L'astrophysicien allemand Karl Schwarzschild est officier d'artillerie sur le front lorsqu'il reçoit le compte-rendu de la séance de l'académie des sciences de Prusse au cours de laquelle Einstein a présenté sa théorie de la relativité générale. Il comprend tout de suite le parti qu'il peut en tirer pour l'astrophysique et recherche une solution de l'équation d'Einstein applicable à un corps céleste. En faisant l'hypothèse que toute la masse est concentrée en un point il trouve une solution exacte sous la forme d'une métrique à laquelle on a donné son nom. Cette hypothèse est parfaitement légitime et s'appuie sur le théorème de Gauss. Elle est d'ailleurs à la base des calculs que l'on fait en mécanique classique quand on étudie les effets de la gravitation. Malheureusement pour lui et pour la science, Karl Schwarzschild mourra peu de temps après des suites d'une maladie contractée dans les tranchées.

La métrique de Schwarzschild s'exprime sous la forme suivante :

Si on introduit le paramètre r_s défini comme suit :

il vient :

On a donné à r_s le nom de rayon de Schwarzschild.

Je ne vous sens pas très emballés. Encore une équation tarabiscoté... Calmons-nous. Tout d'abord, cette métrique est stationnaire. Les termes g_mn ne dépendent pas de la coordonnée temporelle. Ensuite, elle possède une symétrie sphérique complète. Lorsqu'on étudiera la trajectoire d'un corps à partir d'un point donné et avec une vitesse initiale donnée, on pourra toujours se ramener à un plan qui passe par le point origine. Donc, exit la coordonnée théta :

En règle générale, les équations qui découlent de la relativité générale se simplifien lorsque les termes g_mn sont nuls ou lorsque leur dérivée partielle par rapport à l'une des coordonnées est nulle. De ce point de vue là on est gâté. On ne peut pas faire mieux. Enfin... si, mais où serait le plaisir ?

Remarque : dans les équations ci-dessus, les coordonnées ne sont pas des coordonnées sphériques telles qu'on les entend traditionnellement. A proximité de l'origine, la géométrie de l'espace-temps n'a en effet plus rien à voir avec la géométrie euclidienne que l'on connaît. Par contre, elles sont assez représentatives des distances et des angles tels qu'ils sont perçus par un observateur lointain. Elles portent le nom de coordonnées de Boyer-Lyndquist. En l'absence du corps massif qui déforme l'espace-temps au point origine, la métrique applicable serait la métrique minkowskienne. En coordonnées sphériques, elle s'écrit :

Il est clair que pour des valeurs de rgrandes devant r_s, la différence est à peine perceptible. Prenons le cas du Soleil : son rayon vaut 700000 km alors que son rayon de Schwarzschild n'est que de 3 km. Dans les faits, le rapport r/r_s sera donc toujours supérieur à 233000 ! Les écarts, nous le verrons, sont néanmoins mesurables et attestent de la justesse de la relativité générale, mais ils n'ont aucun effet sur notre vie courante.

Dans ce qui suit, nous prendrons cependant des exemples avec des valeurs de r bien plus faibles. Nous verrons dans un post ultérieur dans quelles circonstances exceptionnelles on peut les rencontrer.

Le retour d'Alice et de Bernard

Commençons par nous intéresser au temps. Dans l'inconscient collectif, relativité est synonyme de variabilité du temps. Qu'en est-il du temps de la relativité générale ? Pour étudier la question nous allons faire à nouveau appel à Alice et Bernard, grands spécialistes de la mesure du temps. Alice va rester près de nous, loin du point central, et nous allons envoyer Bernard à différents endroits plus proches de celui-ci. Chacun va emmener avec lui son horloge atomique de poche.

