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Métrique de Schwarzschild (annexe) Trajectoire d'une particule libre Forces de marée dans la métrique de Schwarzchild |
Métrique de Schwarzschild : symboles de Christoffel et tenseur de Riemann
Symboles de Christoffel
La formule générale qui donne les symboles de Christoffel à partir des composants d’une métrique est la suivante :
Dans le cas de la métrique de Schwarzschild on a :
La métrique étant diagonale, on pose par définition :
Il vient :
Seuls les termes g_munu tels que mu = nu ne sont pas nuls. Les seuls symboles non nuls sont donc les suivants :
La non-dépendance des composants de la métrique par rapport à certaines coordonnées amène à d’autres simplifications :
- tous les termes delta0_ga et delta3_ga sont nuls,
- tous les termes delta2_ga sont nuls sauf delta2_g3.
Ceci permet de calculer aisément les symboles de Christoffel non nuls :
Tenseur de Riemann
Les composants du tenseur de Riemann associés à la métrique s’obtiennent à partir des symboles de Christoffel en appliquant la formule suivante :
La non-dépendance des symboles de Christoffel par rapport à certaines coordonnées permet d’éliminer certains des termes.
