au premier.

Ce n'est pas le cas, on l'aura compris dans l'espace-temps de Minkowski. Le théorème de Pythagore ne s'applique pas à la dimension temporelle et les distances au sens classique du terme ne sont pas invariantes dans un changement de référentiel galiléen. C'est la vitesse de la lumière qui est le nouvel invariant de cet espace. De fait, la quantité :

est toujours conservée dans un changement de référentiel de ce type. Cette quantité est la distance minkowskienne. Elle peut être positive, négative ou nulle (contrairement à la distance euclidienne qui est toujours positive ou nulle). Lorsqu'elle est positive, l'intervalle est de genre temps, lorsqu'elle est négative, il est de genre espace et lorsqu'elle est nulle il est de genre lumière. Nous retrouvons ici une propriété que nous avons évoquée précédemment : deux points séparés par un intervalle de genre temps peuvent être reliés causalement alors que deux points séparés par un intervalle de genre espace ne le peuvent pas. Cette propriété est invariante dans tout changement de référentiel galiléen puisque la quantité ds² est invariante dans ce type de changement de référentiel.

L'ensemble des points de l'espace-temps reliés causalement à un point donné sont inclus dans un cône (à 3 dimensions) délimité par tous les rayons lumineux issus de ce point. On appelle ce cône un cône de lumière.

Pour terminer, signalons une propriété remarquable de la quantité ds. Considérons un corps quelconque en déplacement inertiel (c'est à dire se déplacement à vitesse constante sans aucune interaction avec le milieu extérieur). Il est possible de définir un référentiel galiléen dont l'origine coïncide avec la position de ce corps. Dans ce référentiel, la quantité ds est assimilable à la coordonnée temporelle cdt puisque toutes les autres cordonnées sont nulles. La quantité ds/c peut être considérée comme le temps propre de ce corps. Dans tout autre référentiel galiléen, le temps pourra être déduit du temps propre par la relation suivante :

Au passage, on peut voir que le temps propre d'un photon est toujours nul. Le temps ne s'écoule pas pour les photons !

L'heure de la pause (petite récréation relativiste)

Pour terminer ce post, laissons Alice et Bernard prendre une petite pause. Dans ces cas-là, ils vont souvent dans un parc public proche du labo. Alice s'assied sur un banc pour lire, Bernard fait quelques pas. Alice est immobile et Bernard se déplace par rapport à elle à 6 km/h. Le temps présent d'Alice n'est donc pas tout à fait le même que celui de Bernard. La vitesse de Bernard étant très petite devant c, on peut écrire :

Tant qu'on reste sur Terre, rien de bien notable. A 5 km du parc, l'écart est inférieur au dixième de picoseconde et à Brest il n'est que de 9 picosecondes. A New-York il atteint un dixième de nanoseconde : pas de quoi en faire un plat.

Quittons la Terre... Sur la Lune, on en est à 7,5 microsecondes d'écart. Sur Proxima du Centaure, qui est à 4 AL, on arrive à 0,17 seconde. Ça reste négligeable. Il faut quitter la voie lactée pour que l'écart devienne réellement significatif. Supposons qu'il existe une planète habitable dans la galaxie Andromède, l'instant présent dans le référentiel de Bernard s'y déroulera 5 jours après celui d'Alice !

Tiens, voilà Bernard qui s'arrête pour regarder une fleur. Son temps présent sur Andromède s'est automatiquement recalé sur celui d'Alice. Etonnant non ? Mais est-ce que cela a vraiment un sens de parler de simultanéité entre des événements qui se déroulent à des millions d'années-lumière ? Il aurait en effet fallu qu'un australopithèque envoie un signal vers Andromède pour que nous puissions synchroniser nos horloges sur le signal en retour aujourd'hui...

Paradoxe des jumeaux

Le paradoxe des jumeaux est bien connu. Il a été formulé en 1911 par Paul Langevin pour illustrer les effets de la relativité. Deux jumeaux sont nés sur Terre. L'un fait un voyage aller et retour en fusée pendant que l'autre l'attend en tricotant. En revenant sur Terre, le jumeau voyageur est plus jeune que son frère. Pas de paradoxe jusque-là... C'est l'application toute bête de la relativité restreinte.

Les choses se gâtent si on se place du point de vue du jumeau à bord de la fusée. Si l'on excepte les phases d'accélération et de décélération, la fusée suit une trajectoire inertielle. Pour lui, c'est son frère qui se déplace par rapport à son propre référentiel. C'est donc son frère qui vieillit plus lentement que lui. Aïe. C'est là que réside le paradoxe. Qui est le plus jeune à la fin du voyage ?

C'est bien le frangin astronaute. En fait il n'y a pas de paradoxe. La réponse est dans la formulation que j'ai utilisée ci-dessus. Si l'on excepte les phases d'accélération... Mais justement, si on excepte ces phases-là, le jumeau voyageur ne part jamais ou ne revient jamais. L'apparente symétrie des situations est un leurre. On verra d'ailleurs dans l'un des posts consacrés à la relativité générale que le temps est également affecté par la gravité (ou l'accélération, ce qui revient au même). D'où l'âge différent des jumeaux à la fin du voyage.

On peut alors poser le problème autrement. Avec deux observateurs nés sur deux planètes différentes en mouvement l'une par rapport à l'autre. Est-ce qu'il y en a un qui vieillit plus vite que l'autre ? Mais la question a-t-elle un sens ? Au mieux, les deux observateurs se croiseront une fois dans leur vie. Ils pourront à cette occasion synchroniser leurs horloges mais ils se perdront ensuite de vue à tout jamais. Les seules communications qu'ils pourront avoir se feront par l'échange de signaux. Incontestablement, chacun aura l'impression que le temps de l'autre s'écoule plus lentement que son temps propre. Mais quelle conclusion en tirer ? Pour comparer des intervalles de temps, il faut disposer d'une référence de temps commune... et deux événements simultanés pour l'un ne le sont pas pour l'autre ! Par exemple, l'un pourra se dire que le signal envoyé par l'autre a été émis le jour où il est allé voir sa grand-mère en province. Mais pour l'autre, le voyage du premier chez sa grand-mère se sera produit 3 jours après l'envoi de son message. Alors, qui croire ? Quand je vous disais que la question n'avait pas de sens. En tout cas ça ne m'empêche pas de dormir mais la question tourne et retourne sur Internet et fait l'objet des interprétations les plus fantaisistes. Sans compter les déclarations péremptoires de tous ceux qui en concluent que la théorie de la relativité est fausse !