Commençons par Alice. Nous allons faire l'hypothèse que ses coordonnées spatiales sont (r_A, 0, 0). On peut parler de coordonnés spatiales puisque la métrique est stationnaire. Sa position dans l'espace-temps est donc décrite par la droite {ct, r_A, 0, 0}. Son horloge suit le rythme de son temps propre :

Ceci nous permet de faire le lien entre la coordonnées « temporelle » t et le temps propre d'Alice :

Il est bien évident qu'on peut faire la même chose pour Bernard qui se trouve au point (r_B, 0, 0) :

Nous allons demander à Bernard d'envoyer des signaux lumineux à Alice. Ces signaux vont suivre une géodésique, en l'occurrence une géodésique qui suit une droite passant par l'origine. Tout au long de cette géodésique on peut vérifier que :

(Ceci est vrai parce que les paramètres g₁₀ et g₀₁ sont nuls.) On peut donc écrire :

Ceci nous permet de calculer l'intervalle t_A – t_B entre l'émission d'un signal par Bernard et sa réception par Alice. Nous pourrons en déduire la façon selon laquelle il est perçu par nos deux comparses grâce aux équations qui précèdent. Cet intervalle se calcule comme suit :

Bonne nouvelle : il ne dépend que de la position de Bernard et d'Alice puisque la métrique est stationnaire. Bernard peut donc envoyer plusieurs impulsions, le délai de réception sera toujours le même. Supposons donc que Bernard envoie deux signaux consécutifs en t_B1 et t_B2. Alice les recevra en t_A1 et t_A2 et on peut écrire :

Revenons à l'expression du temps propre pour Alice et Bernard :

Ce qui revient à écrire :

Le temps s'écoule beaucoup plus lentement pour Bernard que pour Alice. Cet écart tend même vers l'infini si Bernard s'approche du rayon de Schwarzschild ! Lorsque r_B = r_s, il semblera à Alice que le temps de Bernard s'est arrêté.

On peut d'ailleurs constater que dans ce cas le top envoyé par Bernard mettra un temps infini à parvenir à Alice :

On a raisonné en temps mais on aurait pu raisonner en fréquence. Il suffit d'inverser le rapport :

Les photons envoyés par Bernard vont paraître de plus en plus « rouge » à Alice. Ce décalage de fréquence porte le nom de redshift gravitationnel. Il est mesurable à l'échelle de la Terre. En 1959, Robert Pound et Glen Rebka l'ont mesuré entre le rez-de-chaussée et le point le plus haut de l'Université d'Harvard. Cette expérience a été renouvelée depuis. De nos jours, les GPS intègrent une correction relativiste pour tenir compte de la dérive entre une horloge située au sol et une horloge orbitant dans un satellite à 20000 km du sol. Cette dérive n'excède pas 45 microsecondes par jour... mais ça correspond à 13 km en distance. C'est suffisant pour fausser la triangulation à la base du fonctionnement des GPS.

Rayons lumineux en épingle à cheveux

Laissons Alice et Bernard faire le point sur leurs impressions respectives et intéressons-nous au sort des rayons lumineux à proximité du point central. Pour cela nous allons nous débrouiller tout seuls.

A partir d'un point suffisamment éloigné de l'origine, nous allons émettre un photon d'énergie E dans une direction qui, si le photon n'était pas dévié, le ferait passer à une distance b du point où est concentrée la masse. Par la suite nous appellerons cette distance paramètre d'impact. Le moment cinétique de ce photon par rapport au point central est égal à pb. Par ailleurs, nous faisons l'hypothèse que nous avons choisi le référentiel de façon à ce que la trajectoire du photon soit dans le plan défini par théta = pi/2 (voir la remarque plus haut).

Dans le post précédent, nous avons montré que, sous certaines conditions, les composantes du vecteur énergie-impulsion étaient conservées tout au long d'une géodésique :

si g_mn ne dépend ni de xⁱ ni de x^j. Ces conditions vérifiés dans le cas de la métrique de Schwarzschild sauf pour la composante g₁₁. On a vu également que ces équations de conservation étaient applicables à un photon à condition de choisir un paramètre affine (les photons n'ont pas de temps propre). Ceci permet d'écrire les formules suivantes :

Comme il s'agit d'un photon, on peut aller plus loin et écrire que L = cKb. Il vient :

Il nous manque une équation nous permettent de déterminer r. On l'obtient à partir de l'équation de conservation du moment q_r. Le résultat est à première vue moins sympathique :

On peut rendre cette équation moins rébarbative en faisant les substitutions suivantes :

Il vient :

Cette équation est une « équation à potentiel » : le premier membre est un terme qui fait penser à une énergie cinétique et le second à une énergie potentielle. Il ne s'agit, bien sûr, que d'une analogie : un photon n'a pas d'énergie cinétique, juste ue impulsion. Quoiqu'il en soit, cette équation nous montre que la trajectoire du photon est bien affectée par le potentiel gravitationnel du corps central : c'est cette prédiction qu'a vérifiée Arthur Eddington dès 1919 lors d'une expédition qui est restée célèbre à Sao Tomé et Principe.

