Comme nous l’avons vu dans le chapitre consacré aux forces de marée, l’accélération de la séparation entre les géodésiques X_lambda_tau et X'_lambda_tau s’écrit comme suit :

Explicitons le terme en d/dtau de cette équation :

Intéressons-nous au deuxième terme de la somme à droite de cette équation :

La dérivée par rapport au temps du symbole de Christoffel s’écrit en appliquant la définition des dérivées partielles. Il vient :

Le terme dV_nu/dtau s’obtient quant à lui en écrivant l’équation des géodésiques :

On peut donc écrire :

En combinant (a-2) et (a-6) il vient :

Il reste à remplacer U_mu par son expression littérale dans le dernier terme du second membre de l’équation :

Ceci permet d’écrire :

Nous ne sommes pas au bout de nos peines. Il nous faut maintenant évaluer le terme d2_delta_Xlambda/dtau2. Ecrivons pour cela l’équation des géodésiques pour X_lambda_tau et X'_lambda_tau :

En soustrayant ces deux équations on peut écrire :

On peut montrer que :

D’où il vient :

En reportant ce résultat dans l’équation qui donne a_lambda on obtient :

En réarrangeant convenablement les indices des sommations, il vient :

On reconnaît dans le terme en facteur un composant du tenseur de courbure de Riemann :

On obtient ce résultat tout à fait remarquable : l’accélération de la séparation est déterminée par le tenseur de courbure de Riemann. Celui-ci va donc jouer un rôle essentiel dans le champ de force de marée.