Dans ce qui suit, on considère le cas d'une particule dont l'énergie-masse est infinitésimale par rapport à celle du corps central. On peut donc faire l'hypothèse qu'elle ne déforme l'espace-temps que de manière négligeable. Une telle particule suit une géodésique de l'espace-temps.

Lois de conservation

Pour déterminer la trajectoire de cette particule, nous allons nous appuyer sur un résultat démontré dans le post sur les éléments de mécanique relativiste. La composante covariante de l'impulsion p_i d'une particule libre est invariante tout au long d'une géodésique si le tenseur métrique est indépendant de la coordonnée xⁱ. La métrique de Schwarzschild étant stationnaire, ce résultat s'applique à la composante p₀ :

Sachant que :

on peut en déduire l'équation de conservation suivante :

Il s'agit de l'équation de conservation de l'énergie propre de la particule (la composante E/c de son quadrivecteur énergie impulsion),

Le même résultat s'applique à la coordonnée p₃ :

avec :

Ceci qui conduit à l'équation suivante :

qui est une équation de conservation du moment. On peut remarquer que le mouvement d'une particule à proximité d'un corps massif se déroule nécessairement dans un plan équatorial. Soit en effet M un point de la trajectoire et p l'impulsion de la particule en ce point. Comme la métrique est de symétrie sphérique la trajectoire est dans le plan défini par O, le centre de symétrie, M et le vecteur p. Il nous est donc loisible de choisir notre référentiel en faisant en sorte que ce plan soit le plan theta = pi/2. L'équation qui précède devient :

La composante p₂ ne présente pas d'intérêt pour nous puisque l'angle theta est constant. Il nous reste à traiter le cas de la composante p₁ :

Si on fait l'hypothèse que l'on se trouve dans le plan équatorial, un développement mathématique simple conduit à l'équation suivante pour la composante p₁ :

le terme epsilon étant égal à zéro pour un photon et à 1 pour une particule massive. Il s'agit cette fois de l'équation de conservation de l'énergie totale du système au cours du mouvement. Il est commode d'écrire cette équation sous la forme suivante :

avec :

Cette formulation permet de faire l'analogie avec la mécanique newtonienne. En mécanique newtonienne, l'équation de conservation de l'énergie E d'un corps en présence d'un champ gravitationnel s'écrit comme suit :

avec :

La comparaison avec la mécanique classique fait apparaître plusieurs différences notables dans la formulation. En particulier le fait que l'énergie propre K (que l'on a assimilée à E/c) intervienne au carré dans l'équation de conservation de l'énergie à laquelle nous avons abouti. Ce terme K² se comprend mieux si on rapproche cette équation de l'équation d'Einstein à laquelle on ajouterait un terme de potentiel :

Il faut se rappeler en effet que, dans l'espace-temps de la relativité, ce n'est pas l'énergie qui est conservée mais la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. Le terme K² est assimilable au terme E² = p²c² + m²c⁴de l'équation d'Einstein (énergie de masse au carré + énergie cinétique au carré). Quant au terme epsilon qui intervient au second membre de notre équation, il correspond à l'énergie de masse de la particule, le terme m²c⁴ de l'équation d'Einstein (rappelons que nous avons choisi un système d'unités tel que c = 1).

L'équation de conservation de l'énergie du système à laquelle nous sommes parvenus a la forme d'une équation à potentiel. Au demeurant, lorsque la vitesse de la particule est non-relativiste et lorsque la distance par rapport au centre de symétrie de la métrique est suffisante, on peut écrire :

et on retrouve bien la forme classique de l'équation.

Un mot sur le terme du troisième degré en 1/r. C'est ce terme qui induit un comportement fondamentalement différent des particules au voisinage de l'horizon des événements. C'est également ce terme qui est à l'origine des subtiles différences par rapport aux prédictions de la mécanique classique qui ont permis de valider rapidement la théorie de la relativité générale : déviation des rayons lumineux, précession du périhélie de Mercure.

Equation des géodésiques

Nous aurions pu utiliser l’équation des géodésiques pour déterminer la trajectoire de notre particule. Nous allons voir que cela aboutit au même résultat. L’équation des géodésiques fait intervenir les symboles de Christoffel de la métrique de Schwarzschild :

La formule générale qui donne les symboles de Christoffel à partir des composants d'une métrique est la suivante :

Dans le cas de la métrique de Schwarzschild on a :

La métrique étant diagonale, on pose par définition :

Il vient :

Seuls les termes g_munu tels que mu = nu ne sont pas nuls. Les seuls symboles non nuls sont donc les suivants :

La non-dépendance des composants de la métrique par rapport à certaines coordonnées amène à d'autres simplifications :

• tous les termes d₀g_a et d₃g_a et sont nuls,
• tous les termes d₂g_a sont nuls sauf d₂g₃.

Ceci permet de calculer aisément les symboles de Christoffel non nuls :

L'introduction de la valeur ces symboles dans les équations ci-dessus conduit à un résultat identique à celui obtenu en appliquant les lois de conservation des moments et de l'énergie.