On peut faire une analyse méthodique de tous les cas possibles en fonction du paramètre b. Mais je n'ai pas l'intention de vous noyer sous un flot de nouvelles équations. Ceux qui le souhaitent trouveront toutes les explications sur Internet. Contentons-nous de quelques illustrations. Car cette équation est facile à modéliser : un simple tableur suffit. La modélisation montre que la trajectoire d'un photon est toujours défléchie par la présence de la masse centrale. Elle montre cependant que cette déflexion est très faible, voire infime, dès lors que le paramètre d'impact est grand devant le rayon de Schwarzschild. Un rayon lumineux passant à proximité du Soleil, par exemple, n'est défléchi que de 1.75 seconde d'arc ! Il faut dire que le rayon du Soleil est de 700 000 km alors que son rayon de Schwarzschild vaut 3 km. (C'est la mesure qu'a effectuée Eddington en 1919 et qui a contribué à valider la théorie de la relativité générale.)

La déflexion ne devient significative dans le cas d'un corps extrêmement dens... ou d'un amas de galaxie (effet de lentille gravitationnelle). La figure ci-dessous illustre cette déflexion pour différentes valeurs de b proches du rayon de Schwarzschild.

On peut voir (courbe rouge) que le rayon peut être renvoyé en arrière, voire même (courbe noire) faire un tour complet autour du point central ! Il existe une valeur du paramètre b pour laquelle le photon est renvoyé dans la direction exactement opposée à la direction incidente. Cette valeur est égale à :

En théorie, il existe même une orbite stable, de rayon 3r_s /2, à laquelle un photon peut être satellisé autour de l'astre et tourner indéfiniment !

Féérie lumineuse...

Des formules, des équations, encore et toujours... Et si on rêvait une peu ? Supposons par exemple que vous soyez face à un objet massif dont toute la matière est contenue dans une sphère de rayon inférieure à b_c. Si vous l'éclairez avec un projecteur, vous verrez se former autour de lui un cercle lumineux constitué par les rayons de votre projecteur qui reviennent vers vous. Etonnant, non ?

Mais il y a mieux. Supposons maintenant que vous tourniez le dos à cet objet et qu'il soit juste derrière vous (hypothèse hasardeuse : la gravité risque fort de vous écraser contre lui). En regardant devant vous vous pourrez voir ce qui est derrière. Vous aurez une vision panoramique sur 360 degrés. Le super fish-eye dont vous avez toujours rêvé. L'Univers tout entier apparaîtra dans un disque devant vos yeux !

A la fin des années 1970, l'astrophysicien Jean-Pierre Luminet s'est intéressé à l'image que l'on percevrait d'un trou noir entouré par un disque d'accrétion. Un disque d'accrétion est constitué de poussières qui tournent à grande vitesse autour d'un astre très massif. La poussière y est portée à haute température et ce disque est très lumineux. Le résultat des travaux de Jean-Pierre Luminet est disponible sur Internet et on peut aisément les reproduire en faisant un peu de programmation. La figure qui suit nous donne un exemple de ce que l'on pourrait voir. Elle représente quelques-unes des trajectoires à l'intérieur du disque vues par un observateur lointain. Celui-ci peut voir tout l'anneau, même la partie qui se trouve derrière le trou noir ! Les calculs réalisés pour faire les effets spéciaux du film Interstellar sont de même nature que ceux de J-P. Luminet. Il faut ajouter qu'à cette déformation de l'anneau s'ajoute un effet Doppler très sensible compte tenu de la vitesse des particules. Il en résulte une forte dissymétrie de couleur et d'intensité... qui n'est d'ailleurs pas rendue par les images du film.