La force de marée est un phénomène physique dont la manifestation la plus évidente sur Terre est le mouvement des marées. Elle est, dans ce cas, due à l'action combinée de la Lune et du Soleil. L'action de la Lune est prépondérante, celle du Soleil ne fait que moduler le coefficient des marées. C'est la raison pour laquelle les coefficients de marée les plus importants sont enregistrés au moment des marées d'équinoxe.

Force de marée en relativité générale

En relativité générale, on analyse la force de marée en termes de variation de la courbure de l'espace-temps à proximité d'un point. La relativité générale permet de prédire des effets liés aux forces de marée que la mécanique classique ignore.

Pour déterminer la force de marée on procède de la manière suivante :

• On considère tout d'abord deux particules de masse non nulles non reliées entre elles. Ces deux particules suivent chacune une géodésique. Soient X(tau) et X'(tau) les courbes décrivant ces géodésiques.
• Soit delta_X(tau) l'écart entre ces géodésiques (on parle de séparation). Cette séparation est fonction du temps propre tau.
• Pour maintenir la séparation constante, ce qui est le cas si les deux particules sont reliées entre elles, il faut non seulement annuler la dérivée première de la séparation (la vitesse de séparation) mais également la dérivée seconde (l'accélération de la séparation).

Le champ de force de marée est le champ de force qui s'oppose à l'accélération de la séparation entre les deux géodésiques.

Un peu de mathématiques maintenant...

Soient deux géodésiques définies par les courbes X^lambda(tau) et X'^lambda(tau). Soit V la dérivée de X par rapport au temps propre de la géodésique :

Soit delta^lambda_X(tau) l'écart entre les deux géodésiques :

Soit U^lambda la dérivée covariante de delta^lambda_X au long de la géodésique décrite par X^lambda :

Nous sommes intéressés par le taux d'accélération de la séparation entre les géodésiques, donc par la dérivée covariante de U^lambda le long de la géodésique :

Cette équation d'apparence simple est en réalité redoutablement complexe. Le calcul détaillé qui permet de la formuler en des termes utilisables pour calculer la force de marée résultante est donné en annexe. Tout calcul fait, on parvient à l'équation suivante :

On reconnaît dans le terme en facteur un composant du tenseur de courbure de Riemann :

Pour que les particules suivent des trajectoires strictement parallèles, il faut qu'une force s'oppose à cette tendance à l'accélération de la séparation des géodésiques. Il se produit alors un équilibre entre la force de cohésion et une force qui tend à écarter les particules et qui est la force de marée. La force de marée est représentée sous la forme d'un tenseur, le tenseur de force de marée S^mu_nu (tidal stress tensor) :

Avec F^lambda le quadrivecteur de force de marée. L'expression à laquelle nous sommes parvenus est une expression tensorielle : elle se transforme donc comme un tenseur par changement de repère « en chute libre » dans l'espace-temps et c'est ce qui en fait tout l'intérêt.

Force de marée s'exerçant sur un corps en orbite circulaire autour d'un trou noir de Schwarzschild

Dans le cas d'une orbite circulaire l'expression des quadrivecteurs delta_X et V se réduit à :

Nous allons nous intéresser à la force de marée radiale, donc au terme a¹. Heureusement pour nous, le quadrivecteur delta_X n'a qu'une seule composante non nulle :

Par ailleurs, les seuls composantes du vecteur V non nulles sont les composantes V⁰ et V³. En tirant profit des propriétés de la métrique de Schwarzschild on peut réécrire cette équation de la manière suivante :

Les composants du tenseur de Riemann de la métrique de Schwarzschild s'expriment comme suit :

Si on se place dans le plan équatorial il vient :

Dans le post consacré au comportement dynamique d'une particule libre dans la métrique de Schwarzschild, on a montré que :

On peut donc écrire :

La dernière étape consiste à remplacer K et L par leur valeur dans le cas d'une particule libre en orbite circulaire de rayon r (voir le post sur ce sujet) :

Force de marée radiale

Nous disposons désormais de tous les éléments pour calculer la force de marée radiale qui s'exerce sur un corps en orbite circulaire autour d'un astre décrit par la métrique de Schwarzschild. Comme nous l'avons vu, la force de marée se décompose en deux termes :

• le terme [a¹]_t peut être associé au différentiel de potentiel gravitationnel entre deux points situés à une distance différente du centre,
• le terme [a¹]_phi est, quant, à lui relatif au différentiel de force centrifuge.

Nous allons illustrer ces calculs en prenant deux exemples. Le premier exemple est relatif à un trou noir stellaire de 10 masses solaires. Le second exemple concerne un trou noir super-massif de 4 millions de masses solaire, du type que ceux qui se trouvent au centre des galaxies. Dans les deux cas nous allons supposer qu'une sonde est satellisée autour du trou noir à une distance de 3r_s du centre (c'est le rayon de la plus petite orbite stable autour d'un trou noir).

Le rayon de Schwarzschild du premier trou noir est de 30 km. Le rayon du second est de 12 millions de km. Dans les deux cas les coefficients K et L valent :

Ce qui donne :

Il vient donc au final :

Remarque : il peut paraître surprenant que l'accélération a¹ ait la dimension de l'inverse d'une longueur. Il faut se souvenir que, dans la métrique de Schwarzschild, la « coordonnée temporelle » t a elle-même la dimension d'une longueur. En fait, on définit par convention t = ct'. Comme [a¹]_t est proportionnel à t², il convient de multiplier a¹ par c² pour revenir à un système d'unités conventionnel :

De ce fait, a¹ a bien la dimension d'une longueur divisée par un temps au carré.

> Trou noir de 10 M€asses solaires

Nous allons évaluer la force de marée à une distance dr = 1m du centre de gravité d'un corps circulant sur une orbite circulaire de rayon autour d'un trou noir de 10 masses solaires. Le rayon de Schwarzschild d'un tel trou noir vaut 30 km.

La force de marée équivaut à 440 000 g !

> Trou noir de 4 millions de Masses solaires€

Examinons maintenant le cas d'un trou noir super-massif de 4 millions de masses solaires. Son rayon de Schwarzschild vaut 12 millions de km.

Cette fois la force de marée est complètement imperceptible. Ce résultat peut paraître contradictoire avec le fait que l'on a affaire à un trou noir super-massif. Il n'a en fait rien d'étonnant : l'écart d'un mètre doit être ramené en proportion du rayon . On voit bien que cela représente une quantité quasi négligeable.

Force de marée s'exerçant sur un corps en chute libre

Le cas d'un corps en chute libre peut être étudié de la même façon. Cette fois on a :

On peut donc écrire :

Dans cette formule, seul Le composant R¹₀₁₀ est non nul. Tout calcul fait il vient :

Dans le cas d'un corps en chute libre le coefficient K est égal à 1 :

Ceci conduit à la formule suivante :

... formule que l'on doit également corriger d'un facteur c². Reprenons l'exemple du trou noir de 10 masses solaires. Considérons une sonde spatiale en chute libre en direction de ce trou noir. Une particule située exactement au centre de gravité de cette sonde est en état d'impesanteur. Supposons par contre qu'un astronaute se trouve « debout » à l'intérieur de la sonde : sa tête et ses pieds seront soumis à une force de marée qui aura tendance à le « spaghettifier ». Sa tête sera tirée vers le haut et ses pieds vers le bas.

Supposons que la sonde soit parvenue sans encombre à une distance égale à trois fois le rayon de Schwarzschild du trou noir (c'est à dire à 90 km dans le cas qui nous intéresse). Si notre astronaute mesure 1m70 la force de marée qui s'exercera sur sa tête sera telle que :

On retrouve un résultat similaire à celui exposé précédemment. La tête de notre infortuné astronaute sera tirée vers le haut par une force équivalente à 480 000 fois son poids ! Et ses pieds seront tirés vers le bas par une force de même amplitude. Situation terriblement inconfortable : notre astronaute sera tout simplement coupé en deux.

Pourquoi pas, dans ce cas, conseiller à notre astronaute de se coucher ? Il pourra peut-être observer sans péril les étonnants phénomènes optiques qui surviennent à proximité d'un trou noir. En fait, bien mal lui en prendrait. Il serait en effet soumis à une terrible force de compression :

En tenant compte des seuls composants non nuls il vient :

Sachant que :

on peut écrire tous calculs faits :

La force de compression a, on le voit, la même amplitude que la force d'étirement. Notre astronaute sera donc irrémédiablement écrasé. Il est clairement impossible d'approcher d'un trou noir stellaire à une distance aussi proche. L'intensité des forces de marée est telle que tout corps est déchiqueté bien avant de parvenir à ce point. Pour rester dans une zone à peu près sécurisée il conviendrait de stabiliser la sonde à une distance supérieure à 3000 fois le rayon de Schwarzschild (ce qui permet de ramener la force de marée à 0.5 g).

Comme on l'a vu, l'intensité de la force de marée est bien moins importante si l'on s'approche d'un trou noir plus massif. Il faut prendre néanmoins en considération que nous avons fait tous nos calculs avec un écart dr de l'ordre du mètre, ce qui correspond aux dimensions d'une toute petite sonde spatiale. Supposons maintenant que nous nous intéressions au sort d'une étoile de la taille du soleil qui s'approcherait de trop près d'un trou noir super-massif. Les écarts à prendre en considération sont dans ce cas l'ordre de 500 000 km et l'accélération résultante est alors de 1300 g ! Autant dire que l'étoile est vigoureusement étirée et comprimée.